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专题22.2 二次函数概念（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题22.2 二次函数概念（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共17页。试卷主要包含了二次函数的解析式，二次函数的判断，二次函数的参数等内容，欢迎下载使用。
专题22.2 二次函数概念（专项练习）
一、 单选题
知识点一、二次函数的解析式
1．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( )
A． B． C． D．
2．把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为( )
A．y=320(x-1) B．y=320(1-x) C．y=160(1-x2) D．y=160(1-x) 2
3．一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为( )
A．y=x(15-x) B．y=x(30-x) C．y=x(30-2x) D．y=x(15+x)
4．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
知识点二、二次函数的判断
5．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列各式:①y=2x2-3xz+5;②y=3-2x+5x2;③y=+2x-3;④y=ax2+bx+c;⑤y=(2x-3)(3x-2)-6x2;⑥y=(m2+1)x2+3x-4(m为常数);⑦y=m2x2+4x-3(m为常数)是二次函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三、二次函数的参数
9．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
10．若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
11．若y=（m﹣1） 是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在
12．若y=（m＋1）是二次函数，则m= （ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
二、 填空题
知识点一、二次函数的解析式
13．某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式_____.
14．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为______．
15．在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ___________．
16． 圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加ycm2，则y与x之间的函数关系为_．
知识点二、二次函数的判断
17．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
18．当m≠_____时，函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数．
19．当m＝____________时，函数是二次函数．
20．下列函数中属于一次函数的是_____，属于反比例函数的是______，属于二次函数的是______
A．y＝x(x＋1) B．xy＝1 C．y＝2x2－2(x＋1)2 D．
知识点三、二次函数的参数
21．若是二次函数，则_________.
22．若函数是关于x的二次函数，则______．
23．y=（m+1）﹣3x+1是二次函数，则m的值为_____．
24．若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，则k______.
三、 解答题
知识点一、二次函数的解析式
25． 有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子。设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
26． 圆的半径为，若半径增加，则面积增加．求与的函数关系式．
27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.
28． 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．
知识点二、 二次函数的参数
29． 已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
30．已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
31．一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
32．已知函数y=-(m+2)(m为常数),求当m为何值时:
(1)y是x的一次函数?
(2)y是x的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.
33．已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
参考答案
1．C
【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，
∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，
∴y=（x+4）2-16=x2+8x，
故选：C．
【点拨】本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
2．D
【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160(1-x)(1-x)，由此即可得到函数关系式.
解：第一次降价后的价格是160(1-x)，
第二次降价为160(1-x)×(1-x)=160(1-x)2，
则y与x的函数关系式为y=160(1-x)2.
故选D.
【点拨】本题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数.
3．A
【详解】
∵长方形的周长为30，其中一边长为，
∴该长方形的另一边长为：，
∴该长方形的面积：.
故选A.
4．C
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．
【详解】
由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【详解】
A、是一次函数，故A错误；
B、（a≠0）是二次函数，故B错误；
C、是二次函数，故C正确；
D、不是二次函数，故D错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，y＝ax2＋bx＋c （a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．
6．C
【分析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.
解：①是二次函数，正确；
②不是二次函数，错误；
③整理得，是二次函数，正确；
④整理得，是二次函数，正确；
∴一共有3个二次函数；
故选择：C.
【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.
7．B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义依次判断即可.
【详解】
y=2x2-3xz+5，含有两个未知数，不是二次函数；
y=3-2x+5x2，符合二次函数的定义，是二次函数；
y=+2x-3，含有分式，不是二次函数；
y=ax2+bx+c，没有条件a≠0，不是二次函数；
y=（2x-3）（3x-2）-6x2=-10x+6，不是二次函数；
y=（m2+1）x2+3x-4（m为常数），符合二次函数定义，是二次函数；
y=m2x2+4x-3（m为常数），没有m≠0这个条件，不是二次函数；
所以是二次函数的有：2个．
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数定义是解题关键．
8．C
【解析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C．
9．B
【解析】
试题解析：∵函数y=（2-a）x2-x是二次函数，
∴2-a≠0，即a≠2，
故选B．
10．D
【分析】根据二次函数的定义，令m2−2＝2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数1−m＜0，确定m的值．
【详解】
∵已知函数为二次函数，
∴m2−2＝2，
解得m＝−2或2，
当m＝−2时，1−m＝3＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意，
当m＝2时，1−m＝−1＜0，二次函数图象开口向下，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的定义及性质，解题的关键是掌握二次函数的定义及性质．
11．A
【分析】已知一个函数是二次函数求字母的取值的解题步骤是：先令二次项的次数等于2，求出字母的值，再把使二次项系数等于零的值舍去就可得到答案.
【详解】
因为y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，
所以m2＋m＝2，m－1≠0，
所以m＝－2
故选A.
【点拨】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质.
12．B
【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
【详解】
由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；
解得m=7或-1；m≠-1，
∴m=7，
故选：B．
【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．
13．或或等.
【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．
【详解】
符合题意的函数解析式可以是或或等，(本题答案不唯一)
故答案为如或或等.
【点拨】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义.
14．y=x2+6x
解：=，故答案为．
15．【答案】y=(60+2x)(40+2x)
【详解】试题分析：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x，
由矩形的面积公式得
y＝(60＋2x)(40＋2x)．
故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)．
点拨：本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．
16．
【分析】
圆增加的面积=新圆的面积-半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可．
【详解】
解：新圆的面积为π×（x+1）2，
∴y=π×（x+1）2-π×12=πx2+2πx．
故答案为．
【点拨】
解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．
17．﹣5、3、1
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，判断出二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为多少即可．
【详解】
解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．
故答案为-5、3、1．
【点拨】
此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
18．m≠1
【分析】
依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．
【详解】
解：∵函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数，
∴m﹣1≠0，解得m≠1．
故答案为：m≠1．
【点拨】
本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
19．－1
【解析】
试题分析：根据二次函数的定义列出方程及不等式，解之即可.
解：∵函数是二次函数
∴且
∴
故答案为：－1.
20．C B A
【详解】
根据题意可知y=x（x+1）=x2+x，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1是反比例关系，所以是反比例函数；而y＝2x2－2(x＋1)2= y＝2x2－2(x2+2x+1)=-4x-2，是一次函数；函数是带二次根号的函数.
故答案为C、B、A.
21．
【分析】
根据二次函数的定义得到＝2且，然后解方程即可．
【详解】
解：根据题意得＝2
解得m＝±1
又．
∴m＝-1
故答案为-1．
【点拨】
本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
22．-3
【分析】
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【详解】
∵是关于x的二次函数，
∴
∴
解得：k=−3.
故答案为−3.
【点拨】
考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.
23．2
【解析】
,解得m=2.
24．k≠±2
【解析】
∵函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，
∴，解得：.
点拨：一个函数是二次函数需满足两个基本条件：（1）自变量的最高次数是2；（2）二次项的系数不能为0；
25．y＝4x2-80x+400.
【分析】
首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式．
【详解】
解：正方形的边长为80÷4＝20cm，
根据题意可得：y＝(20−2x)2＝4x2-80x+400．
【点拨】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键．
26．．
【分析】
根据圆的面积公式S＝πr2，进行计算求解．
【详解】
由题意得：，
即：．
【点拨】
本题考查解析式法表示变量间的关系，熟练掌握圆的面积公式是关键．
27．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长；
（2）设AP= ，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可.
（3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出.
【详解】
（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∵点D为AC边的中点
,
∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，
∴∠EPB=30°，∴EB
（2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出：
AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，
∵PD=PE，∴解得 即有AP=
（3）由（2）知：AP= ，
【点拨】
本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟练掌握相关知识是解题的关键.
28．(1). y＝－x2＋4x. (2). 32－48.
【解析】
试题分析：（1）根据AB，CE长度，利用S△AEF=16-S△ABE-S△ADF-S△CE即可解决．
（2）根据△AEF为正三角形时得∠BAE=15°，在AB上取一点M使得AM=ME，则∠MAE=∠AEM=15°，所以∠BME=30°，设BE=a，则AM=ME=2a，BM=4-2xa，在RT△MBE利用勾股定理即可求出a，进而得出EC，再利用（1）结论计算．
试题解析：
(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.
又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．
∴BE＝DF.∴CE＝CF.
∵CE＝x，AB＝4，∴CF＝x，BE＝DF＝4－x，
∴S△ADF＝S△ABE＝AB·BE＝×4×(4－x)＝8－2x，S△CEF＝CE·CF＝x2，
∴y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF＝42－2(8－2x)－x2＝－x2＋4x.
(2)当△AEF为正三角形时，AE＝EF，
∴AE2＝EF2，即16＋(4－x)2＝2x2.
整理，得x2＋8x－32＝0，解得x＝－4±4.
又∵x>0，∴x＝4－4.
∴y＝－x2＋4x＝－×(4－4)2＋4×(4－4)＝32－48，即S△AEF＝32－48.
∴当△AEF为正三角形时，△AEF的面积为32－48.
29．(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；
（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．
试题解析：
(1)∵这个函数是二次函数，
∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
(2)∵这个函数是一次函数，
∴∴m＝0.
(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．
30．（1）m=-2;（2）m≠﹣2且m≠0
【分析】
（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）根据二次函数的定义即可求解.
【详解】
（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m=0，m≠0，
解得：m=﹣2；
（2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
【点拨】
此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟知各函数的特点.
31．（1）k=2；（2）y=
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值．
【详解】
解：（1）由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
（2）把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【点拨】
此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
32．(1) m=± ;(2) m=2, 纵坐标为-8的点的坐标是(±,-8).
【分析】
（1）根据一次函数的定义求m的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m的值，从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标.
【详解】
(1)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的一次函数,得解得m=±,当m=±时,y是x的一次函数.
(2)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的二次函数,得解得m=2,m=-2(不符合题意的要舍去),当m=2时,y是x的二次函数,当y=-8时,-8=-4x2,解得x=±,故纵坐标为-8的点的坐标是(±,-8).
【点拨】
本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
33．m=3或m=﹣1；y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【解析】
试题分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
试题解析：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
专题22.2 二次函数概念（专项练习）
一、 单选题
知识点一、二次函数的解析式
1．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( )
A． B． C． D．
2．把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为( )
A．y=320(x-1) B．y=320(1-x) C．y=160(1-x2) D．y=160(1-x) 2
3．一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为( )
A．y=x(15-x) B．y=x(30-x) C．y=x(30-2x) D．y=x(15+x)
4．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
知识点二、二次函数的判断
5．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列各式:①y=2x2-3xz+5;②y=3-2x+5x2;③y=+2x-3;④y=ax2+bx+c;⑤y=(2x-3)(3x-2)-6x2;⑥y=(m2+1)x2+3x-4(m为常数);⑦y=m2x2+4x-3(m为常数)是二次函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三、二次函数的参数
9．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
10．若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
11．若y=（m﹣1） 是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在
12．若y=（m＋1）是二次函数，则m= （ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
二、 填空题
知识点一、二次函数的解析式
13．某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式_____.
14．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为______．
15．在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ___________．
16． 圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加ycm2，则y与x之间的函数关系为_．
知识点二、二次函数的判断
17．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
18．当m≠_____时，函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数．
19．当m＝____________时，函数是二次函数．
20．下列函数中属于一次函数的是_____，属于反比例函数的是______，属于二次函数的是______
A．y＝x(x＋1) B．xy＝1 C．y＝2x2－2(x＋1)2 D．
知识点三、二次函数的参数
21．若是二次函数，则_________.
22．若函数是关于x的二次函数，则______．
23．y=（m+1）﹣3x+1是二次函数，则m的值为_____．
24．若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，则k______.
三、 解答题
知识点一、二次函数的解析式
25． 有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子。设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
26． 圆的半径为，若半径增加，则面积增加．求与的函数关系式．
27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.
28． 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．
知识点二、 二次函数的参数
29． 已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
30．已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
31．一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
32．已知函数y=-(m+2)(m为常数),求当m为何值时:
(1)y是x的一次函数?
(2)y是x的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.
33．已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
参考答案
1．C
【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，
∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，
∴y=（x+4）2-16=x2+8x，
故选：C．
【点拨】本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
2．D
【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160(1-x)(1-x)，由此即可得到函数关系式.
解：第一次降价后的价格是160(1-x)，
第二次降价为160(1-x)×(1-x)=160(1-x)2，
则y与x的函数关系式为y=160(1-x)2.
故选D.
【点拨】本题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数.
3．A
【详解】
∵长方形的周长为30，其中一边长为，
∴该长方形的另一边长为：，
∴该长方形的面积：.
故选A.
4．C
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．
【详解】
由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【详解】
A、是一次函数，故A错误；
B、（a≠0）是二次函数，故B错误；
C、是二次函数，故C正确；
D、不是二次函数，故D错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，y＝ax2＋bx＋c （a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．
6．C
【分析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.
解：①是二次函数，正确；
②不是二次函数，错误；
③整理得，是二次函数，正确；
④整理得，是二次函数，正确；
∴一共有3个二次函数；
故选择：C.
【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.
7．B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义依次判断即可.
【详解】
y=2x2-3xz+5，含有两个未知数，不是二次函数；
y=3-2x+5x2，符合二次函数的定义，是二次函数；
y=+2x-3，含有分式，不是二次函数；
y=ax2+bx+c，没有条件a≠0，不是二次函数；
y=（2x-3）（3x-2）-6x2=-10x+6，不是二次函数；
y=（m2+1）x2+3x-4（m为常数），符合二次函数定义，是二次函数；
y=m2x2+4x-3（m为常数），没有m≠0这个条件，不是二次函数；
所以是二次函数的有：2个．
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数定义是解题关键．
8．C
【解析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C．
9．B
【解析】
试题解析：∵函数y=（2-a）x2-x是二次函数，
∴2-a≠0，即a≠2，
故选B．
10．D
【分析】根据二次函数的定义，令m2−2＝2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数1−m＜0，确定m的值．
【详解】
∵已知函数为二次函数，
∴m2−2＝2，
解得m＝−2或2，
当m＝−2时，1−m＝3＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意，
当m＝2时，1−m＝−1＜0，二次函数图象开口向下，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的定义及性质，解题的关键是掌握二次函数的定义及性质．
11．A
【分析】已知一个函数是二次函数求字母的取值的解题步骤是：先令二次项的次数等于2，求出字母的值，再把使二次项系数等于零的值舍去就可得到答案.
【详解】
因为y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，
所以m2＋m＝2，m－1≠0，
所以m＝－2
故选A.
【点拨】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质.
12．B
【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
【详解】
由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；
解得m=7或-1；m≠-1，
∴m=7，
故选：B．
【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．
13．或或等.
【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．
【详解】
符合题意的函数解析式可以是或或等，(本题答案不唯一)
故答案为如或或等.
【点拨】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义.
14．y=x2+6x
解：=，故答案为．
15．【答案】y=(60+2x)(40+2x)
【详解】试题分析：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x，
由矩形的面积公式得
y＝(60＋2x)(40＋2x)．
故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)．
点拨：本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．
16．
【分析】
圆增加的面积=新圆的面积-半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可．
【详解】
解：新圆的面积为π×（x+1）2，
∴y=π×（x+1）2-π×12=πx2+2πx．
故答案为．
【点拨】
解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．
17．﹣5、3、1
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，判断出二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为多少即可．
【详解】
解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．
故答案为-5、3、1．
【点拨】
此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
18．m≠1
【分析】
依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．
【详解】
解：∵函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数，
∴m﹣1≠0，解得m≠1．
故答案为：m≠1．
【点拨】
本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
19．－1
【解析】
试题分析：根据二次函数的定义列出方程及不等式，解之即可.
解：∵函数是二次函数
∴且
∴
故答案为：－1.
20．C B A
【详解】
根据题意可知y=x（x+1）=x2+x，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1是反比例关系，所以是反比例函数；而y＝2x2－2(x＋1)2= y＝2x2－2(x2+2x+1)=-4x-2，是一次函数；函数是带二次根号的函数.
故答案为C、B、A.
21．
【分析】
根据二次函数的定义得到＝2且，然后解方程即可．
【详解】
解：根据题意得＝2
解得m＝±1
又．
∴m＝-1
故答案为-1．
【点拨】
本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
22．-3
【分析】
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【详解】
∵是关于x的二次函数，
∴
∴
解得：k=−3.
故答案为−3.
【点拨】
考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.
23．2
【解析】
,解得m=2.
24．k≠±2
【解析】
∵函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，
∴，解得：.
点拨：一个函数是二次函数需满足两个基本条件：（1）自变量的最高次数是2；（2）二次项的系数不能为0；
25．y＝4x2-80x+400.
【分析】
首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式．
【详解】
解：正方形的边长为80÷4＝20cm，
根据题意可得：y＝(20−2x)2＝4x2-80x+400．
【点拨】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键．
26．．
【分析】
根据圆的面积公式S＝πr2，进行计算求解．
【详解】
由题意得：，
即：．
【点拨】
本题考查解析式法表示变量间的关系，熟练掌握圆的面积公式是关键．
27．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长；
（2）设AP= ，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可.
（3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出.
【详解】
（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∵点D为AC边的中点
,
∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，
∴∠EPB=30°，∴EB
（2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出：
AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，
∵PD=PE，∴解得 即有AP=
（3）由（2）知：AP= ，
【点拨】
本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟练掌握相关知识是解题的关键.
28．(1). y＝－x2＋4x. (2). 32－48.
【解析】
试题分析：（1）根据AB，CE长度，利用S△AEF=16-S△ABE-S△ADF-S△CE即可解决．
（2）根据△AEF为正三角形时得∠BAE=15°，在AB上取一点M使得AM=ME，则∠MAE=∠AEM=15°，所以∠BME=30°，设BE=a，则AM=ME=2a，BM=4-2xa，在RT△MBE利用勾股定理即可求出a，进而得出EC，再利用（1）结论计算．
试题解析：
(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.
又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．
∴BE＝DF.∴CE＝CF.
∵CE＝x，AB＝4，∴CF＝x，BE＝DF＝4－x，
∴S△ADF＝S△ABE＝AB·BE＝×4×(4－x)＝8－2x，S△CEF＝CE·CF＝x2，
∴y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF＝42－2(8－2x)－x2＝－x2＋4x.
(2)当△AEF为正三角形时，AE＝EF，
∴AE2＝EF2，即16＋(4－x)2＝2x2.
整理，得x2＋8x－32＝0，解得x＝－4±4.
又∵x>0，∴x＝4－4.
∴y＝－x2＋4x＝－×(4－4)2＋4×(4－4)＝32－48，即S△AEF＝32－48.
∴当△AEF为正三角形时，△AEF的面积为32－48.
29．(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；
（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．
试题解析：
(1)∵这个函数是二次函数，
∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
(2)∵这个函数是一次函数，
∴∴m＝0.
(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．
30．（1）m=-2;（2）m≠﹣2且m≠0
【分析】
（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）根据二次函数的定义即可求解.
【详解】
（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m=0，m≠0，
解得：m=﹣2；
（2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
【点拨】
此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟知各函数的特点.
31．（1）k=2；（2）y=
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值．
【详解】
解：（1）由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
（2）把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【点拨】
此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
32．(1) m=± ;(2) m=2, 纵坐标为-8的点的坐标是(±,-8).
【分析】
（1）根据一次函数的定义求m的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m的值，从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标.
【详解】
(1)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的一次函数,得解得m=±,当m=±时,y是x的一次函数.
(2)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的二次函数,得解得m=2,m=-2(不符合题意的要舍去),当m=2时,y是x的二次函数,当y=-8时,-8=-4x2,解得x=±,故纵坐标为-8的点的坐标是(±,-8).
【点拨】
本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
33．m=3或m=﹣1；y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【解析】
试题分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
试题解析：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
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