2021届高三第三次模拟检测卷 理科数学（二）

2021届高三第三次模拟检测卷

理 科 数 学（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则的子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

2．“”是“”成立的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

3．已知复数满足，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．1

4．设向量，，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

5．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（    ）

A．  B．

C．  D．与均为的最小值

7．已知函数满足，且对任意的，，，都有，，则满足不等式的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（    ）

A．0 B． C．3 D．或3

9．若，则的取值范围为（    ）

A．  B．

C． D．

10．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（    ）

A．56个 B．57个 C．58个 D．60个

11．已知菱形的边长为，沿对角线将三角形折起，则当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的图象在上有________条对称轴．

14．下列说法正确的是________．

①设回归方程为，则变量增加一个单位时，平均增加3个单位；

②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对越接近于1；

③随机变量服从二项分布，则；

④若，则；

⑤，．

15．在矩形内有､两点，其中，，，，，则该矩形的面积为_________．(答案如有根号可保留)

16．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆交于，

两点，且的重心恰为点，则直线斜率为__________．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）如图所示，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距海里．乙船每小时航行多少海里？

18．（12分）2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”．为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确则闯关成功．若小明回答第一，第二，第三个问题正确的概率分别为，，，各题回答正确与否相互独立．

（1）求小明回答第一，第二个问题，至少一个正确的概率；

（2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为，求的分布列及小明闯关成功的概率．

19．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且侧面底面，侧面底面，点是的中点，动点在边上移动，且．

（1）证明：底面；

（2）当点在边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知动圆过定点且与直线相切．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作互相垂直的两条直线、，与曲线交于、两点，与曲线交于、四点，求四边形面积的最小值．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论的极值情况；

（2）若时，，求证：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的倾斜角；

（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）已知函数的最小值为，正实数满足，证明：．

2021届高三第三次模拟检测卷

理 科 数 学（二）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】由题意，因此它的子集个数为4，故选D．

2．【答案】B

【解析】由题意，利用对数函数性质可知：，

故必要性成立，

而，但不能确定是否小于0，小于0时函数无意义，

故不能推出，故充分性不成立，

所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B．

3．【答案】D

【解析】由，

所以复数的虚部为，故选D．

4．【答案】A

【解析】由题意，向量，，可得，

因为，可得，解得，

故选A．

5．【答案】A

【解析】作出约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，

由可得，作出直线并平移可得，

当直线经过点C时，其在轴上的截距最大，此时取得最大值，

由，解得，即，

所以的最大值为，故选A．

6．【答案】C

【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；

对于C选项，由可得，，C选项错误；

对于D选项，由可得，且，，，

所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；

对于B选项，，，当时，，

所以，，B选项正确，

故选C．

7．【答案】B

【解析】可化为，

所以在上为增函数，

又，所以为奇函数，所以为奇函数，

所以在上为增函数．

因为，所以，

所以，即，故选B．

8．【答案】D

【解析】因为，所以，

则，所以，

所以函数在处的切线方程为，

由，得，

由，解得或，故选D．

9．【答案】D

【解析】因为，所以，所以，

如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆，

的几何意义是点与点连线的斜率，

如图，，，，，，

所以的取值范围为，故选D．

10．【答案】C

【解析】第一类23154，有1个，第二类234**形式，有2个，第三类235**形式，有2个，

第四类24***形式，有个，第五类25***形式，有个，第六类3****形式，有个，

第七类41***形式，有个，第八类42***形式，有个，第九类43***形式，有个，

合计共58个．

11．【答案】A

【解析】当平面平面时，四面体的体积最大．

令，则，的高为，

则，则，

当时，；当时，，

故当，即时，有最大值，此时在四面体中的．

以四面体的顶点构造长方体（长、宽、高分别为，，，四面体的棱是长方体的面对角线），

则，

令四面体的外接球（即长方体的外接球）的半径为，则，

则外接球的表面积，故选A．

12．【答案】B

【解析】由（）★★，得（）★★，

又★，所以★，★，★，，

以此类推，2020★2018★，

又◆◆，◆，

所以◆，◆，◆，，

以此类推，◆2020，

所以（◆2020）（2020★2018），故选B．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】4

【解析】由，，求得对称轴方程为，，

由，，解得，，

再由，可得，，0，1，故对称轴有4条，

故答案为4．

14．【答案】②④

【解析】①回归方程为，则变量增加一个单位时，平均减少3个单位；

②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③随机变量服从二项分布，则；

④若，则；

⑤，．

综上所述，只有②④正确，故答案为②④．

15．【答案】

【解析】如图，连接交于，

，，，

，

，，，

在中，由余弦定理可得

，

同理，在中，由余弦定理可得，

，

在中，可得，

则矩形面积为，

故答案为．

16．【答案】

【解析】由椭圆的右焦点为，知，则，，

设直线MN的方程为，设，，

将直线MN的方程与椭圆的方程联立，

整理可得，

，，，

所以，所以MN的中点，

因为F为的重心，所以，即，

所以，即，两式相比可得．

故答案为．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】．

【解析】连接A1B2，如下简图，

由题意知，A1B1＝20，，，

又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，

故∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，，

在△A1B2B1中，由余弦定理得，

故(海里)，时间为（小时），

因此乙船的速度大小为 (海里/小时)．

18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）设事件为小明回答正确第一个问题，事件为小明回答正确第二个问题，

则为小明回答错误第一个问题，为小明回答错误第二个问题，

，．

所以小明回答第一，第二个问题，至少有一个正确的概率为：

．

（2）设事件为小明回答正确第三个问题，

由题知，小明在闯关赛中，回答题目正确的个数的取值为0，1，2，3，

所以，

，

，

．

故的分布列为：

所以小明闯关成功的概率为．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：侧面底面，且侧面底面，

，平面，，

同理，侧面底面，且侧面底面，

，平面，，

底面．

（2）底面，点是的中点，且，

．

侧面，且，侧面，，

侧面，为二面角所成的角，

当时，，

，，三线两两垂直，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，得，

令，得，，则；

设平面的法向量为，

由，得，令，得，，

，

设二面角为，则．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵动圆过定点且与直线相切，

∴动点到点的距离与到直线的距离相等，

∴动点在以为焦点，为准线的抛物线上运动，

∴抛物线的方程为．

（2）由已知得两直线、的斜率存在，且不为，

设四点坐标分别为、、、，

直线的方程为，则直线的方程为，

联立，得，恒成立，

∴，，

则，同理得，

∴

，

当且仅当，即时取等号，

∴当时四边形面积的最小值为．

21．【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）定义域为，求导得．

①当时，，为上增函数，无极值；

②当时，，得．

时，，为减函数；

时，，为增函数，

所以时，有极小值，无极大值．

（2）①当时，，使，则，，

此时成立；

②当时，由（1）得时，有最小值，

，则，解得，

所以，

设，则，

因为为上减函数，且，，

则存在唯一实数，使，，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数，

当时，有最大值，

为上增函数，时，，则，

所以，

综上所述，．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）曲线的参数方程为，则有，

则，即曲线的普通方程为．

直线的极坐标方程，

展开可得，

将代入，可得，即，即，

所以斜率，则，

由，可得，所以直线的倾斜角为．

（2）由（1）知，点在直线上，

则直线的参数方程为(为参数)．

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，

整理得，

设点对应的参数分别为，则，，

所以．

23．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）解：由题可得，

所以，

即或或，解得或，

所以不等式的解集为．

（2）证明：，则，

则，

故，

当且仅当时取等号．