2021届河北省唐山市高考二模数学试题（含答案）

这是一份2021届河北省唐山市高考二模数学试题（含答案），文件包含二模数学答案docx、2021届河北省唐山市高考二模数学试题扫描版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
一．选择题：
1~4．CABD5~8．DBCD
9．BD10．ACD11．CD12．ABC
二．填空题：
13．eq \f(\r(3),3)；14． eq \f(21,16)；
15．y＝tanx，或y＝x－eq \f( 1 ,x)或y＝ eq \b\lc\{(\a\al(x＋1，x＜0，,x－1，x＞0，))等；
16．eq \r(5)＋2．
17．解：
（1）设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋ eq \f(n(n－1)d,2)，…2分
所以S4＝4a1＋6d＝24；S10＝10a1＋45d＝120，
解得a1＝3，d＝2． …4分
故Sn＝3n＋n2－n＝n2＋2n．…5分
（2） eq \f(1,Sn)＝ eq \f(1,n2＋2n)＝ eq \f( 1 ,2)( eq \f( 1 ,n)－ eq \f(1,n＋2))，…7分
所以Tn＝ eq \f(1,S1)＋ eq \f(1,S2)＋ eq \f(1,S3)＋……＋ eq \f(1,Sn)
＝ eq \f( 1 ,2)[(1－ eq \f( 1 ,3))＋( eq \f( 1 ,2)－ eq \f( 1 ,4))＋( eq \f( 1 ,3)－ eq \f( 1 ,5))＋…＋( eq \f(1,n－1)－ eq \f(1,n＋1))＋( eq \f( 1 ,n)－ eq \f(1,n＋2))]
＝ eq \f( 1 ,2)(1＋ eq \f( 1 ,2)－ eq \f(1,n＋1)－ eq \f(1,n＋2))…9分
＜ eq \f( 1 ,2)(1＋ eq \f( 1 ,2))
＝ eq \f( 3 ,4)．…10分
18．解：
（1）eq \(t,-)＝eq \f(4＋13＋23＋33,4)＝18.25，…3分
eq \(a,ˆ)＝eq \(y,-)－eq \(b,ˆ)eq \(t,-)＝70.6375－0.25×18.25＝70.6375－4.5625＝66.075．…6分
（2）2020年对应的年份代码t＝43，…7分
M1＝eq \(a,ˆ)＋eq \(b,ˆ)t＝66.075＋0.25×43＝66.075＋10.75＝76.825≈76.83．…10分
从散点图的发展趋势可以得出：随着年份代码增加，人口平均预期寿命提高的越快．
因此，估计M1＜M．…12分
19．解：
（1）由EF∥AD，AD＝2EF，可知延长AF，DE交于一点设为P．过P点作AB的平行线即为l，l∥AB，理由如下…1分
由题意可知AB∥CD，AB平面CDE，CD平面CDE，则AB∥平面CDE．
又AB平面ABF，平面ABF∩平面CDE＝l，则l∥AB．…5分
A
B
C
D
E
F
P
l
x
y
z
O
（2）法一．
由底面ABCD为正方形，且平面ADEF⊥平面ABCD，得AB⊥平面ADEF，
由（1）可知l∥AB，则l⊥平面ADEF，所以∠APD即为平面ABF与平面CDE所成二面角的平面角．…9分
由EF∥AD，AD＝2EF，DE＝1，AF＝eq \r(3)，得DP＝2，AP＝2eq \r(3)，又AD＝4，则
AD2＝DP2＋AP2，所以∠APD ＝90°．
所以，平面ABF与平面CDE所成二面角的大小为90°．…12分
法二．由EF∥AD，AD＝2EF，DE＝1，AF＝eq \r(3)，得DP＝2，AP＝2eq \r(3)，又AD＝4，则AD2＝DP2＋AP2，所以∠APD＝90°，…7分
由题意可知，P点向平面ABCD引垂线，垂足落在AD上，设为O，则OD＝1．
以O为原点，以eq \(OD,\s\up5(→)),eq \(OP,\s\up5(→))的方向分别为y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．
A(0，－3，0)，B(4，－3，0)，P(0，0，eq \r(3))，则eq \(AB,\s\up5(→))＝(4，0，0)，eq \(AP,\s\up5(→))＝(0，3，eq \r(3))，设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
由eq \(AB,\s\up5(→))·m＝0，eq \(AP,\s\up5(→))·m＝0得eq \b\lc\{(\a\al(4x＝0，,3y＋\r(3)z＝0，))
可取m＝(0，1，－eq \r(3))，…9分
D(0，1，0)，C(4，1，0)，则eq \(DC,\s\up5(→))＝(4，0，0)，eq \(DP,\s\up5(→))＝(0，－1，eq \r(3))，
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，同理可得n＝(0，eq \r(3)，1)，…11分
因为m·n＝0，所以平面PAB⊥平面PCD，即平面ABF⊥平面CDE，
所以，平面ABF与平面CDE所成二面角的大小为90°．…12分
20．解：
（1）依题意S△ABC＝ eq \f( 1 ,2)absinC＝ eq \f( 1 ,2)c· eq \r(3)＝2 eq \r(3)，可得c＝4，
因为C＝ eq \f( π ,3)，所以ab＝8．…3分
由余弦定理得a2＋b2－ab＝c2，
因此(a＋b)2＝c2＋3ab＝40，…5分
即a＋b＝2 eq \r(10)．
故△ABC的周长为2 eq \r(10)＋4．…6分
（2）由（1）及正弦定理可得
eq \f( 2 ,a)＋eq \f( 1 ,b)＝eq \f(2b＋a ,ab)＝eq \f(2b＋a ,2c)＝eq \f(2sinB＋sinA ,\r(3))， …8分
＝eq \f(2sin(\f(2,3)－A)＋sinA ,\r(3))＝eq \f(\r(7)sin(A＋θ),\r(3))，(其中θ为锐角，且sinθ＝ eq \f(\r(3),\r(7)))…10分
由题意可知0＜A＜ eq \f(2π,3)，
因此，当A＋θ＝ eq \f( π ,2)时，eq \f( 2 ,a)＋eq \f( 1 ,b)取得最大值 eq \f(\r(21),3)．…12分
21．解：
（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝eq \f( 1 ,x)－1．…1分
0＜x＜1时，f(x)＞0；x＞1时，f(x)＜0，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减．…3分
即x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝a－1，
依题意，a－1≤0，故a≤1．…5分
（2）由（1）知，a＞1，0＜m＜1＜n，ea－1＝eq \f(em－1 ,m)＝eq \f(en－1 ,n)．
所以2ea－1－(m＋eq \f( 1 ,m))＝eq \f(2em－1 ,m)－(m＋eq \f( 1 ,m))＝eq \f(2em－1 －m2－1,m)；
2ea－1－(n＋eq \f( 1 ,n))＝eq \f(2en－1 ,n)－(n＋eq \f( 1 ,n))＝eq \f(2en－1 －n2－1,n)． …8分
令g(x)＝2ex－1 －x2－1，则g(x)＝2ex－1 －2x，
由（1）知，lnx≤x－1，等号当且仅当x＝1时成立，
所以ex－1≥x，等号当且仅当x＝1时成立，
于是可得g(x)≥0，即g(x)单调递增，
因此，当0＜x＜1时，g(x)＜g(1)＝0；当x＞1时，g(x)＞g(1)＝0，…11分
所以2ea－1－(n＋eq \f( 1 ,n))＞0，2ea－1－(m＋eq \f( 1 ,m))＜0，
故n＋eq \f( 1 ,n)＜2ea－1＜m＋eq \f( 1 ,m)．…12分
22．解：
（1）由题设得P(3，t)，A(－a，0)，B(0，－1)．…1分
则eq \(AP,→)＝(a＋3，t)，eq \(BP,→)＝(3，1＋t)．
所以eq \(AP,→)·eq \(BP,→)＝9＋3a＋t2＋t＝(t＋eq \f( 1,2))2＋3a＋eq \f(35,4)，…3分
于是t＝－eq \f( 1,2)时，eq \(AP,→)·eq \(BP,→)取得最小值3a＋eq \f(35,4)，所以3a＋eq \f(35,4)＝eq \f(59,4)，解得a＝2．
所以E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．…5分
（2）假设存在点P(3，t)满足题设，设D(x1，y1)，则eq \(AP,→)＝(5，t)，eq \(AD,→)＝(x1＋2，y1)，由题意可知存在λ∈(0，1)，使得eq \(AD,→)＝λeq \(AP,→)，即
eq \b\lc\{(\a\al(x1＋2＝5λ，,y1＝λt，))整理得eq \b\lc\{(\a\al(x1＝5λ－2，,y1＝λt))，代入eq \f(x2,4)＋y2＝1中，有
eq \f((5λ－2)2,4)＋(λt)2＝1①…8分
设C(x2，y2)，eq \(BP,→)＝(3，t＋1)，eq \(BC,→)＝(x2，y2＋1)，同理可得eq \(BC,→)＝λeq \(BP,→)，即
eq \b\lc\{(\a\al(x2＝3λ，,y2＋1＝λt＋λ，))整理得eq \b\lc\{(\a\al(x2＝3λ，,y2＝λt＋λ－1))，代入eq \f(x2,4)＋y2＝1中，有
eq \f((3λ)2,4)＋(λt＋λ－1)2＝1②…10分
由①－②得λ(λ－1)(3－2t)＝0，且λ∈(0，1)，
解得t＝eq \f( 3,2)．
故当P(3，eq \f( 3,2))时，四边形ABCD为梯形．…12分
法二．
假设存在点P满足题设，则t＞0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
所以直线PA的方程为y＝eq \f( t ,5)(x＋2)，直线PB的方程为y＝eq \f(t＋1,3)x－1.
将y＝eq \f( t ,5)(x＋2)代入E得(4t2＋25)x2＋16t2x＋16t2－100＝0，
可得x2×(－2)＝eq \f(16t2－100,4t2＋25)，所以x2＝eq \f(50－8t2,4t2＋25)．…8分
将y＝eq \f(t＋1,3)x－1代入E得(4t2＋8t＋13)x2－24(t＋1)x＝0，
可得x1＝eq \f(24(t＋1),4t2＋8t＋13)．…9分
若四边形ABCD为梯形，则AB∥CD，所以eq \f(|AD|,|AP|)＝eq \f(|BC|,|BP|)，
于是eq \f(x2＋2,5)＝eq \f(x1,3)，所以eq \f(20,4t2＋25)＝eq \f(8(t＋1),4t2＋8t＋13)，整理可得8t3－12t2＋10t－15＝0，
即(2t－3)(4t2＋5)＝0，解得t＝eq \f( 3,2)．故当P(3，eq \f( 3,2))时，四边形ABCD为梯形．…12分