还剩29页未读，
继续阅读
2020年吉林省长春市第五十二中学中考数学二模试卷 及 解析
展开
这是一份2020年吉林省长春市第五十二中学中考数学二模试卷 及 解析，共32页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年吉林省长春五十二中中考数学二模试卷
一、单项选择题（每小题3分，共24分）
1．与﹣2的和等于0的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．2019年1月21日，国家统计局对外公布，经初步核算，2018年全年国内生产总值（GDP）为900309亿元，经济总量首次站上90万亿元的历史新台阶，稳居世界第二位．将900309用科学记数法表示为（ ）
A．0.900309×106 B．9.00309×106
C．9.00309×105 D．90.0309×104
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．10m B．m C．15m D．m
6．某工厂有工人35人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓16个或螺母24个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则可以列方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C．S△CBD：S△ABD＝1：3 D．CD＝BD
8．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．的算术平方根是 ．
10．分解因式：x3﹣9x＝ ．
11．若关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
12．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 cm．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 ．
14．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象与x轴分别交于A、B两点，如图所示，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的纵坐标与横坐标之和为 ．
三、解答题（本大悬共10小题，共78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2020．
16．（6分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
17．（6分）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本，求打折前每本笔记本的售价是多少元？
18．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．
19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．
20．（7分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级
参加英语听力训练人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
15
20
a
30
30
八年级
20
24
26
30
30
合计
35
44
51
60
60
（1）填空：a＝ ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均训练时间的中位数
参加英语听力训练人数的方差
七年级
24
34
八年级
14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
21．（8分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 千米/小时；轿车的速度是 千米/小时；t值为 ．
（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．
22．（9分）我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板．把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设边DE与边AB相交于点M，边DF与边BC相交于点N．
（1）如图1，当边DF经过点B，即点N与点B重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AM•CN＝ ．
（2）将三角形板DEF绕点O沿逆时针方向旋转得到图2，问AM•CN的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设AM＝x，两块三角形板重叠面积为y，则y与x的函数关系式为 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交边AC或边BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PE的长．
（2）当点F落在BC上时，求t的值．
（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若△ABC重心为G，矩形DPEF中心为O，当点O与点G到直线AB距离相同时，请直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣3）2+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点顺时针旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．
（1）若点P（﹣3，1）在图象G上，直接写出n的值．
（2）当n＝﹣2时，
①若Q（t，2）在图象G上，求t的值；
②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，求k的取值范围．
（3）若以A（4，2）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2）为顶点的直角三角形的三边与图象G有两个公共点时，直接写出n的取值范围．
2020年吉林省长春五十二中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共24分）
1．与﹣2的和等于0的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【分析】根据互为相反数的两个数的为0解答即可．
【解答】解：因为互为相反数的两个数的为0，
所以与﹣2的和等于0的数是2，
故选：C．
2．2019年1月21日，国家统计局对外公布，经初步核算，2018年全年国内生产总值（GDP）为900309亿元，经济总量首次站上90万亿元的历史新台阶，稳居世界第二位．将900309用科学记数法表示为（ ）
A．0.900309×106 B．9.00309×106
C．9.00309×105 D．90.0309×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：900309＝9.00309×105．
故选：C．
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，
解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．10m B．m C．15m D．m
【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC＝30°，所以求得AB＝2BC，得出答案．
【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，
即tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×5＝10m，
故选：A．
6．某工厂有工人35人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓16个或螺母24个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则可以列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数＝35；生产的螺栓的数量×2＝生产的螺母的数量．由此可列出方程组．
【解答】解：设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人．
由题意，得，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C．S△CBD：S△ABD＝1：3 D．CD＝BD
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进行判断；利用∠CBD＝∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝2CD，则可根据三角形面积公式对C选项进行判断．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选：C．
8．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝15．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
10．分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
11．若关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤ ．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，△＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：∵a＝1，b＝5，c＝k，
∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×k＝25﹣4k≥0，
∴k≤．
12．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 6 cm．
【分析】先画图，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．
【解答】解：∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的直径6cm．
故答案为：6．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 6 ．
【分析】连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：连接CN．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值为6，
故答案为6．
14．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象与x轴分别交于A、B两点，如图所示，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的纵坐标与横坐标之和为 ．
【分析】根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题．
【解答】解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值，
∵二次函数y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得，
即直线AC的解析式为y＝x+2，
∵点P在二次函数y＝﹣x2﹣x+2的对称轴上的一动点，
∴点P的横坐标为﹣1，
∵点P在直线AC上，
∴点P的纵坐标y＝×（﹣1）+2＝，
∴点P的纵坐标与横坐标之和为：﹣1+＝，
故答案为：．
三、解答题（本大悬共10小题，共78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2020．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝x﹣1，
当x＝2020时，原式＝2019．
16．（6分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，
所以两人之中至少有一人直行的概率为．
17．（6分）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本，求打折前每本笔记本的售价是多少元？
【分析】设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，
由题意得，+10＝，
解得：x＝4，
经检验得：x＝4是原方程的根，
答：打折前每本笔记本的售价为4元．
18．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．
【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD＝AD，然后利用弧长公式求得即可．
【解答】（1）证明：连接OD；
∵OD＝OC，
∴∠C＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∴∠ODE＝∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，
∴∠OAD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵DE＝，∠B＝30°，∠BED＝90°，
∴CD＝BD＝2DE＝2，
∴OD＝AD＝tan30°•CD＝×2＝2，
∴的长为：＝．
19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．
【分析】（1）根据菱形的判定：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，画出图形即可．（答案不唯一）．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）如图，四边形CGDH即为所求（答案不唯一）．
20．（7分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级
参加英语听力训练人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
15
20
a
30
30
八年级
20
24
26
30
30
合计
35
44
51
60
60
（1）填空：a＝ 25 ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均训练时间的中位数
参加英语听力训练人数的方差
七年级
24
34
八年级
27
14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
【分析】（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名×周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；
故答案为：25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，
∴八年级平均训练时间的中位数为：27；
故答案为：27；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为（35+44+51+60+60）＝50，
∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为480×＝400（人）．
21．（8分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 50 千米/小时；轿车的速度是 80 千米/小时；t值为 3 ．
（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）分别求出得A、B、C的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）货车的速度是50千米/小时；
货车所用时间为400÷50＝8小时，
∴轿车的速度是：480÷（7﹣1）＝80千米/小时；t＝240÷80＝3．
故答案为：50；80；3；
（2）由题意可知：A（3，240），B（4，240），C（7，0），
设直线OA的解析式为y＝k1x（k1≠0），
∴y＝80x（0≤x＜3），
当3≤x≤4时，y＝240，
设直线BC的解析式为y＝k2x+b（k≠0），
把B（4，240），C（7，0）代入得：
，解得，
∴y＝﹣80x+560（4＜x≤7）
∴y＝；
（3）设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：
50x+80（x﹣1）＝400﹣90或80×3﹣（400﹣50x）＝90，
解得x＝3或5．
答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．
22．（9分）我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板．把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设边DE与边AB相交于点M，边DF与边BC相交于点N．
（1）如图1，当边DF经过点B，即点N与点B重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AM•CN＝ 4 ．
（2）将三角形板DEF绕点O沿逆时针方向旋转得到图2，问AM•CN的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设AM＝x，两块三角形板重叠面积为y，则y与x的函数关系式为 y＝ ．
【分析】（1）可通过证△ADM∽△CND来求解．
（2）不会改变，关键是还是证△ADM∽△CND，已知一组60°角，关键是证（1）中的∠ADM＝∠CND，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，则∠DNC＝∠DBN+∠BDN＝30°+α，∠ADM＝30°+α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
（3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜α＜60°时；②当60°≤α＜90°时．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠C＝∠EDB＝60°，
∴∠ADM+∠CDN＝120°，∠ADM+∠AMD＝120°，
∴∠CDN＝∠AMD，
∴△ADM∽△CND，
∴，
∴AM•CN＝AD•CD，
∵顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，
∴AD＝CD＝2，
∴AM•CN＝AD•CD＝2×2＝4，
故答案为：4；
（2）AM•CN的值不会改变．
在△ADM与△CND中，
∵∠A＝∠C＝60°，∠DNC＝∠DBN+∠BDN＝30°+α，∠ADM＝30°+α，
∴∠ADM＝∠CND，
∴△ADM∽△CND
∴，
∴AM•CN＝AD•CD＝2×2＝4，
∴AM•CN的值不会改变；
（3）情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM＜4，即1＜x＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形DMBN，
如图2，过D作DQ⊥AB于Q，DG⊥BC于G，
∴DQ＝DG＝，
由（2）知，AM•CN＝4，得CN＝，
于是y＝AB2﹣AM•DQ﹣CN•DQ＝4﹣x﹣（1＜x＜4）；
情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN，
如图3，过点D作DH∥BC交AM于H，易证△MBP∽△MHD，
∴，
又∵MB＝x﹣4，MH＝x﹣2，DH＝2，
∴BP＝，
∴PN＝4﹣﹣，
于是y＝PN•DG＝••（4﹣﹣）＝﹣，
综上所述，y＝．
故答案为：y＝．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交边AC或边BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PE的长．
（2）当点F落在BC上时，求t的值．
（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若△ABC重心为G，矩形DPEF中心为O，当点O与点G到直线AB距离相同时，请直接写出t的值．
【分析】（1）分两种情况：D在AC和BC上，根据三角函数列式先求PD的长，可得结论；
（2）如图4，根据EF＝2BE，列方程可得结论；
（3）存在两种情况，先求边界点时t的值，分别画图根据面积公式可得结论；
（4）分两种情况，根据点O与点G到直线AB距离相同时列方程可得t的值．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，
∴AB＝，
如图2，当D与C重合时，CP⊥AB，
cos∠A＝，即，
AP＝，
tan∠A＝，即，
∴PD＝t，
∴当0＜t≤时，如图1，PE＝2PD＝2×t＝2t，
如图3，AP＝2t，
∴PB＝4﹣2t，
tan∠DBP＝，即，
PD＝8﹣4t，
当＜t≤2时，如图3，PE＝2PD＝2（8﹣4t）＝16﹣8t；
（2）当点F落在BC上时，如图4，
BE＝4﹣4t，EF＝PD＝t，
∵EF＝2BE，
∴t＝2×（4﹣4t），
t＝（秒）；
（3）当0＜t≤时，如图1，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形是矩形PEFD，
S＝PD•PE＝t•2t＝10t2；
如图5，当E与B重合时，PB＝2PD，则4﹣2t＝2×，t＝1，
当1＜t≤时，如图6，
cos∠A＝，即，
AD＝5t，
∴CD＝8﹣5t，
∵DM∥AB，
∴∠CDM＝∠A，
∴cos∠A＝cos∠CDM＝，即，
DM＝4﹣t，
S＝（4﹣t+4﹣2t）•t＝﹣t2+20t；
综上，S与t之间的函数关系式是：S＝．
（4）
∵AQ＝QB，G是△ABC的重心，
∴QG：GC＝1：2，
∵AC＝8，BC＝4，
∴AB＝，
∴CK＝，
∵GJ∥CK，
∴△QGJ∽△QCK，
∴，
∴，
∴GJ＝，
当点O与点G到直线AB距离相同时，当0＜t≤时，PD＝，
解得：t＝，
当＜t≤4时，PD＝，
解得：t＝，
综上所述，当点O与点G到直线AB距离相同时，t的值为或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣3）2+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点顺时针旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．
（1）若点P（﹣3，1）在图象G上，直接写出n的值．
（2）当n＝﹣2时，
①若Q（t，2）在图象G上，求t的值；
②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，求k的取值范围．
（3）若以A（4，2）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2）为顶点的直角三角形的三边与图象G有两个公共点时，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）通过中心对称求出G2解析式，再将点P代入求解．
（2）①分类讨论t＞0，t＜0两种情况．分别代入对应解析式求解．
②求出y＝2及y＝﹣2所对应的x值再通过图象求解．
（3）画出图象，根据n增大减小移动图象求解．
【解答】解：（1）G1：y＝（x﹣3）2+n（x＞0）关于原点对称图象解析式为：G2：y＝﹣（x+3）2﹣n（x＜0）．
将点P（﹣3，1）代入y＝﹣（x+3）2﹣n（x＜0）解得n＝﹣1．
（2）①当n＝﹣2时，t＞0时将Q（t，2）代入y＝（x﹣3）2﹣2，解得t＝3+2或t＝3﹣2（舍）．
t＜0时，将Q（t，2）代入y＝﹣（x+3）2+2，解得t＝﹣3．
∴t＝3+2或﹣3．
②如图，当x＝3时，G1的函数值为y＝﹣2，x＝﹣3时G2所对函数值为y＝2．
∴k≤﹣3，
当G2：y＝﹣（x+3）2+2＝﹣2时解得x＝﹣3+2（舍）或x＝﹣3﹣2，
∴k≥﹣3﹣2，
∴﹣3﹣2≤k≤﹣3．
（3）如图，
G1的解析式为y＝（x﹣3）2+n，G2的解析式为：y＝﹣（x+3）2﹣n（x＜0）．
G1的顶点坐标为（3，n），与y轴交点坐标为（0，3+n），
G2的顶点坐标为（﹣3，﹣n），与y轴交点坐标为（0，﹣3﹣n），
AB所在直线解析式为y＝x﹣，两图象随n变化上下移动．
抛物线G1与y轴交点落在AB上时，3+n＝﹣，解得n＝﹣．
抛物线G2与y轴交点落在AB上时，﹣3﹣n＝﹣，解得n＝﹣．
抛物线G1经过点C（4，﹣2）时，n＝﹣．
∴﹣＜n＜﹣满足题意．
n增大，抛物线G1经过点A（4，2）时n＝，抛物线G2过点B（﹣2，﹣2）时n＝，
∴n＝满足题意．
综上所述，n＝或﹣＜﹣．
2020年吉林省长春五十二中中考数学二模试卷
一、单项选择题（每小题3分，共24分）
1．与﹣2的和等于0的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．2019年1月21日，国家统计局对外公布，经初步核算，2018年全年国内生产总值（GDP）为900309亿元，经济总量首次站上90万亿元的历史新台阶，稳居世界第二位．将900309用科学记数法表示为（ ）
A．0.900309×106 B．9.00309×106
C．9.00309×105 D．90.0309×104
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．10m B．m C．15m D．m
6．某工厂有工人35人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓16个或螺母24个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则可以列方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C．S△CBD：S△ABD＝1：3 D．CD＝BD
8．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．的算术平方根是 ．
10．分解因式：x3﹣9x＝ ．
11．若关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
12．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 cm．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 ．
14．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象与x轴分别交于A、B两点，如图所示，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的纵坐标与横坐标之和为 ．
三、解答题（本大悬共10小题，共78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2020．
16．（6分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
17．（6分）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本，求打折前每本笔记本的售价是多少元？
18．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．
19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．
20．（7分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级
参加英语听力训练人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
15
20
a
30
30
八年级
20
24
26
30
30
合计
35
44
51
60
60
（1）填空：a＝ ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均训练时间的中位数
参加英语听力训练人数的方差
七年级
24
34
八年级
14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
21．（8分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 千米/小时；轿车的速度是 千米/小时；t值为 ．
（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．
22．（9分）我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板．把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设边DE与边AB相交于点M，边DF与边BC相交于点N．
（1）如图1，当边DF经过点B，即点N与点B重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AM•CN＝ ．
（2）将三角形板DEF绕点O沿逆时针方向旋转得到图2，问AM•CN的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设AM＝x，两块三角形板重叠面积为y，则y与x的函数关系式为 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交边AC或边BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PE的长．
（2）当点F落在BC上时，求t的值．
（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若△ABC重心为G，矩形DPEF中心为O，当点O与点G到直线AB距离相同时，请直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣3）2+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点顺时针旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．
（1）若点P（﹣3，1）在图象G上，直接写出n的值．
（2）当n＝﹣2时，
①若Q（t，2）在图象G上，求t的值；
②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，求k的取值范围．
（3）若以A（4，2）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2）为顶点的直角三角形的三边与图象G有两个公共点时，直接写出n的取值范围．
2020年吉林省长春五十二中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共24分）
1．与﹣2的和等于0的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【分析】根据互为相反数的两个数的为0解答即可．
【解答】解：因为互为相反数的两个数的为0，
所以与﹣2的和等于0的数是2，
故选：C．
2．2019年1月21日，国家统计局对外公布，经初步核算，2018年全年国内生产总值（GDP）为900309亿元，经济总量首次站上90万亿元的历史新台阶，稳居世界第二位．将900309用科学记数法表示为（ ）
A．0.900309×106 B．9.00309×106
C．9.00309×105 D．90.0309×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：900309＝9.00309×105．
故选：C．
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，
解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．10m B．m C．15m D．m
【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC＝30°，所以求得AB＝2BC，得出答案．
【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，
即tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×5＝10m，
故选：A．
6．某工厂有工人35人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓16个或螺母24个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则可以列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数＝35；生产的螺栓的数量×2＝生产的螺母的数量．由此可列出方程组．
【解答】解：设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人．
由题意，得，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C．S△CBD：S△ABD＝1：3 D．CD＝BD
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进行判断；利用∠CBD＝∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝2CD，则可根据三角形面积公式对C选项进行判断．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选：C．
8．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝15．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
10．分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
11．若关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤ ．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，△＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：∵a＝1，b＝5，c＝k，
∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×k＝25﹣4k≥0，
∴k≤．
12．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 6 cm．
【分析】先画图，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．
【解答】解：∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的直径6cm．
故答案为：6．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 6 ．
【分析】连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：连接CN．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值为6，
故答案为6．
14．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象与x轴分别交于A、B两点，如图所示，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的纵坐标与横坐标之和为 ．
【分析】根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题．
【解答】解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值，
∵二次函数y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得，
即直线AC的解析式为y＝x+2，
∵点P在二次函数y＝﹣x2﹣x+2的对称轴上的一动点，
∴点P的横坐标为﹣1，
∵点P在直线AC上，
∴点P的纵坐标y＝×（﹣1）+2＝，
∴点P的纵坐标与横坐标之和为：﹣1+＝，
故答案为：．
三、解答题（本大悬共10小题，共78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2020．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝x﹣1，
当x＝2020时，原式＝2019．
16．（6分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，
所以两人之中至少有一人直行的概率为．
17．（6分）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本，求打折前每本笔记本的售价是多少元？
【分析】设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，
由题意得，+10＝，
解得：x＝4，
经检验得：x＝4是原方程的根，
答：打折前每本笔记本的售价为4元．
18．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．
【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD＝AD，然后利用弧长公式求得即可．
【解答】（1）证明：连接OD；
∵OD＝OC，
∴∠C＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∴∠ODE＝∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，
∴∠OAD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵DE＝，∠B＝30°，∠BED＝90°，
∴CD＝BD＝2DE＝2，
∴OD＝AD＝tan30°•CD＝×2＝2，
∴的长为：＝．
19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．
【分析】（1）根据菱形的判定：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，画出图形即可．（答案不唯一）．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）如图，四边形CGDH即为所求（答案不唯一）．
20．（7分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级
参加英语听力训练人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
15
20
a
30
30
八年级
20
24
26
30
30
合计
35
44
51
60
60
（1）填空：a＝ 25 ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均训练时间的中位数
参加英语听力训练人数的方差
七年级
24
34
八年级
27
14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
【分析】（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名×周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；
故答案为：25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，
∴八年级平均训练时间的中位数为：27；
故答案为：27；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为（35+44+51+60+60）＝50，
∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为480×＝400（人）．
21．（8分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 50 千米/小时；轿车的速度是 80 千米/小时；t值为 3 ．
（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）分别求出得A、B、C的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）货车的速度是50千米/小时；
货车所用时间为400÷50＝8小时，
∴轿车的速度是：480÷（7﹣1）＝80千米/小时；t＝240÷80＝3．
故答案为：50；80；3；
（2）由题意可知：A（3，240），B（4，240），C（7，0），
设直线OA的解析式为y＝k1x（k1≠0），
∴y＝80x（0≤x＜3），
当3≤x≤4时，y＝240，
设直线BC的解析式为y＝k2x+b（k≠0），
把B（4，240），C（7，0）代入得：
，解得，
∴y＝﹣80x+560（4＜x≤7）
∴y＝；
（3）设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：
50x+80（x﹣1）＝400﹣90或80×3﹣（400﹣50x）＝90，
解得x＝3或5．
答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．
22．（9分）我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板．把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设边DE与边AB相交于点M，边DF与边BC相交于点N．
（1）如图1，当边DF经过点B，即点N与点B重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AM•CN＝ 4 ．
（2）将三角形板DEF绕点O沿逆时针方向旋转得到图2，问AM•CN的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设AM＝x，两块三角形板重叠面积为y，则y与x的函数关系式为 y＝ ．
【分析】（1）可通过证△ADM∽△CND来求解．
（2）不会改变，关键是还是证△ADM∽△CND，已知一组60°角，关键是证（1）中的∠ADM＝∠CND，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，则∠DNC＝∠DBN+∠BDN＝30°+α，∠ADM＝30°+α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
（3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜α＜60°时；②当60°≤α＜90°时．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠C＝∠EDB＝60°，
∴∠ADM+∠CDN＝120°，∠ADM+∠AMD＝120°，
∴∠CDN＝∠AMD，
∴△ADM∽△CND，
∴，
∴AM•CN＝AD•CD，
∵顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，
∴AD＝CD＝2，
∴AM•CN＝AD•CD＝2×2＝4，
故答案为：4；
（2）AM•CN的值不会改变．
在△ADM与△CND中，
∵∠A＝∠C＝60°，∠DNC＝∠DBN+∠BDN＝30°+α，∠ADM＝30°+α，
∴∠ADM＝∠CND，
∴△ADM∽△CND
∴，
∴AM•CN＝AD•CD＝2×2＝4，
∴AM•CN的值不会改变；
（3）情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM＜4，即1＜x＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形DMBN，
如图2，过D作DQ⊥AB于Q，DG⊥BC于G，
∴DQ＝DG＝，
由（2）知，AM•CN＝4，得CN＝，
于是y＝AB2﹣AM•DQ﹣CN•DQ＝4﹣x﹣（1＜x＜4）；
情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN，
如图3，过点D作DH∥BC交AM于H，易证△MBP∽△MHD，
∴，
又∵MB＝x﹣4，MH＝x﹣2，DH＝2，
∴BP＝，
∴PN＝4﹣﹣，
于是y＝PN•DG＝••（4﹣﹣）＝﹣，
综上所述，y＝．
故答案为：y＝．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交边AC或边BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PE的长．
（2）当点F落在BC上时，求t的值．
（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若△ABC重心为G，矩形DPEF中心为O，当点O与点G到直线AB距离相同时，请直接写出t的值．
【分析】（1）分两种情况：D在AC和BC上，根据三角函数列式先求PD的长，可得结论；
（2）如图4，根据EF＝2BE，列方程可得结论；
（3）存在两种情况，先求边界点时t的值，分别画图根据面积公式可得结论；
（4）分两种情况，根据点O与点G到直线AB距离相同时列方程可得t的值．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，
∴AB＝，
如图2，当D与C重合时，CP⊥AB，
cos∠A＝，即，
AP＝，
tan∠A＝，即，
∴PD＝t，
∴当0＜t≤时，如图1，PE＝2PD＝2×t＝2t，
如图3，AP＝2t，
∴PB＝4﹣2t，
tan∠DBP＝，即，
PD＝8﹣4t，
当＜t≤2时，如图3，PE＝2PD＝2（8﹣4t）＝16﹣8t；
（2）当点F落在BC上时，如图4，
BE＝4﹣4t，EF＝PD＝t，
∵EF＝2BE，
∴t＝2×（4﹣4t），
t＝（秒）；
（3）当0＜t≤时，如图1，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形是矩形PEFD，
S＝PD•PE＝t•2t＝10t2；
如图5，当E与B重合时，PB＝2PD，则4﹣2t＝2×，t＝1，
当1＜t≤时，如图6，
cos∠A＝，即，
AD＝5t，
∴CD＝8﹣5t，
∵DM∥AB，
∴∠CDM＝∠A，
∴cos∠A＝cos∠CDM＝，即，
DM＝4﹣t，
S＝（4﹣t+4﹣2t）•t＝﹣t2+20t；
综上，S与t之间的函数关系式是：S＝．
（4）
∵AQ＝QB，G是△ABC的重心，
∴QG：GC＝1：2，
∵AC＝8，BC＝4，
∴AB＝，
∴CK＝，
∵GJ∥CK，
∴△QGJ∽△QCK，
∴，
∴，
∴GJ＝，
当点O与点G到直线AB距离相同时，当0＜t≤时，PD＝，
解得：t＝，
当＜t≤4时，PD＝，
解得：t＝，
综上所述，当点O与点G到直线AB距离相同时，t的值为或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣3）2+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点顺时针旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．
（1）若点P（﹣3，1）在图象G上，直接写出n的值．
（2）当n＝﹣2时，
①若Q（t，2）在图象G上，求t的值；
②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，求k的取值范围．
（3）若以A（4，2）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2）为顶点的直角三角形的三边与图象G有两个公共点时，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）通过中心对称求出G2解析式，再将点P代入求解．
（2）①分类讨论t＞0，t＜0两种情况．分别代入对应解析式求解．
②求出y＝2及y＝﹣2所对应的x值再通过图象求解．
（3）画出图象，根据n增大减小移动图象求解．
【解答】解：（1）G1：y＝（x﹣3）2+n（x＞0）关于原点对称图象解析式为：G2：y＝﹣（x+3）2﹣n（x＜0）．
将点P（﹣3，1）代入y＝﹣（x+3）2﹣n（x＜0）解得n＝﹣1．
（2）①当n＝﹣2时，t＞0时将Q（t，2）代入y＝（x﹣3）2﹣2，解得t＝3+2或t＝3﹣2（舍）．
t＜0时，将Q（t，2）代入y＝﹣（x+3）2+2，解得t＝﹣3．
∴t＝3+2或﹣3．
②如图，当x＝3时，G1的函数值为y＝﹣2，x＝﹣3时G2所对函数值为y＝2．
∴k≤﹣3，
当G2：y＝﹣（x+3）2+2＝﹣2时解得x＝﹣3+2（舍）或x＝﹣3﹣2，
∴k≥﹣3﹣2，
∴﹣3﹣2≤k≤﹣3．
（3）如图，
G1的解析式为y＝（x﹣3）2+n，G2的解析式为：y＝﹣（x+3）2﹣n（x＜0）．
G1的顶点坐标为（3，n），与y轴交点坐标为（0，3+n），
G2的顶点坐标为（﹣3，﹣n），与y轴交点坐标为（0，﹣3﹣n），
AB所在直线解析式为y＝x﹣，两图象随n变化上下移动．
抛物线G1与y轴交点落在AB上时，3+n＝﹣，解得n＝﹣．
抛物线G2与y轴交点落在AB上时，﹣3﹣n＝﹣，解得n＝﹣．
抛物线G1经过点C（4，﹣2）时，n＝﹣．
∴﹣＜n＜﹣满足题意．
n增大，抛物线G1经过点A（4，2）时n＝，抛物线G2过点B（﹣2，﹣2）时n＝，
∴n＝满足题意．
综上所述，n＝或﹣＜﹣．
相关试卷
2023年吉林省长春市净月实验中学中考数学二模试卷： 这是一份2023年吉林省长春市净月实验中学中考数学二模试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市绿园区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年吉林省长春市绿园区中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市绿园区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年吉林省长春市绿园区中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
