第10章 第4节　古典概型教案

第四节　古典概型

一、教材概念·结论·性质重现

1．古典概型

具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个．

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

2．一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

3．古典概型的概率公式

P(A)＝.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”．              (×)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．              (×)

(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．              (×)

(4)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．              (√)

2．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是(　　)

A．  B．  C．  D．

B　解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)，共6个样本点，而抛掷两枚质地均匀的骰子包含的样本点有36个，所以所求概率p＝＝.故选B．

3．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

D　解析：一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)，(反，反)，(正，反)，(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故概率p＝＝.故选D．

4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．

　解析：设3个红色球为A1，A2，A3,2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的样本点有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．其中2个球的颜色不同的样本点有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个，所以所求概率为＝.

5．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为________．

10　解析：设原来口袋中白球、黑球的个数均为n.依题意－＝，解得n＝5.所以原来口袋中小球的个数为2n＝10.

6．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为________．

　解析：先后两次出现的点数中有5的情况有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率p＝.

考点1　古典概型的判断——基础性

1．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)

①试验中样本空间的样本点只有有限个；

②每个事件出现的可能性相等；

③每个样本点发生的可能性相等；

④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.

A．②④  B．③④  C．①④  D．①③④

D　解析：由古典概型的特征知①③④正确，②错误．

2．下列问题中是古典概型的是(　　)

A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率

B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率

C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率

D．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的总数之和是5的概率

D　解析：A，B两项中的样本点发生不是等可能的；C项中样本点有无限多个；D项中样本点的发生是等可能的，且个数有限．

考点2　简单的古典概型的概率——基础性

(1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只记为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只记为b1，b2，从5只兔子中随机取出3只，样本空间Ω＝{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)}，共10个样本点．事件“恰有2只测量过该指标”{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)}，共6个样本点．

故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B．

(2)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

D　解析：(方法一)依题意，记两次取的卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a>b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)．

因此所求的概率为＝.

(方法二)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

样本点的总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的样本点的个数为10，故所求概率p＝＝.故选D．

(3)(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取三点，则取到的三点共线的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

A　解析：从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况．由图可知取到的三点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为＝.故选A．

1．(2020·河北区高三二模)袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是(　　)

A．  B．  C．  D．

D　解析：(1)由题意可得，从中任取3个球一共有C＝20(个)等可能的样本点，

恰有1种颜色的情况有1种，即3个全是蓝球，恰有3种颜色的样本点有1×2×3＝6(个)，

所以恰有2种颜色的样本点共13个，所以其概率为.故选D．

2．(2020·太原市高三模拟)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

A　解析：派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，

样本点总数n＝CA＝36.

甲、乙两位专家派遣至同一县区包含的样本点个数m＝CCA＝6.

所以甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为＝＝.故选A．

考点3　古典概型的交汇问题——综合性

考向1　古典概型与平面向量的交汇

(1)设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

A　解析：有序数对(m，n)的所有可能结果数为4×4＝16.由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的样本点为(2,1)和(3,4)，共2个．所以所求的概率P(A)＝＝.故选A．

(2)(2019·宿迁模拟)已知k∈Z， ＝(k,1)，＝(2,4)．若||≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．

　解析：因为||＝≤4，

所以－≤k≤.

因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，

当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC．由·＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2.因为＝－＝(2－k,3)，由·＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3.

由·＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)．故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，所以所求概率p＝.

考向2　古典概型与函数的交汇

(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1.若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

D　解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax＋b2.

由题意知f′(x)＝0有两个不等实根，

即Δ＝4(a2－b2)>0，所以a>b，有序数对(a，b)所有可能结果有3×3＝9(种)，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(3,0)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，共6种．故所求概率p＝＝.

(2)已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是(　　)

A．  B．  C．  D．

A　解析：因为a∈{0,1,2}，b∈{－1，1,3,5}，所以样本点总数n＝3×4＝12.

函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数．

①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1.

②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．

所以函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是.

1．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n.记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈的概率是(　　)

A．  B．  C．  D．

C　解析：cos θ＝＝.

因为θ∈，所以m≥n.

(m，n)一共有6×6＝36(种)不同组合．

满足m≥n的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(种)．

所以所求的概率p＝＝.

2．已知函数f(x)＝cos，a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　解析：依题意，函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4等价于函数f(x)的周期的倍不大于4，即×≤4，解得a≥，故a＝4,5,6.而所有a的值共6个，所以函数f(x)在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为.