2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（二）

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2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（二） 一、解答题（共10小题；共130分）1. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A，B 两点分别在 x 轴，y 轴上，OA=OB=4，C 在线段 OA 上，AC=3，过点 A 作 AE⊥BC，交 BC 的延长线于 E，直线 AE 交 y 轴于 D． （1）求点 D 的坐标；（2）动点 P 从点 A 出发，沿射线 AO 的方向以每秒 1 个单位长度运动，设点 P 的运动时间为 t 秒，△POB 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（3）在第（2）问的条件下，当 t=1，PB=5 时，在 y 轴上是否存在一点 Q，使 △PBQ 是以 PB 为腰的等腰三角形?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象为直线 l．（1）若直线 l 与正比例函数 y=2x 的图象平行，且过点 0,−2，求直线 l 的表达式．（2）若直线 l 过点 3,0，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于 3，求 b 的值． 3. 如图，直线 AB 的解析式为 y=x+4，直线 BC 的解析式为 y=−2x+4．点 P 为直线 AB 上的一动点，且 S△PBC=6，求点 P 的坐标． 4. 已知一次丽数 y=kx+b 的图象经过点 3,−3，且与 x 轴交于点 34,0．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 A−3,0，与 y 轴交于点 B，且与正比例函数 y=43x 的图象交点为 Ca,4．求： （1）求 a 的值与一次函数 y=kx+b 的解析式；（2）求 △BOC 的面积；（3）在 y 轴上求一点 P 使 △POC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标． 6. 如图，已知直线 y=−33x+1 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90∘，且点 P1,a 为平面直角坐标系中的一个动点． （1）求 △ABC 的面积；（2）求证：不论 a 取任何实数，△BOP 的面积是一个常数；（3）若要使 △ABC 和 △ABP 的面积相等，求实数 a 的值． 7. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 B2,0，点 C6,0，在第一象限内的点 Ax,y 是直线 y=2x 上的一点，设 △ABC 的面积为 S，求：（1）S 与 x 的函数关系式；（2）当 S＝8 时，求点 A 的坐标 ⋅． 8. 如图，已知等腰 Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴，点 C 的坐标为 6,2．（1）如图 1，求 A 点坐标； （2）如图 2，延长 CA 至点 D，使得 AD=AC，连接 BD，线段 BD 交 x 轴于点 E，问：在 x 轴上是否存在点 M，使得 △BDM 的面积等于 △ABO 的面积?若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 9. 已知，直线 y=3x−3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．（1）如图①，点 A 的坐标为  ，点 B 的坐标为  ； （2）如图②，点 C 是直线 AB 上不同于点 B 的点，且 CA=AB． ①点 C 的坐标为  ； ②过动点 Pm,0 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 交于点 E，若点 E 在线段 BC 上，则 m 的取值范围是  ； （3）若 ∠ABN=45∘，求直线 BN 的解析式． 10. 如图，等腰直角 △ABC 的斜边 AB 在 x 轴上且长为 4，点 C 在 x 轴上方．矩形 ODEF 中，点 D，F 分别落在 x，y 轴上，边 OD 长为 2，DE 长为 4，将等腰直角 △ABC 沿 x 轴向右平移得等腰直角 △AʹBʹCʹ． （1）当点 Bʹ 与点 D 重合时，求直线 AʹCʹ 的解析式；（2）连接 CʹF，CʹE．当线段 CʹF 和线段 CʹE 之和最短时，求矩形 ODEF 和等腰直角 △AʹBʹCʹ 重叠部分的面积；（3）当矩形 ODEF 和等腰直角 △AʹBʹCʹ 重叠部分的面积为 2.5 时，求直线 AʹCʹ 与 y 轴交点的坐标．（本问直接写出答案即可）答案第一部分1. （1） ∵OA=4，AC=3， ∴OC=1． ∵BE⊥AE， ∴∠EAC+∠ECA=90∘， ∵∠AOB=90∘， ∴∠OBC+∠OCB=90∘， ∵∠ACE=∠BCO， ∴∠OBC=∠EAC，又 ∵∠BOC=∠AOD=90∘，BO=AO=4， ∴△BOC≌△AODASA． ∴OC=OD=1， ∴ 点 D 的坐标为 0,−1．    （2） 当 0≤t4 时，y=2t−8．【解析】当 0≤t4 时，OP=t−4，则 y=12OP⋅OB=12×t−4×4=2t−8．    （3） 存在．当 B 是顶角的顶点时，①当 Q 在 B 的上方时，BQ=BP=5，则 OQ=5+4=9，则点 Q 的坐标是 0,9；②当 Q 在 B 的下方时，OQ=5−4=1，则点 Q 的坐标是 0,−1．当 P 是顶角的顶点时，Q 和 B 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标是 0,−4．综上所述，点 Q 的坐标是 0,9 或 0,−1 或 0,−4．2. （1） 根据题意得 k=2， ∴y=2x+b，把点 0,−2 代入得 b=−2， ∴ 直线 l 的表达式为 y=2x−2．    （2） ∵ 一次函数 y=kx+b 的图象过点 3,0， ∴3k+b=0， ∴b=−3k，令 y=0，则 x=−bk=3， ∵ 直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3， ∴12×3×∣b∣=3，即 ∣b∣=2，解得 b=±2．3. 在 x 轴上取点 M，使 S△MBC=6， ∴M−1,0 或 M5,0．过 M 作 BC 的平行线交直线 AB 于点 P，则 S△PBC=S△MBC=6． ∴ 直线 PM 的解析式为 y=−2x−2 或 y=−2x+10，分别联立 y=x+4 得 P−2,2 或 P2,6．4. （1） 由题意，得 3k+b=−3,34k+b=0, 解得 k=−43,b=1. 所以函数解析式为 y=−43x+1；    （2） 因为直线 y=−43x+1 与 x 轴交于 A34,0，与 y 轴交于 B0,1，所以 S△AOB=12×34×1=38．5. （1） 因为点 C 在正比例函数 y=43x 的图象上，所以 43a=4，a=3．因为点 C3,4，A−3,0 在一次函数 y=kx+b 的图象上，所以代人一次函数解析式可得 −3k+b=0,3k+b=4, 解这个方程组得 k=23,b=2. 所以一次函数的解析式为 y=23x+2；    （2） 把 x=0 代人 y=23x+2， y=2．所以 S△BOC=12×2×3=3．    （3） P 的坐标为 0,5 或 0,−5 或 0,8 或 0,258．【解析】当 OC 是腰时，O 是顶角的顶点时，OP=OC， OC=32+42=5，则 P 的坐标为 0,5 或 0,−5；当 OC 是腰，C 是顶角的顶点时，CO=CP，则 P 的坐标是 0,8；当 OC 是底边，P 为顶角的顶点时，PO=PC，作 CK⊥y 轴于点 k，设 P 的坐标为 0,t，在 Rt△PCK 中，因为 PC=t，PK=4−t，KC=3，所以 4−t2+32=t2，解得 t=258，此时 P 的坐标是 0,258．综上可知 P 的坐标为 0,5 或 0,−5 或 0,8 或 0,258．6. （1） 当 x=0 时，y=1；当 y=0 时，x=3． ∴A 点坐标为 3,0，B 点坐标为 0,1． ∴AB=32+1=2， ∴S△ABC=AB22=42=2．    （2） P 到 y 轴距离为 1，BO=1． ∴S△BOP=12（与 a 无关）．    （3） 当点 P 在第四象限时，a