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2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷 word，解析版
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这是一份2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共29页。试卷主要包含了的函数图象，有以下结论等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（ ）
A．6，8，11 B．5，12，13 C．1，，2 D．3，4，5
2．（3分）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．×＝ C．﹣＝ D．÷＝4
4．（3分）已知点P（a﹣3，a+2）在x轴上，则a＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．5
5．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.3
36.7
36.2
36.3
36.2
36.4
36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
6．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝2x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
8．（3分）下列命题中为真命题的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．是最简二次根式
C．数，，都是无理数
D．已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1
9．（3分）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km．下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地的上坡路程长xkm，平路路程长为ykm，依题意列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：
①m＝1；
②a＝40；
③甲车从A地到B地共用了7小时；
④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）的平方根为 ．
12．（3分）如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 m．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，5），则方程组的解是 ．
14．（3分）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点P是直线l：x+y＝4上的一个动点，若∠PAB＝∠ABO，则点P的坐标是 ．
三.解答题（16，17，题每题8分，18，19每题6分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．（8分）计算：
（1）+．
（2）﹣2×+|1﹣|．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．
（1）求△ABD的面积．
（2）求BC的长（结果保留根号）．
19．（6分）本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：
小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
根据图表，解答问题：
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
7
7
2.8
八年级
a
8
b
2.35
（1）填空：表中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
20．（8分）某APP推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元．临近春节，小融计划用压岁钱购买两种课程共60课时（其中A课程不超过40课时），请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高，最高利润是多少元？
21．（9分）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为 ．
22．（10分）【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（ ）
A．6，8，11 B．5，12，13 C．1，，2 D．3，4，5
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【解答】解：A、62+82≠112，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故符合题意；
B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
D、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
2．（3分）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝150°，
∴∠C＝∠B＝150°．
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．×＝ C．﹣＝ D．÷＝4
【分析】各式利用二次根式乘除法则，以及二次根式性质计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2，不符合题意；
B、原式＝＝，符合题意；
C、原式＝2﹣＝，不符合题意；
D、原式＝2÷＝2，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）已知点P（a﹣3，a+2）在x轴上，则a＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．5
【分析】根据在x轴上点的纵坐标为0得到a+2＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵点P（a﹣3，a+2）在x轴上，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2．
故选：A．
5．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.3
36.7
36.2
36.3
36.2
36.4
36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为36.2，36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.7，
该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，
将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，
故选：C．
6．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝2x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝2x﹣k的图象经过第一、二、三象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝2x﹣k的一次项系数大于0，常数项大于0，
∴一次函数y＝2x﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．
故选：B．
7．（3分）如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
【分析】延长AE交直线CD于F，根据平行线的性质得出∠α+∠AFD＝180°，根据三角形外角性质得出∠AFD＝∠β﹣∠γ，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD＝180°，
∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，
故选：C．
8．（3分）下列命题中为真命题的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．是最简二次根式
C．数，，都是无理数
D．已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1
【分析】利用三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、是有理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1，正确，为真命题，符合题意．
故选：D．
9．（3分）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km．下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地的上坡路程长xkm，平路路程长为ykm，依题意列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．
【解答】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm，ykm，
由题意得：，
故选：C．
10．（3分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：
①m＝1；
②a＝40；
③甲车从A地到B地共用了7小时；
④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】（1）由函数图象中的信息求出m的值；
（2）根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值；
（3）求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答；
（4）根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1，故①结论正确；
120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得：
，
解得，
当y＝260时，260＝40x﹣20，
解得：x＝7，
∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确；
当1.5＜x≤7时，y＝40x﹣20．
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k'x+b'，由题意得：
，
解得，
∴y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，
解得：x＝，
当40x﹣20+50＝80x﹣160时，
解得：x＝，
∴，，
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故④结论错误．
∴正确结论的个数是3个．
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）的平方根为 ±3 ．
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵＝9
∴的平方根为±3．
故答案为：±3．
12．（3分）如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 26 m．
【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：
则AC＝底面周长＝24m，BC＝10m，
在Rt△ABC中，AB＝＝26（m），
故答案为：26．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，5），则方程组的解是 ．
【分析】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求得结论．
【解答】解：把P（m，5）代入y＝x+2得m+2＝5，解得m＝3，
所以P点坐标为（3，5），
所以方程组的解是．
故答案为．
14．（3分）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 10 ．
【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．
【解答】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，
∵AP＝A'P，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，
∵A（0，3），
∴A'（0，﹣3），
∵B（6，5），
∴A'B＝10，
∴P点到A、B的距离最小值为10，
故答案为：10．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点P是直线l：x+y＝4上的一个动点，若∠PAB＝∠ABO，则点P的坐标是 （﹣4，8）或（12，﹣8） ．
【分析】方法一：分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，﹣a+4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
方法二：设C（m，0），根据题意得到（m+4）2＝m2+82，解方程求得C的坐标，从而求得直线AP的解析式，然后通过联立解析式，解方程组即可求得P点的坐标．
【解答】解：方法一：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AP∥OB，
∵A（0，8），
∴P点纵坐标为8，
又P点在直线x+y＝4上，把y＝8代入可求得x＝﹣4，
∴P点坐标为（﹣4，8）；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为（a，﹣a+4），设直线AP的解析式为y＝kx+b，
把A、P坐标代入可得，解得，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+8，
令y＝0可得﹣x+8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（﹣4，0），
∴BC2＝（+4）2＝（）2++16，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2++16，
解得a＝12，则﹣a+4＝﹣8，
∴P点坐标为（12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠ACB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（m+4）2＝m2+82，
解得m＝6，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+8，
由，解得．
∴P（12，﹣8）．
综上可知，P点坐标为（﹣4，8）或（12，﹣8）．
故答案为：（﹣4，8）或（12，﹣8）．
三.解答题（16，17，题每题8分，18，19每题6分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．（8分）计算：
（1）+．
（2）﹣2×+|1﹣|．
【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可；
（2）先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：（1）+
＝+
＝+
＝+
＝0；
（2）﹣2×+|1﹣|
＝﹣2﹣2×+﹣1
＝﹣2﹣+﹣1
＝﹣3．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）②﹣①得出4y＝12，求出y，再把y＝3代入②求出x即可；
（2）整理后①+②得出6x＝12，求出x，再把x＝2代入①求出y即可．
【解答】解：（1），
②﹣①，得4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入②，得x+3＝15，
解得：x＝12，
所以方程组的解是；
（2），
原方程组化为：，
①+②，得6x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得6+2y＝4，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是．
18．（6分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．
（1）求△ABD的面积．
（2）求BC的长（结果保留根号）．
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，再根据面积公式列式计算即可；
（2）利用勾股定理求出DC，那么BC＝BD+DC．
【解答】解：在△ABD中，AB＝5，BD＝3，AD＝4，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴S△ABD＝AD•BD＝×4×3＝6；
（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴DC2＝AC2﹣AD2＝82﹣42＝48，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝3+4．
19．（6分）本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：
小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
根据图表，解答问题：
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
7
7
2.8
八年级
a
8
b
2.35
（1）填空：表中的a＝ 7.5 ，b＝ 7.5 ；
（2）你认为 八 年级的成绩更加稳定，理由是 八年级成绩的方差小于七年级 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中6分及6分以上人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由表可知，八年级成绩的平均数a＝＝7.5，
所以其众数a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝＝7.5，
故答案为：8、7.5；
（2）八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级；
（3）估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）．
20．（8分）某APP推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元．临近春节，小融计划用压岁钱购买两种课程共60课时（其中A课程不超过40课时），请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高，最高利润是多少元？
【分析】（1）设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，根据购买“A课程”3课时与“B课程”5课共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，利用总利润＝每课时获得的利润×购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元．
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，
依题意得：w＝25m+20（60﹣m）＝5m+1200．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为5×40+1200＝1400．
答：购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元．
21．（9分）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为 60° ．
【分析】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．
【解答】证明：（1）∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG．
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB．
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠EFG．
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG．
∴BD∥EF．
（2）过点G作GH∥BD，交AD于点H，如图，
∵BD∥EF，
∴GH∥EF．
∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，
∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，
∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，
则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．
∴∠PDM＝180°﹣α．
∵DN平分∠PDM，
∴．
∴∠EDN＝∠PDN−∠PDE＝90°﹣﹣（180°﹣4α）＝﹣90°．
∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°﹣﹣α＝90°﹣．
∵DG⊥ON，
∴∠DNG＝90°．
∴∠DNG＝90°−（90°−）＝．
∵DE∥BF，
∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．
∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，
∴180°−4α−＝﹣90°，
解得：α＝30°．
∴∠B＝180°﹣4α＝60°，
故答案为：60°．
22．（10分）【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC＝∠CEB＝90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC＝∠ECB，角角边证明△CDA≌△BEC；
（2）证明△ABO≌∠BCD，求出点C的坐标为（﹣3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出k＝﹣5，b＝﹣10，待定系数法求出直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
（3）构建△MCP≌△HPD，由其性质，点D在直线y＝﹣2x+1求出m＝或n＝0或﹣，将m的值代入点D坐标得（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BEC＝90°，
又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴
于点D，如图2所示：
∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
又∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
在△ABO和∠BCD中，
，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，5），
设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：
，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP和△HPD中，
，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，
即点D的坐标为（，﹣）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝，
解得：k＝，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，﹣）；
综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．
2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（ ）
A．6，8，11 B．5，12，13 C．1，，2 D．3，4，5
2．（3分）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．×＝ C．﹣＝ D．÷＝4
4．（3分）已知点P（a﹣3，a+2）在x轴上，则a＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．5
5．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.3
36.7
36.2
36.3
36.2
36.4
36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
6．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝2x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
8．（3分）下列命题中为真命题的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．是最简二次根式
C．数，，都是无理数
D．已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1
9．（3分）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km．下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地的上坡路程长xkm，平路路程长为ykm，依题意列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：
①m＝1；
②a＝40；
③甲车从A地到B地共用了7小时；
④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）的平方根为 ．
12．（3分）如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 m．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，5），则方程组的解是 ．
14．（3分）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点P是直线l：x+y＝4上的一个动点，若∠PAB＝∠ABO，则点P的坐标是 ．
三.解答题（16，17，题每题8分，18，19每题6分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．（8分）计算：
（1）+．
（2）﹣2×+|1﹣|．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．
（1）求△ABD的面积．
（2）求BC的长（结果保留根号）．
19．（6分）本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：
小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
根据图表，解答问题：
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
7
7
2.8
八年级
a
8
b
2.35
（1）填空：表中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
20．（8分）某APP推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元．临近春节，小融计划用压岁钱购买两种课程共60课时（其中A课程不超过40课时），请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高，最高利润是多少元？
21．（9分）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为 ．
22．（10分）【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（ ）
A．6，8，11 B．5，12，13 C．1，，2 D．3，4，5
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【解答】解：A、62+82≠112，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故符合题意；
B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
D、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
2．（3分）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝150°，
∴∠C＝∠B＝150°．
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．×＝ C．﹣＝ D．÷＝4
【分析】各式利用二次根式乘除法则，以及二次根式性质计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2，不符合题意；
B、原式＝＝，符合题意；
C、原式＝2﹣＝，不符合题意；
D、原式＝2÷＝2，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）已知点P（a﹣3，a+2）在x轴上，则a＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．5
【分析】根据在x轴上点的纵坐标为0得到a+2＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵点P（a﹣3，a+2）在x轴上，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2．
故选：A．
5．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.3
36.7
36.2
36.3
36.2
36.4
36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为36.2，36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.7，
该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，
将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，
故选：C．
6．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝2x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝2x﹣k的图象经过第一、二、三象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝2x﹣k的一次项系数大于0，常数项大于0，
∴一次函数y＝2x﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴的正半轴相交．
故选：B．
7．（3分）如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
【分析】延长AE交直线CD于F，根据平行线的性质得出∠α+∠AFD＝180°，根据三角形外角性质得出∠AFD＝∠β﹣∠γ，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD＝180°，
∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，
故选：C．
8．（3分）下列命题中为真命题的是（ ）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．是最简二次根式
C．数，，都是无理数
D．已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1
【分析】利用三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、是有理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1，正确，为真命题，符合题意．
故选：D．
9．（3分）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km．下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地的上坡路程长xkm，平路路程长为ykm，依题意列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．
【解答】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm，ykm，
由题意得：，
故选：C．
10．（3分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：
①m＝1；
②a＝40；
③甲车从A地到B地共用了7小时；
④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】（1）由函数图象中的信息求出m的值；
（2）根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值；
（3）求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答；
（4）根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1，故①结论正确；
120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得：
，
解得，
当y＝260时，260＝40x﹣20，
解得：x＝7，
∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确；
当1.5＜x≤7时，y＝40x﹣20．
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k'x+b'，由题意得：
，
解得，
∴y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，
解得：x＝，
当40x﹣20+50＝80x﹣160时，
解得：x＝，
∴，，
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故④结论错误．
∴正确结论的个数是3个．
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）的平方根为 ±3 ．
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵＝9
∴的平方根为±3．
故答案为：±3．
12．（3分）如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 26 m．
【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：
则AC＝底面周长＝24m，BC＝10m，
在Rt△ABC中，AB＝＝26（m），
故答案为：26．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，5），则方程组的解是 ．
【分析】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求得结论．
【解答】解：把P（m，5）代入y＝x+2得m+2＝5，解得m＝3，
所以P点坐标为（3，5），
所以方程组的解是．
故答案为．
14．（3分）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 10 ．
【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．
【解答】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，
∵AP＝A'P，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，
∵A（0，3），
∴A'（0，﹣3），
∵B（6，5），
∴A'B＝10，
∴P点到A、B的距离最小值为10，
故答案为：10．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点P是直线l：x+y＝4上的一个动点，若∠PAB＝∠ABO，则点P的坐标是 （﹣4，8）或（12，﹣8） ．
【分析】方法一：分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，﹣a+4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
方法二：设C（m，0），根据题意得到（m+4）2＝m2+82，解方程求得C的坐标，从而求得直线AP的解析式，然后通过联立解析式，解方程组即可求得P点的坐标．
【解答】解：方法一：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AP∥OB，
∵A（0，8），
∴P点纵坐标为8，
又P点在直线x+y＝4上，把y＝8代入可求得x＝﹣4，
∴P点坐标为（﹣4，8）；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为（a，﹣a+4），设直线AP的解析式为y＝kx+b，
把A、P坐标代入可得，解得，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+8，
令y＝0可得﹣x+8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（﹣4，0），
∴BC2＝（+4）2＝（）2++16，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2++16，
解得a＝12，则﹣a+4＝﹣8，
∴P点坐标为（12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠ACB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（m+4）2＝m2+82，
解得m＝6，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+8，
由，解得．
∴P（12，﹣8）．
综上可知，P点坐标为（﹣4，8）或（12，﹣8）．
故答案为：（﹣4，8）或（12，﹣8）．
三.解答题（16，17，题每题8分，18，19每题6分，20题8分，21题9分，22题10分）
16．（8分）计算：
（1）+．
（2）﹣2×+|1﹣|．
【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可；
（2）先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：（1）+
＝+
＝+
＝+
＝0；
（2）﹣2×+|1﹣|
＝﹣2﹣2×+﹣1
＝﹣2﹣+﹣1
＝﹣3．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）②﹣①得出4y＝12，求出y，再把y＝3代入②求出x即可；
（2）整理后①+②得出6x＝12，求出x，再把x＝2代入①求出y即可．
【解答】解：（1），
②﹣①，得4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入②，得x+3＝15，
解得：x＝12，
所以方程组的解是；
（2），
原方程组化为：，
①+②，得6x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得6+2y＝4，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是．
18．（6分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．
（1）求△ABD的面积．
（2）求BC的长（结果保留根号）．
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，再根据面积公式列式计算即可；
（2）利用勾股定理求出DC，那么BC＝BD+DC．
【解答】解：在△ABD中，AB＝5，BD＝3，AD＝4，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴S△ABD＝AD•BD＝×4×3＝6；
（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴DC2＝AC2﹣AD2＝82﹣42＝48，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝3+4．
19．（6分）本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：
小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
根据图表，解答问题：
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
7
7
2.8
八年级
a
8
b
2.35
（1）填空：表中的a＝ 7.5 ，b＝ 7.5 ；
（2）你认为 八 年级的成绩更加稳定，理由是 八年级成绩的方差小于七年级 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中6分及6分以上人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由表可知，八年级成绩的平均数a＝＝7.5，
所以其众数a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝＝7.5，
故答案为：8、7.5；
（2）八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级；
（3）估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）．
20．（8分）某APP推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元．临近春节，小融计划用压岁钱购买两种课程共60课时（其中A课程不超过40课时），请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高，最高利润是多少元？
【分析】（1）设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，根据购买“A课程”3课时与“B课程”5课共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，利用总利润＝每课时获得的利润×购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元．
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，
依题意得：w＝25m+20（60﹣m）＝5m+1200．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为5×40+1200＝1400．
答：购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元．
21．（9分）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为 60° ．
【分析】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．
【解答】证明：（1）∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG．
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB．
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠EFG．
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG．
∴BD∥EF．
（2）过点G作GH∥BD，交AD于点H，如图，
∵BD∥EF，
∴GH∥EF．
∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，
∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，
∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，
则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．
∴∠PDM＝180°﹣α．
∵DN平分∠PDM，
∴．
∴∠EDN＝∠PDN−∠PDE＝90°﹣﹣（180°﹣4α）＝﹣90°．
∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°﹣﹣α＝90°﹣．
∵DG⊥ON，
∴∠DNG＝90°．
∴∠DNG＝90°−（90°−）＝．
∵DE∥BF，
∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．
∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，
∴180°−4α−＝﹣90°，
解得：α＝30°．
∴∠B＝180°﹣4α＝60°，
故答案为：60°．
22．（10分）【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC＝∠CEB＝90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC＝∠ECB，角角边证明△CDA≌△BEC；
（2）证明△ABO≌∠BCD，求出点C的坐标为（﹣3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出k＝﹣5，b＝﹣10，待定系数法求出直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
（3）构建△MCP≌△HPD，由其性质，点D在直线y＝﹣2x+1求出m＝或n＝0或﹣，将m的值代入点D坐标得（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BEC＝90°，
又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴
于点D，如图2所示：
∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
又∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
在△ABO和∠BCD中，
，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，5），
设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：
，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP和△HPD中，
，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，
即点D的坐标为（，﹣）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝，
解得：k＝，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，﹣）；
综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．
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