四川省自贡市2014－2015学年上学期八年级期末统一考试数学试题（解析版）

自贡市2014－2015学年上学期八年级期末统考 数学试题考点分析及解答

赵化中学  郑宗平

一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意）

1、下列计算正确的是 （   ）

A.    B.    C.      D.

考点：主要是幂的运算法则和单项式的乘除法.

分析： .  故选A

2、如与的乘积中不含的一次项，则的值为 （   ）

A.－2                  B.2                    C.0                 D.1　      

考点：多项式的乘法法则.

分析：主要是多项式的乘法法则计算出，然后的一次项的系数切入.

略解：.∵与的乘积中不含的一次项

∴  ∴ .  故选B

3、多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是 （   ）

A.4                    B.－4                  C.±2               D.±4

考点：用公式法分解因式.

分析:要使能用完全平方公式分解因式，则要使.即

所以.   故选D

4、若分式无意义，则的值的是  （   ）

A.0                    B.－2                  C.0或2             D.±2　

考点：分式的定义，分式无意义的条件.

分析：要使分式无意义，则.

略解：当时，分式无意义.∵即 ∴或

∴或 .  故选C

5、下列图案是轴对称图形的有 （   ）

A.1个                 B.2个                  C.3个               D.4个

考点：轴对称图形.

分析：因为图形中的第一个和第三个图都能沿直线对折后重合，而第二个和第四个图只能旋转后与自身重合，所以属轴对称图形有两个.  故选B.

6．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有 （   ）　

A.1种                 B.2种                   C.3种              D.4种

考点：三角形三边之间的关系.

分析：因为6，5，4； 9，6，5； 9，6，4.均符合三角形三边之间的关系，即三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.   故选C

7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为 （   ）

A.30°             B.60°             C.60°或120°             D.30°或150°

考点:三角形高的定义，三角形内角和及其推论，等腰三角形的定义,直角三角形两锐角互余.

分析：等腰三角形一腰上高可能在腰上，也有可能在此腰的延长线上，见示意图，若

,是等腰一腰的高,.

略解：

⑴.在图甲中，∵是等腰一腰上的高

 ∴  ∴   ∴

∵  ∴.

⑵. 在图甲中，∵是等腰一腰上的高

 ∴  ∴ ∵

∵  ∴.  故选D.

8．如图，△中平分，过作直线平行于，交于

，当的位置及大小变化是，线段和的大小关系是 （   ）

A.   B. C. D.不能确定           

考点：角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定.

分析：本题中的可以拆分成,而题中又提供了证明

的条件，线段和的大小关系是可确定.

略解：

∵ ∴   ∵分别平分

∴ ∴ ∴

∴ 即 .  故选A

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分）

9、分解因式： =                     .

考点：用提公因式法和公式法分解因式.

略解：. 故填：

10、有一个多边形的内角和为540°，则它的对角线共有            条．

考点：多边形内角和定理，多边形对角线的定义及规律.

分析：本题主要是先通过多边形内角和定理得出多边形的边数，然后在此基础上可以得出多边形的对角线的条数.

略解：设此多边形的边数为 则 解得：.五边形的对角线共有5条.

故填：5

11、在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则 =         ．

考点：轴对称的性质，平面直角坐标系中关于坐标轴对称点的规律.

分析：本题抓住关于轴的对称点是，所以其横坐标互为相反数，纵坐标相等.故填：-1.

12、如图，在△中，,平分,若,则=     ．

考点：角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质.

分析：主要是抓住,由于，所以关键是求通过题中

条件可以求出,,所以根据根据直角三角形的性

质中的在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，可

以求得.

本题还可以过向边作高线，利用角平分线的性质来求的，下面就以此法作简单解法.

略解：过向边作,垂足点为,∴;∵， ∴；∵又平分 ∴ ∵ ∴

∴  ∵, ∴ ∴∴.

故填：9 .

13、新定义：为分式（为实数）的“关联数”，若“关联数” 的分式的值为0，则关于的方程的解是          ．

考点：解分式方程.

分析：的方程中可以通过提供的“关联数”建立关于的分式方程来求得.

略解： ∵的分式的值为0，根据题中的“关联数”规律可知： ， 求解验根得：. 所以可转化为，求解验根得：. 故填：

14、观察下列各式：

①.；

②.；

③.；

……   

则第个式子为：                                .

考点：找规律，《整式的乘法与因式分解》的拓展.

分析：本题关键是抓住等号的左边的第三个加数的底数是前面两个加数底数的和，而右边括号里的第三个加数是前面两个加数底数的积，可以用来表示.

故应填： 

（若化简了反而扣1分）

三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分）

15、计算：.

考点：主要是幂的运算法则和单项式的乘除法.

分析：先算乘方，再算乘除.

略解：原式＝    …… （2分）

          ＝  …… （4分） 

＝   ……（5分）

16、解方程：.

考点：解分式方程.

分析：先去分母，再解整式方程，最后验根写解.

略解：去分母：           …… （2分）

       ……（3分） 

∴  ……（4分）

      检验：当时，(x+1)(x-1)≠0

∴是原分式方程的解   ……（5分）

17、如图，点在同一直线上，.

求证：

考点：平行线的性质、三角形全等的判定、全等三角形的性质.

分析：要证明，可以通过证明≌来解决.

而能提供和.

略证：∵  ∴  …… （1分）

      又  ∴ 即 …… （2分）

      在和中   

∴≌   …… （4分）

      ∴…… （5分）

18、先化简，再求值：，其中.
考点：分式的计算和化简、因式分解、求代数式的值.

分析：本题分为化简和求值两大步骤.化简这一步要先算括号里面的，再算乘法；这是常规解法，也利用分配律进行“简便”运算；化简后，再把代入求值.

略解:原式＝    …… （3分）

         ＝   …… （4分）

     当时，原式的值为0.  …… （5分）

19、如图，在△中，,是高，是角平分线，求的度数.

考点：三角形的内角和定理及其推论、三角形角平分线的定义、三角形高线的定义、直角三角形的性质.

分析：本题要求的度数的途径不止一条，比如：①.;

②. ；③. ;  …… 下面选择第一种方法

进行解答.

略解：∵

 ∴ …… （1分）

      又平分

 ∴  …… （2分）

      ∵ 

∴   …… （3分）

      ∴   …… （4分）

      ∴ …… （5分）

四、解答题（本题有3道小题，每小题6分，共计18分）

20、叙述并证明角平分线性质定理.　

考点：角平分线的定义、垂直的定义、三角形全等的判定、全等三角形的性质、文字证明题的书写格式.

分析：证明线段相等可以通过证明两个三角形全等获得解决，根据本命题的题设，可以提供所在三角形两对对应角相等，再加上公共边这个隐含的条件，两个三角形全等的条件就有了.

解答：角平分线上的点到角两边的距离相等. …… （1分）

如图，已知,点在上，且于,于.

求证：  …… （2分）

证明：∵

      ∴  …… （3分）

      在和中

      ∴≌   …… （5分）

      ∴  ……  （6分）

21、如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，请利用甲、乙两图验证我们本学期学过的一个乘法公式.

考点：面积理论性质、正方形面积公式、梯形的面积公式、乘法公式.

分析： 通过正方形和梯形的面积公式可以分用  表示出

图甲和图乙阴影部别分的面积；由于 两个图形的阴影部分的面

积相等，通过整理即可得出乘法公式.             

 略解：∵＝

＝ …… （2分）

          …… （4分）

           ∴  …… （5分）

 即两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差. …… （6分）

        [注：若写成扣1分]

22、已知四边形中，.求证：

考点：三角形全等的判定、全等三角形的性质、平行线的性质、“截长补短”的辅助线方法.

分析：在上截取一线段等于中的任意一条，比如在截取,然后证明

即可解决.而这可以通过证明≌来解决.

略证：在截取一点,使，连接  …… （1分）

     在和中

     ∴≌ …… （2分） 

∴  …… （3分）

     ∵ ∴ 又

 ∴ …… （4分）

在和中   

 ∴≌    …… （5分）

      ∴  

∴   …… （6分）

五、解答下列各题（第23题7分，第24题8分，共计15分）

23、某一工程在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程款1.2万元，乙工程款0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书预算，有如下方案：

⑴.甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

⑵.乙队单独完成这项工程要比规定时间多用6天；

⑶.若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.

试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由.

考点：列方程解应用题的一般步骤、列分式方程、解分式方程、方案优选.

分析：本题关键是要把预计工期的时间确定出来，因为⑴问可知甲队单独完成这项工程的时间恰好等于预计工期，从⑵问看乙队单独完成这项工程要比规定时间多用6天；而预计工期要通过第⑶问切入才可获得解决.

根据第⑶问题意，等量关系表示为：甲乙合作3天的工作量+乙在余下时间段所施工工作量=总工作量（总工作量可设为“1”）；或表示为：甲3天的工作量+乙在整个预期时间段的工作量=1；把预计工期设为未知数来表示出工作效率，进一步表示出等量关系中的工作量，建立方程使可以问题得以解决.

略解：设工程的预计工期为天，总工作量设为单位“1”，由题意列方程：…… （0.5分）

    解得：          ……    （4分）

经检验是原方程的解且符合题意    ……    （4.5分）

  方案一：（万元）.  ……    （5分）

方案二：因完工时间超工期时间故不做考虑.       ……    （5.5分）

方案三：（万元）.      ……    （6分）

∵    ∴ 应选方案三                   ……    （6.5分）

答：不耽误工期的前提下，方案三最工程款最省.   ……    （7分）

24、如图所示，点是等边三角形内一点，,以为边作等边三角形，连接AD.

⑴.当时，试判断△的形状，并说明理由；

⑵.探究：当为多少度时，△是等腰三角形.

考点：等边三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形全等的判定、全等三角形的性质、直角三角形的定义、三角形的内角和等.

分析：

⑴.本问若不结合条件直接从示意图来看，“外观”上是很难判断△的形状;但根据题中提供的条件可以判定≌,从而得出这一关键结论，在此基础上进一步判断△的形状的就是轻而易举的事了.

⑵. 结合题干条件和⑴问，在角度变化过程中，可以看出△中的、是变化的，而是个“定值”；若能把这个“定值”求出来，的度数用角度式子表示出来，问题便可获得解决，恰好题干和⑴问提供这样的条件.

略解：⑴.△为直角三角形.

      理由：在等边和等边中有：

∴

∴≌ 

∴

又∵ ∠CDO=600

 ∴

∴△是直角三角形          ……    （3分）

⑵.由≌可以得出

故∠AOD=3600-600-1100-α=1900-α, ∠ADC=α-600

∴∠OAD=1800-(1900-α)-(α-600)=500             ……  （4分）

①.当,即，时.

,△是等腰三角形                      ……  （5分）

②. 当,即，时.

,△是等腰三角形                       ……  （6分）

③. 当,即，时.

,△是等腰三角形                      ……  （7分）

∴当为时，△是等腰三角形      ……  （8分）