2021届高三第三次模拟检测卷 文科数学（一） 解析版

  2021届高三第三次模拟检测卷

文 科 数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题设，知，而，

∴，故选B．

2．“”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如果p是q的充分不必要条件，那么，而．

当时，必有，

而或．

所以是的充分不必要条件，故选B．

3．已知复数在复平面内的对应点位于第二象限，则点所构成的平面区域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，得，即，

故点所构成的平面区域为A项中的阴影部分，故选A．

4．在中，，，，则的解的个数为（    ）

A．一个解 B．两个解 C．无解 D．无法确定

【答案】A

【解析】由正弦定理得，

又，所以，所以为锐角，所以角有唯一的解，

进一步可知角和边都是唯一的，

所以的解的个数为一个，故选A．

5．若函数的定义域和值域都是，则（    ）

A．1 B．3 C． D．1或3

【答案】B

【解析】因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是，

所以，，解得或（舍），

故选B．

6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（    ）

注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生．

A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

C．互联网行业中从事运营岗位的人数后一定比前多

D．互联网行业中从事技术岗位的人数后一定比后多

【答案】D

【解析】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，

其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为和，

则“后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的．

“前”和“后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，

故选项A正确；

对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，

其中从事技术岗位的人数占的比为，

则“后”从事技术岗位的人数占总人数的．

“前”和“后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过，故选项B正确；

对于选项C，“后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，

大于“前”的总人数所占比，故选项C正确；

选项D，“后”从事技术岗位的人数占总人数的，

“后”的总人数所占比为，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，

所以选项D错误，

故选D．

7．数列，，，，的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据得出数列的求和公式，可得，

即所求数列的通项公式为，

所以所求数列的前项和为：

，故选B．

8．在中，，，，，，则（    ）

A． B．3 C．6 D．15

【答案】B

【解析】如图所示，

因为，所以．

又因为，所以，

所以，

即，

又，，所以，故选B．

9．平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】D

【解析】由，得，

设斜率为的直线与曲线切于点，

由，解得，

曲线上，点到直线的距离最小，

最小值为，故选D．

10．已知函数的定义域为，．若，，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，，当时，，

故函数在上单调递减，

而

，

故，则，解得，

故选C．

11．已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】抛物线的焦点，准线方程为，

过点作与准线垂直并交准线于点．

令直线为直线，变形可得，

令，解得，则直线经过定点．

设，连接，取的中点为，则的坐标为，．

若，则在以为直径的圆上，以为直径的圆上，

其方程为．

又由，得，

如图，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，

过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点，

则即为的最小值，

即，故选D．

12．已知半球与圆台有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图1所示，设，，作于点，延长交球面于点，

则，，

由圆的相交弦定理及图2得，

即，解得，

则圆台侧面积，

则，令，则或（舍去），

当时，；当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以当时，取得最大值．

当时，，则．

在轴截面中，为圆台母线与底面所成的角，

在中，可得，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．甲、乙两个样本茎叶图如下，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前增大，则这个数据可以是__________．（填一个数据即可）

【答案】、、填一个即可

【解析】数据调整前，甲组的数据之和为，平均数为；

乙组的数据之和为，平均数为，

设甲中的一个数据调入乙的数据为，由已知条件可得，

解得．

故答案为、、填一个即可．

14．函数的单调递增区间是___________．

【答案】，

【解析】由题意得，

即求的单调递减区间，

令，，解得，．

所以函数的单调递增区间是，．

故答案为，．

15．孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法．问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23…，则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用表示．试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，则这个数最小是___________．

【答案】19

【解析】因为被3除余1的整数有：，

被4除少1即被4除余3的整数有：，

被5除余4的整数有：，

所以这个数最小为，故答案为19．

16．对于任意满足不等式的实数x、y，都能使得不等式组成立，则m的最大值是__________．

【答案】

【解析】由题意可知，不等式组表示的可行域如图：

以为圆心的圆在不等式组所表示的区域内，

半径最大的圆应与直线相切，

圆心到的距离为，

圆心到的距离为，

由于，∴符合题意的最大的圆为，

∴的最大值是，故答案为．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在中，角的对边分别为，为的面积，若．

（1）求；

（2）若，求周长的范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，

，，，所以．

（2）根据正弦定理可得，

设周长为C，

，

，，，

．

18．（12分）如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，，且，O为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若点E在上，且平面，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1），，，

在中，，O是的中点，，

又平面平面，平面平面，

平面．

平面，．

，平面，，平面，

又平面，平面平面．

（2）如图，

连接，设与交于点E，连接，

利用三角形中位线定理易得，

平面，平面，平面，

满足条件的E为的中点．

，

故三棱锥的体积为．

19．（12分）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的特斯拉汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．

（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数和中位数（精确到）；

（2）统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：

预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？

附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．

【答案】（1）平均数万元，中位数万元；（2）2万辆．

【解析】（1）因为直方图的组距为1，则各组数据的频率即为相应小矩形的高，

所以平均数的估计值为万元．

因为，则中位数在区间内．

设中位数为，则，得，

所以中位数的估计值为万元．

（2）记，，，，，，

由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系．

因为，，，，

则，，

所以回归直线方程是．

当时，，

预计该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于点A，B(点B在x轴下方)，，直径为BD的圆过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M，N，设直线AN与BM交于点T，证明：点T在直线上．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题设有，，

因为直径为BD的圆过点，所以，

而，，故，

又，故，所以，故，所以，

故椭圆方程为．

（2）设直线，，，．

由椭圆方程可得，，

故直线，直线，

又，可得，故．

要证点T在直线，即证对任意的恒成立，

即证对任意的恒成立，即证．

由，得，

，即或．

又，，

故，

故点T在直线．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，证明：不等式成立．

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，，

，

所以在区间上，递减；在区间上，递增，

所以在处取得极小值，没有极大值．

（2）要证时，不等式成立，

即证成立，即证成立．

构造函数，，

由于开口向下，对称轴为，过点，

所以存在零点，且．

，，

所以在区间上，，递增；

在区间上，，递减．

所以当时，取得极大值也即是最大值为：

，

，，

所以在区间上递减，

当时，，

所以，即成立．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；

（2）过极点的直线与曲线相交于异于极点的点，与直线相交于点，若，

求直线的极坐标方程．

【答案】（1），；（2）或（）．

【解析】（1）将直线的参数方程（为参数），消去参数，

化为普通方程，

将，代入得直线的极坐标方程为．

由曲线的极坐标方程，变形为，将，代入得曲线的直角坐标方程为．

（2）设过极点的直线的极坐标方程为（，，，）．

由（1）得直线的极坐标方程为，则．

由曲线的极坐标方程为，得．

则由，得，即．

①当时，得，

，即，

解得或，即或；

②当时，得，

即，此方程无解；

③当时，得，由①可知，此方程无解，

综上，直线的极坐标方程为或（）．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为当时，函数，

所以不等式，即，

故有①或②或③，

解①求得，解②求得，解③求得，

综上可得，不等式的解集为．

（2）由题意可得，当时，关于的不等式恒成立，

等价于对恒成立，

即对恒成立，∴对恒成立，

等价于对恒成立，

即在上恒成立，

∴，即实数的取值范围为．