河南省郑州市2022届高三上学期第一次质量预测（一模）（1月）数学（理）含答案

郑州市2022年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学试题卷

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，集合，则
   A．
   B．
   C．
   D．
2. 已知是虚数单位，若，则
   A．
   B．
   C．
   D．
3. 已知命题；命题．则下列命题中为真命题的是
   A．
   B．
   C．
   D．
4. 若实数满足则的最小值为
   A．
   B．1
   C．
   D2
5. 若函数满足，则下列函数中为奇函数的是
   A．
   B．
   C．
   D．
6. 为了落实五育并举，全面发展学生素质．学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团．现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至配1名同学，则不同的分配方案共有
   A．60种
   B．120种
   C．240种
   D．480种
7. 已知函数，为了得到函数的图象只需将的图象
   A．向右平移个单位
   B．向右平移个单位
   C．向左平移个单位
   D．向左平移．个单位
8. 数学家阿基米德建立了这样的理论： “任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．如图，直线与抛物线交于两点，两点在轴上的射影分别为，从长方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为

A．

B．

C．
D．

9. 魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理．因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》．受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度．如图，点在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为 “表高”，测得以下数据(单位：米)：前表却行，表高，后表却行，表距．则塔高

A．60米
B．61米
C．62米
D．63米

10. 在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是
    A．
    B．
    C．
    D．
11. 已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为
    A．
    B．1
    C．
    D．2
12. 已知，函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
    A．
    B．
    C．
    D．
    二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已，则________．
14. 已知的展开式中所有二项式系数之和是64，则它展开式中的系数________．
15. 双曲线与抛物线．有共同的焦点，双曲线左焦点为，点是双曲线右支一点，过向的角平分线做垂线，垂足为1，则双曲线的离心率是________．
16. 已知正方体的棱长为是空间中任意一点．

①若点是正方体表面上的点，则满足的动点轨迹长是；
②若点是线段上的点，则异面直线和所成角的取值范围是．；
③若点是侧面上的点，到直线的距离与到点的距离之和为2，则的轨迹是椭圆；
④过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，则平面截正方体所得截面的最大面积是．
以上说法正确的有________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分

17. (12分)
    已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①、成等比数列；②；③．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．

(I)求的通项公式；
(II)若，且，求数列的前项和．

18. (12分)
    为深人贯彻党的十九大教育方针．中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市2000名初二学生 “双减” 政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表：
    表一：“双减”政策后

表二： “双减” 政策前

(I)用一个数字特征描述 “双减”政策给学生的运动时间带来的变化(同一时间段的数据用该组区间中点值做代表)；
(II)为给参加运动的学生提供方便，学校在球场边安装直饮水设备．该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌品牌售价5百元，使用寿命7个月或8个月(概率均为)；品牌售价2百元，寿命3个月或4个月(概率均为)．现有两种购置方案，方案甲：购置2个品牌；方案乙：购置1个品牌和2个品牌．试从性价比(设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比)角度考虑，选择哪一种方案更实惠．

19. (12分)
    在矩形中中，是中点，连接，将沿折起，使得点移动至点，满足平面平面．

(I)求证：；
(II)求二面角的余弦值．

20. (12分)
    设函数．
    (I)求函数的单调区间；
    (II)当时，证明：．
21. (12分)
    已知椭圆的左焦点为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，当轴时，．
    (I)求椭圆的方程；
    (II)设经过点的直线与椭圆相交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求面积的取值范围．

(二)选考题：共10分．请考生在第题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. [选修：坐标系与参数方程] (10分)
    在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    (I)若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    (II)设点的直角坐标系下的坐标为，直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．
23. [选修：不等式选讲](10分)
    已知均为正数，且满足．
    (I)证明：；
    (II)证明：．

郑州市2021-2022上期高三理科数学评分参考

一、选择题

二、填空题

13.4;     14.       15.      16.①④.

三、解答题

17.（12分）

解：①：因为、、成等比数列，则，即，

因为，可得.......................2分

②即.

③，可得，可得.......................3分

若选①②，则有，可得，则；

若选①③，则，则；

若选②③，则，可得，所以，.········6分

（2）解：，且,

所以，当时，则有

，

也满足，故对任意的，，···························9分

则，

所以，·········12分

18（12分）

解：双减政策后运动时间的的众数是65，双减政策前众数是55，说明双减政策后，大多数学生的运动时间都变长；（平均数、中位数等都可以）································4分

（1）若采用甲方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值有，

，，

则的分布列：

它与成本之比为·························································7分

若采用乙方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值有,

，，

它与成本之比为····················································11分

方案乙性价比更高.    ············································12分

19.（12分）

证明：在矩形中，连接，记

················································2分

在四棱锥中，线段取点满足

··································································4分

····················································6分

（2）

设平面的法向量为

·······················································8分

设平面的法向量

····························································10分

设二面角的大小为

的余弦值为····························12分

20.（12分）解：（1）函数的定义域为

故函数单调递减区间为，无单增区间···································4分

（2）当时，要证，

即证

即证·················································5分

设

在上单调递增，在上单调递减,

·····················································8分

设

在上单调递减，在上单调递增, 

······················································10分

又所以当时，···············································12分

21. （12分）解：（1）由题意可知：，可得.

又左焦点，当轴时，将带入得.

.由解得

所以椭圆的方程为··················································5分

（2）由题意可知，直线斜率必存在且不为，设直线的方程为

设，，由得.

，

，，

关于轴的对称点为，，

直线的方程为.

令，得，

·······································································8分

的面积，

令，则，，

，，

面积的取值范围·.··············································12分

（二）选考题  22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）

22. 解：（1）当时，直线的参数方程为(为参数)，

的普通方程为.

又因为，所以，所以，

所以曲线的直角坐标方程为...........................5分

（2）将代入中，

得，

设对应的参数分别为,所以，

，所以，所以，

又因为，所以或，

所以直线倾斜角为或.....................................10分

23.证明：（1）当且仅当，，时等号成立，

即证：...................................5分

（2）由柯西不等式得：

故

当且仅当，，时等号成立即证：................10分.