黑龙江省哈师大附中2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题含答案

哈师大附中2020级高二上学期期末考试

数学试题

总分150分  时间120分钟

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 抛物线的焦点坐标为（      ）

A.              B.              C.                  D.

2. 已知直线：和:，若∥，则（    ）

A．3 B．1 C．-1 D．3或-1

3. 展开式中项的系数为（    ）           

A．28 B． C．112 D．

4. 已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

5. 圆和圆的公共弦的垂直平分线的方程是（    ）

A．     B．   C．     D．

6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有　　

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

7. 过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线相交于点，若，则此双曲线的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

8. 已知是抛物线的焦点，抛物线上动点满足，若在准线上的射影分别为且的面积为5，则=（     ）  

A.                  B.               C.                    D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9. 下列命题中说法正确的是（    ）

A．已知随机变量，若，，则

B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大

10. 已知双曲线的右焦点为，直线经过与双曲线交于两点.则下列说法正确的是（     ）

A．虚轴长为2                             B. 的最小值为2            

C．存在以为中点的弦                 D. 以为直径的圆与直线相交

11. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点处变轨进以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的序号为（    ）

A.轨道Ⅱ的焦距为                

B. 轨道Ⅱ的长轴长为

C.若不变，越大，轨道Ⅱ的短轴长越小

D.若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大

12. 已知的焦点，为抛物线的准线，、为抛物线上任意两点，，

为坐标原点，则下列说法正确的是　　

A．过与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条 

B．与到距离之和的最小值为3

C． 若直线过，则抛物线在、两点处的切线互相垂直

D．若直线与的斜率之积为，则直线过点

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为_____________.

14. 甲同学和乙同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若甲同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是____.

15. 已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为________________________.

16.设椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在第一象限，直线与圆相交于两点，若是线段的两个三等分点，则直线的斜率为_____________________.

四、解答题

17．（本题满分10分）

已知圆C的圆心在上，点在圆C上，且圆C与直线相切.

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点A和点的直线l交圆C于A，E两点，求弦的长.

18．（本题满分12分）

中国制造是经国务院总理李克强签批，由国务院于年月印发的部署全面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领制造业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取件新生产的产品进行检测某日检测抽取的件产品的柱状图如图所示：

(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率若从出厂的所有产品中随机取出件，求至少有一件产品是一级品的概率；

(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取件产品，再从这件中任意抽取件，设取到一级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望．

19．（本题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由.

20．（本题满分12分）

已知平面内两个定点，，过动点M作直线的垂线，垂足为N，且.

(1)求点M的轨迹E的方程；

(2)若直线与曲线E交于两点，且，，求实数k的值.

21．（本题满分12分）

 已知椭圆过点，以四个顶点围成四边形面积为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点的直线斜率为，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交于点M、N，若，求k的取值范围．

22．（本题满分12分）

已知抛物线上的点与的距离.

（1）求抛物线E方程；

（2）若，直线与抛物线交于两点，P为抛物线上不同于的动点，直线，分别交直线于M，N两点，且M，N的纵坐标之积为，直线是否过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由.

哈师大附中2020级高二上学期期末考试

数学答案

一、单选题

二、        多选题

三、        填空题

 13.  6       14.      15.  16     16.

四、        解答题

17、（本小题满分10分）

 (1)

设圆的标准方程为，由题意得，解得，

所以圆的标准方程为；  5分

(2)直线l过点和点，直线的斜率为，

直线l为，即.

设圆心到直线的距离为，8分

∵，，

∴弦的长为. 10分

18、（本小题满分12分）

 (1)解：抽取的件产品是一级品的频率是，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，故从出厂的所有产品中任取件，是一级品的概率是，

设从出厂所有产品中随机选件，至少有一件是一级品的事件为．

则．

(2)、由题意可知件产品中一级品件，二级品件，三级品件，故的取值范围是，

，，，

的分布列为：

的数学期望为:

19、（本小题满分12分）

（1）由已知可得解得，，所求椭圆方程为.4分

（2）由得，

则，解得或.

设，，则，，    6分

设存在点，则，，

所以:

.

要使为定值，只需与参数无关，

故，解得，当时，.

综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0.

20、（本小题满分12分）

 (1)设点M坐标为，则，，，，

，，

即：，点M的轨迹方程为；    4分

(2) 将直线方程与曲线方程联立，，

直线与双曲线交于两点，所以，所以且，

设，，则，，  6分

由已知得：，

因为所以

所以，8分

所以

化简得：即 10分

由且，所以    12分

21、（本小题满分12分）

（1）因为椭圆过，故，

因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，

故椭圆的标准方程为：.4分

（2）设，

因为直线的斜率存在，故，

直线，由可得，

故，解得或.①

又，故，所以   6分

直线，令，则，同理.8分

又

故即，②10分

综上①②，或.    12分

22、（本小题满分12分）

（1）由，

故抛物线方程或.               4分

（2）由知

设、、，直线方程为，

代入抛物线方程化简得，

则，             6分

由直线的斜率

则直线的方程：，8分

又，即直线的方程：，

令，得，同理， 10分

，整理得.

则，即， ，

故直线的方程：，即直线过定点.12分