第42讲 解析几何中的长度之和差积商平方问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

第42讲 解析几何中的长度之和差积商平方问题

一．解答题（共30小题）

1．（2021•北京）已知椭圆的一个顶点，以椭圆的四个顶点围成的四边形面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线、分别与直线交于点、，当时，求的取值范围．

2．（2021•开封模拟）已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，．

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）延长与以为直径的圆交于点，求的最大值．

3．（2021•雨花区校级模拟）已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，过、两点，点为抛物线上不同于、的点，并且介于、两点之间，点为直线上一点，满足．

（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）当取最大值时，求直线的方程．

4．（2021•浙江）如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．

（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

5．（2021•高邮市期中）已知椭圆，四点，，，，，中恰有三个点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，动直线交椭圆于，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，以为圆的圆半径为，、是圆的两条切线，切点分别为、．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．

6．（2021•阳泉期末）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．

（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）若，求的值．

7．（2021•浙江）如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程：

（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，若斜率为2的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且满足，求直线在轴上截距的取值范围．

8．（2021•丹东期末）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列．

9．已知是抛物线的焦点，点，是抛物线上的任意一点，的最小值为5．

（1）求该抛物线的方程；

（2）设过点，斜率为1的直线与抛物线交于、两点，当取得最小值时，求：

①的面积；

②是坐标原点）外接圆的方程．

10．（2021•乙卷模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，设的准线与轴的交点为，当时，．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若点，过点的直线与交于，两点，是否存在轴上的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2021•广东期末）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过焦点的直线交抛物线于，两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）记抛物线的准线与轴的交点为，试问：是否存在，使得，且成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

12．（2021•三明二模）在平面直角坐标系中，已知，若直线于点，点是直线上的一动点，是线段的中点，且，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于点．试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．

13．（2021春•正定县校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线，过抛物线焦点且与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，且的周长为．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线过焦点且与抛物线相交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，切线与相交于点，求：的值．

14．（2021•天津期末）已知椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于，两点．

证明：平分线段（其中为坐标原点）；

当取最小值时，求点的坐标．

15．已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，

证明：平分线段（其中为坐标原点）；

当最小时，求点的坐标．

16．（2014秋•大邑县校级月考）如图，已知椭圆，以该椭圆上的异于长轴端点的点和椭圆的左，右焦点，为顶点的三角形的周长为，以椭圆的四个顶点组成的菱形的面积为，双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，．

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，探求与的关系；

（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

17．（2013秋•长葛市校级期中）如图，已知椭圆的焦点分别为，，双曲线，设为双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、．

（Ⅰ）设直线、的斜率分别为、，求：的值；

（Ⅱ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

18．（2021•天津）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点．若为原点），求的值．

19．（2021•平城区校级模拟）若椭圆上有一动点，到椭圆的两焦点，的距离之和等于，到直线的最大距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同两点、，为坐标原点）且，求实数的取值范围．

20．（2021•济南二模）已知椭圆的左顶点和下顶点分别为，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为椭圆上一动点不与，重合），直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值．

21．（2021•长沙县校级月考）已知椭圆的左，右焦点分别是，，离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点．求证：为坐标原点）为常数．

22．（2021•平顶山期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，焦距为2，点在椭圆上且满足，．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）点为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，且，证明为定值，并求出该定值．

23．（2021•渝中区校级模拟）已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于、两点，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，且，求的最小值．

24．（2021•哈尔滨校级二模）已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于、两点，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，求的最大值．

25．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且，

（1）求抛物线的方程；

（2）已知动点的圆心在抛物线上，且过点，若动圆与轴交于，两点，且，求的最小值．

26．（2021•晋中模拟）已知椭圆的右焦点在直线上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线经过点，且与椭圆有两个交点，，是否存在直线（其中使得，到的距离，满足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

27．（2021•新都区月考）如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于，两点，且．

（1）证明：抛物线与圆相切；

（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，，，，且直线的斜率，求的取值范围．

28．（2021•河南模拟）已知点在椭圆上，椭圆的左焦点为

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点交椭圆于、两点，是椭圆经过原点的弦，且，问是否存在正数，使为定值？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．

29．（2021•上虞区期末）如图抛物线的焦点为，为抛物线上一点在轴上方），，点到轴的距离为4．

（Ⅰ）求抛物线方程及点的坐标；

（Ⅱ）是否存在轴上的一个点，过点有两条直线，，满足，交抛物线于，两点，与抛物线相切于点不为坐标原点），有成立，若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．

30．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．