2021年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）

这是一份2021年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若复数z为纯虚数，且，则m＝（ ）
A.B.C.−2D.2

2. 已知集合A={lg2a, 3}，B={a, b}，若A∩B={0}，则A∪B=( )
A.{0, 3}B.{0, 1, 3}C.{0, 2, 3}D.{0, 1, 2, 3}

3. 如图，角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则＝（ ）

A.cs(α−β)B.cs(α+β)C.sin(α−β)D.sin(α+β)

4. 下列四个函数：①y＝2x+3；②；③y＝2x；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4

5. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )
A.34AB→−14AC→B.14AB→−34AC→
C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→

6. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）

A.13B.12C.23D.16

7. 已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A.a⊥α，b⊥β，α // βB.a⊥α，b // β，a⊥β
C.a⊂a，b⊥β，α // βD.a⊂α，b // β，α⊥β

8. 若f(x)＝2|sinx|csx，则（ ）
A.图像关于直线对称B.图像关于对称
C.最小正周期为πD.在上单调递增

9. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，b＝4，△ABC的面积为，则sinB＝（ ）
A.B.C.D.

10. F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）

A.2B.3C.5D.7

11. 设，随机变量ξ的分布
则当a在内增大时，（ ）
A.E(ξ)增大，D(ξ)增大B.E(ξ)增大，D(ξ)减小
C.E(ξ)减小，D(ξ)增大D.E(ξ)减小，D(ξ)减小

12. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)＝f(x)，且f(x)在(−1, 0)上递减．若，b＝f(−ln2)，c＝f(lg318)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

若二项式的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为________．

过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝4，则△OAB（O为坐标原点）的面积为________．

已知棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点均在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体（包括底面）的表面积为________．

若0①x1lnx1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

已知数列{an}是等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49．
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足，求数列{bn}的前2n项和T2n．

为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．

（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；

（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%．为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由．

如图，在正四面体A−BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH＝AD，DG＝CD．

（1）求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；

（2）求直线AB与平面EFGH所成角的正弦值．

已知椭圆Γ：x2+＝1(a>1)与抛物线C:x2＝2py(p>0)有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆Γ于A，B两点，且|AB|＝1．
（1）求椭圆Γ与抛物线C的方程；

（2）O为坐标原点，若P为椭圆Γ上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与椭圆Γ的焦点F为圆心，以为半径的圆F交于M，N两点，求证：|MN|为定值．

已知函数．
（1）设g(x)＝xf(x)，求g(x)的单调区间；

（2）求证：存在恰有2个切点的曲线y＝f(x)的切线．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0, 2)，倾斜角为．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρcs2θ−2sinθ＝0．
（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为AB中点，且满足|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，求直线l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)＝|x+a|+|2x−3|．
（1）当a＝1时，求f(x)的最小值；

（2）当x∈[a, 2a−2]时，不等式f(x)≤|x+5|恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
虚数单位i及其性质
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
由A，B，以及A与B的交集，求出a的值确定出A，确定出两集合的并集即可．
【解答】
解：∵ A={lg2a, 3}，B={a, b}，且A∩B={0}，
∴ lg2a=1，b=0，
解得：a=2，b=0，即A={0, 3}，B={0, 2}，
则A∪B={0, 2, 3}，
故选：C．
3.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
平面向量数量积的性质及其运算
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】
解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
EB→=AB→−AE→=AB→−12AD→
=AB→−12×12(AB→+AC→)
=34AB→−14AC→.
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
利用列举法求出基本事件有6个，算盘表示的数为质数包含的基本事件有2个，由此能求出算盘表示的数为质数的概率．
【解答】
从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，
基本事件有：7，16，25，52，61，70，共有6个，
算盘表示的数为质数包含的基本事件有：7，61，共2个，
∴ 算盘表示的数为质数的概率是P=26=13．
7.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
三角函数的周期性
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由双曲线的定义，可得F1A−F2A＝F1A−AB＝F1B＝2a，BF2−BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．
【解答】
因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，
A为双曲线上一点，F1A−F2A＝F1A−AB＝F1B＝2a，
B为双曲线上一点，则BF2−BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，
由∠ABF2＝60∘，则∠F1BF2＝120∘，
在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2−2⋅2a⋅4a⋅cs120∘，
得c2＝7a2，则e2＝7，解得e=7．
11.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】
15
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
球的表面积和体积
棱柱的结构特征
球内接多面体
【解析】
根据题意，球心O为正方体的底面ABCD的中心，由正方体的性质与勾股定理算出球半径R＝3，再利用球的体积公式加以计算，可得该半球体（包括底面）的表面积．
【解答】
设正方形ABCD−A′B′C′D′的底面ABCD在半球的底面圆上，
则球心O为ABCD的中心，连结OA′，
∵ 正方体的一边长为1，
∴ AO＝，可得A′O＝＝，
即半球的半径R＝，
因此，该半球体（包括底面）的表面积为：×4×πR2+π⋅R2＝3π⋅R2＝3π⋅（）​2＝．
【答案】
②④
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
【答案】
因为S7＝7a4＝49，所以a4＝7，
而a3＝5，
设数列{an}的公差为d，
则d＝a4−a8＝2，a1＝3，
所以an＝1+2(n−4)＝2n−1；
由Sn＝n(1+2n−1)＝n2，
由，
可得bn＝＝(−1)n（+），
．
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
该城市年龄在50−60岁的签约人数为：1000×0.015×10×55.7%＝83.55万，
在60−70岁的签约人数为：1000×7.010×10×61.7%＝61.7万，
在70−80岁的签约人数为：1000×3.004×10×70.0%＝28万，
在80岁以上的签约人数为：1000×0.003×10×75.6%＝22.74万，
故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：83.55+61.7+28+22.74＝199.55万；
年龄在10−20岁的人数为：1000×0.005×10＝50万，
年龄在20−30岁的人数为：1000×8.018×10＝180万，
所以，年龄在18−30岁的人数大于180万，签约率为30.3%，
年龄在30−50岁的人数为1000×0.037×10＝370万，签约率为37.2%．
年龄在50岁以上的人数为：1000×0.032×10＝320万，签约率超过55%，
故由以上数据可知这个城市在30−50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，
所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30−50这个年龄段的签约率．
【考点】
用样本的数字特征估计总体的数字特征
频率分布直方图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：因为，所以，
故E，F，G，H四点共面，FG必相交于一点，
设EH∩FG＝M，因为M∈EH，所以M∈平面ABD，
同理：M∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，
即直线EH，FG必相交于一点；
法1：取BD的中点O，则BD⊥OA，所以BD⊥平面AOC，
不妨设，则，
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，，，
设平面平面EFGH的法向量为，
由，令，则，
则，
故直线AB与平面EFGH所成角的正弦值为．
法2：将正四面体A−BCD放入如图的正方体中，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，0，5)，2，4)，2，0)，故，
设平面平面EFGH的法向量为，
由，令z＝1，则，则，
故直线AB与平面EFGH所成角的正弦值为．
法3：连结EG，BG，
点A到平面EFGH的距离为d，正四面体的棱长为6，
所以E到平面BFG的距离为，
在△CFG中，由余弦定理可得：，
在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距离为，而G到BF的距离也为，
所以△BFG的面积与△BFG的面积相等，
由VE−BFG＝VB−EFG可得：，
故，
即直线AB与平面EFGH所成角的正弦值为．
【考点】
直线与平面垂直
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题意：，
∴ a2＝6，，
∴ 椭圆Γ的方程为：，
抛物线C的方程为：．
设P(m, n)，则，
圆P的方程为：(x−m)2+(y−n)3＝m2+n2，①
圆F的方程为：，②
①-②可得直线MN的方程为：，
设点F到直线MN的距离为d，则
d＝＝＝＝2，
所以|MN|＝7＝8．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
g(x)＝，
g′(x)＝，
令g′(x)＝0，可得x＝−1或x＝，
当x<−1或或时，g′(x)<0，
当−32，
所以g(x)的单调减区间为(−∞, −1)和和，0)和．
证明：f′(x)＝，
假设存在直线以A（x1, f(x1)），B（x8, f(x2)）为切点，
不妨设x10，
以A（x1, f(x5)）为切点的切线方程为：，
以B（x2, f(x7)）为切点的切线方程为：，
所以，
令，则t∈(0，t8−8t+4tlnt+8＝0，
令φ(t)＝t2−4t+4tlnt+2，t∈(5, φ′(t)＝2t−4+7lnt在(0，
φ′(t)≤φ′(1)＝−2<6，所以φ(t)在(0，
φ(1)＝−5<5，φ(e−3)＝>0，
故存在唯一的t满足t7−8t+4tlnt+6＝0，即存在恰有2个切点的曲线y＝f(x)的切线．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【答案】
因为直线l过点P(0, 2)，
所以直线l的参数方程为（t为参数），
因为ρcs2θ＝6sinθ，所以ρ2cs2θ＝4ρsinθ，
根据，
所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝2y；
将直线l的参数方程为（t为参数），
代入x2＝2y可得：cs3αt2−2tsinα−5＝0，
因为|PA|，|PM|，
所以，
即：，解得：tan4α＝4，
故直线l的斜率为±2．
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【答案】
当a＝1时，f(x)＝|x+1|+|4x−3|
＝(|x+1|+|x−|)+|x−|+|-，
当且仅当x＝时，上式取得等号，
故f(x)的最小值为；
因为2a−2>a，所以a>6，
当x∈[a, 2a−2]时，2x−3>0，
不等式f(x)≤|x+6|可化为x+a+2x−3≤x+8，即a≤−2x+8恒成立，
所以a≤5−2(2a−4)＝−4a+12，即，
故实数a的取值范围为．
【考点】
不等式恒成立的问题
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答ξ
−1
0
1
P
a
b