吉林省名校2022届高三12月第三次摸底检测数学（理）试卷（PDF版）

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
（13） （14） 36
（15） （16）
三、解答题（共70分）
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），当时，；
当，时，，.
当时也符合, .
（Ⅱ）
.
（18）（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）根据频率分布直方图，该公司平均每天的配货量为：
（箱）
（Ⅱ）每天的可配送货物量不低于箱的概率为，每天的可配送货物量低于箱的概率为.
的所有可能取值为50，100，150，200.则
， ，
， .
所以的分布列为:
所以（元）.
（19）（本小题满分12分）
解：依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．
x
z
y
D
E
A
B
C
F
（Ⅰ）法一：证明：依题意，平面，，平面，，又，，平面，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面．
法二：，平面，平面，平面.同理平面，，平面平面，又平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：设为平面的法向量，则即
不妨令，可得．同理可得平面的一个法向量为
由题意，有，解得．
． 平面，为直线与平面所成角，
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）法一：
过，且，设，不妨设为第一象限点，则.
则，，
，.
，.
法二： ，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设椭圆， ，线段的中点，由题意可以判断直线的斜率存在，设，
，，
= 1 \* GB3 ①
四边形是平行四边形，是的中点，，在椭圆上， = 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①代入 = 2 \* GB3 ②得，，
整理得，解得或（舍去），
所以直线的斜率为.
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），因为为的零点，所以，
即，从而.
①因为，所以是的零点.
②当时，设，则.
（ⅰ）若，令，则，
所以在单调递减，因为，所以存在唯一的
，使得.当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
（ⅱ）若，令，则，故在上单调递减，所以.又，
所以在上单调递减；
（ⅲ）若，则在上单调递减.
由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）可得，在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以存在唯一使得.
当时，，在上单调递增，，
当时，，在上单调递减，
因为，所以在上有且只有一个零点.
综上，在上有两个零点.
（Ⅱ）当时，，则不等式化为，即为.
法一：
令
则
当时，，在单调递增，且，故时满足题意；
当时，令，则在有无数零点
存在最小的一个，使，则在单调递增，
，使
，故不满足题意，舍去.
当时，，令，，不满足题意，舍去.
综上，.
法二：
令，则，，.
当时，，令，则
，于是在上单调递减，所以，
故.
当时，考虑，此时.
记，于是当时，，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）.
在上，.
.
（Ⅱ），的倾斜角为，
（为参数）
代入得，.
.
（23）（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）由题设，
∴要使，
由得；由得；由得；
综上，的解集为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：的最小值为，即.
∵ ∴ ∴，
∵为正实数，
当且仅当时等号成立，
∴得证.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
A
D
B
A
D
A
B
B
50
100
150
200
50
100
150
200
X
50
100
150
200
P