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2021届黑龙江省哈尔滨市高考二模数学（文科） 试卷
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这是一份2021届黑龙江省哈尔滨市高考二模数学（文科） 试卷，共21页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年黑龙江省哈尔滨高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．若集合M＝{x|2x﹣1≥0}，N＝{x|log2x＜0}，则M∩N＝（ ）
A．[，1） B．[，+∞） C．[0，2） D．[，2）
2．设z＝i3+1（i是虚数单位）则在复平面上，复数z对应的点属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．祖暅（公元5﹣6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家）．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β的平面于距平面β任意高d处截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立据此，短轴长为2cm，长轴为4cm的椭球体的体积是（ ）cm3
A． B． C． D．
4．下列命题中，正确的有（ ）
①线性回归直线＝x+必过样本点的中心（，）；
②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面β；
③“若＜，则a＞b”的否命题为真命题；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），若（λ﹣）⊥，则实数λ＝（ ）
A．1 B． C．0 D．3
6．直线x﹣y+4＝0被圆（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列{an}是正项等比数列，且+＝，则a7的值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
A．可求得a＝0.005
B．这200名参赛者得分的中位数为65
C．得分在[60，80）之间的频率为0.5
D．得分在[40，60）之间的共有80人
9．当θ∈（0，π）时，若cos（﹣θ）＝﹣，则sin（θ+）的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．若B点的坐标为（3，2），点P为抛物线C：y2＝6x上的动点，F是拋物线C的焦点，当△PBF周长取得最小值时△PBF的面积为（ ）
A． B． C． D．3
12．已知函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，给出下列命题：
①当x＜0时，f（x）＝；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在机读卡上相应的位置.
13．设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是 ．
14．已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝ ．
15．已知函数f（x）＝，若f（a）＝2，则实数a＝ ．
16．直线2x+y﹣2＝0过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，且与双曲线C在第一象限的交点为M，O为原点，|OM|＝|OF|，则双曲线C的左焦点的坐标为 ；离心率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A，B，C顺次成等差数列．
（1）若a＝2，c＝3，求b的大小；
（2）若△ABC的面积为，其外接圆半径为，求△ABC的周长．
18．机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．如表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
95
80
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程＝x+，并预测该路口10月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数：
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过1年
24
16
驾龄1年以上
16
14
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
参考公式：＝＝，＝﹣．
K2＝（其中n＝a+b+c+d）
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝3，PN＝2ND．四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC＝2AD＝2DC＝4，∠ADC＝90°．
（1）求证：PB∥平面CAN；
（2）求三棱锥N﹣PBC的体积．
20．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB＝﹣．问：△AOB的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由．
21．已知函数f（x）＝xlnx﹣mx+m．
（1）当m＝﹣2，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x＞1时，f（x）+2x＞0恒成立，求整数m的最大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y﹣4＝0，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程：
（2）射线l：θ＝α（ρ≥0，0＜α＜）分别交曲线C1，C2于M，N两点，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知f（x）＝|x﹣3|﹣2|x+1|+x．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）求证：∃x∈R，对∀a、b∈（0，+∞），a+b＝2，不等式≤f（x）成立．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．若集合M＝{x|2x﹣1≥0}，N＝{x|log2x＜0}，则M∩N＝（ ）
A．[，1） B．[，+∞） C．[0，2） D．[，2）
解：∵集合M＝{x|2x﹣1≥0}＝{x|x≥}，
N＝{x|log2x＜0}＝{x|0＜x＜1}，
∴M∩N＝{x|}＝[，1）．
故选：A．
2．设z＝i3+1（i是虚数单位）则在复平面上，复数z对应的点属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：z＝i3+1＝1﹣i，
对应点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限，
故选：D．
3．祖暅（公元5﹣6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家）．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β的平面于距平面β任意高d处截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立据此，短轴长为2cm，长轴为4cm的椭球体的体积是（ ）cm3
A． B． C． D．
【分析】根据题中的S圆＝S环总成立，可得半椭球体的体积，再利用柱体的体积公式和锥体的体积公式求解即可．
解：根据题意，因为S圆＝S环总成立，
所以半椭球体的体积为，
由题意可知，b＝1，a＝2，
所以半椭球体的体积为，
所以椭球体的体积是cm3．
故选：C．
4．下列命题中，正确的有（ ）
①线性回归直线＝x+必过样本点的中心（，）；
②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面β；
③“若＜，则a＞b”的否命题为真命题；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用回归直线方程的性质判断①；平面与平面的位置关系判断②；反例判断③；若△ABC 为锐角三角形，则A+B＞，利用三角函数的单调性判断④．
解：线性回归直线＝x+必过样本点的中心（，），所以①正确；
若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面β也可能相交，所以②不正确；
“若＜，则a＞b”的否命题为：若，则a≤b，显然不正确．反例a＝1，b＝﹣1，所以③不正确．
∵△ABC 为锐角三角形，∴∠C为锐角，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∴sinA＞sin（﹣B），∴sinA＞cosB，故④正确．
故选：B．
5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），若（λ﹣）⊥，则实数λ＝（ ）
A．1 B． C．0 D．3
【分析】可求出，然后根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值．
解：∵，，且，
∴，解得λ＝1．
故选：A．
6．直线x﹣y+4＝0被圆（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
解：圆的圆心到直线x﹣y+4＝0的距离为：＝0．
直线被圆（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦长等于圆的直径：2．
故选：B．
7．已知数列{an}是正项等比数列，且+＝，则a7的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合基本不等式及等比数列的性质可求a7的范围，进而可求．
解：因为数列{an}是正项等比数列，＝+＝2＝2，
当且仅当时取等号．
结合选项可知D符合题意．
故选：D．
8．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
A．可求得a＝0.005
B．这200名参赛者得分的中位数为65
C．得分在[60，80）之间的频率为0.5
D．得分在[40，60）之间的共有80人
【分析】利用频率之和可以求出a，即可判断选项A；利用中位数的计算方法求出中位数，即可判断选项B；利用频率分布直方图中频率的计算方法求出频率，即可判断选项C；利用频率、频数、样本容量之间的关系，即可判断选项D．
解：由频率之和为1可得，a×10＝1﹣（0.035+0.030+0.020+0.010）×10＝0.05，故a＝0.005，故选项A正确；
[40，60）的频率为（0.005+0.035）×10＝0.4，[60，70）的频率为0.030×100＝0.3，
所以这200名参赛者得分的中位数为60+＝63.3，故选项B错误；
得分在[60，80）之间的频率为（0.030+0.020）×10＝0.5，故选项C正确；
得分在[40，60）之间的人数为（0.005+0.035）×10×200＝80人，故选项D正确．
故选：B．
9．当θ∈（0，π）时，若cos（﹣θ）＝﹣，则sin（θ+）的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】先求得﹣θ的取值范围，再由同角三角函数的平方关系可得sin（﹣θ）的值，最后由诱导公式，得解．
解：∵θ∈（0，π），
∴﹣θ∈（，），
∵cos（﹣θ）＝﹣，
∴sin（﹣θ）＝，
∴sin（θ+）＝sin[π﹣（﹣θ）]＝sin（﹣θ）＝．
故选：B．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连结BC1，MC1，利用AD1∥BC1，得到∠MBC1即为异面直线AD1与BM所成的角，在△MBC1中，由余弦定理求解即可．
解：连结BC1，MC1，
在正方体中，易得AD1∥BC1，
所以∠MBC1即为异面直线AD1与BM所成的角，
设正方体的棱长为2，则，
在△MBC1中，由余弦定理可得，
＝．
所以异面直线AD1与BM所成角的余弦值为．
故选：A．
11．若B点的坐标为（3，2），点P为抛物线C：y2＝6x上的动点，F是拋物线C的焦点，当△PBF周长取得最小值时△PBF的面积为（ ）
A． B． C． D．3
解：如图，
由抛物线方程可得，F（，0），准线方程为x＝﹣，
点B（3，2）在抛物线内部，过B作BM垂直于抛物线的准线，
交抛物线于P，连接PF，此时△PBF的周长最小，yP＝yB＝2，
，则P（），
|PB|＝3﹣，F到BP所在直线的距离为2，
∴△PBF的面积为S＝．
故选：C．
12．已知函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，给出下列命题：
①当x＜0时，f（x）＝；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】直接利用函数的性质的应用，分段函数的应用，函数的导数的应用，函数的单调性和导数的关系判断①②③④的结论．
解：函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，给出下列命题：
对于①，当x＜0时，则﹣x＞0，所以，整理得f（x）＝，故①错误；
对于②，函数f（﹣1）＝0，f（1）＝0，f（0）＝0，故函数f（x）有3个零点，故②错误；
对于③，当x＞0时，则f（x）＝＜0的解集为：x∈（0，1）当x＜0时，f（x）＝的解集为x∈（﹣∞，﹣1），故f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故③正确；
对于④，当x＜0时，f′（x）＝ex（x+2），得到x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0，时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，
所以x＝﹣2时f（x）取得最小值，﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0，
所以f（x）＜f（0）＝1，
即﹣e﹣2＜f（x）＜1，
当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x），
所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0，
所以f（x）＞f（0）＝﹣1，
所以﹣1＜f（x）≤e﹣2，
所以f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）．
故∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，故④正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在机读卡上相应的位置.
13．设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是 ﹣1 ．
解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解：由约束条件画出可行域如图，
化z＝x+2y为y＝，由图可知，
当直线y＝经过点A（﹣1，0）时，z取最小值，且最小值是﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝ ﹣2 ．
解：由题设可得：a1+3d＝2（a1+2d），即2+3d＝2（2+2d），解得：d＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．已知函数f（x）＝，若f（a）＝2，则实数a＝ 1或﹣ ．
【分析】分别令x2+1＝2，＝2，解方程，求出方程的根即a的值即可．
解：令x2+1＝2，解得：x＝1，
令＝2，解得：x＝﹣，
故a＝1或﹣，
故答案为：1或﹣．
16．直线2x+y﹣2＝0过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，且与双曲线C在第一象限的交点为M，O为原点，|OM|＝|OF|，则双曲线C的左焦点的坐标为 （﹣，0） ；离心率为 ．
【分析】设F（c，0），求得F的坐标，可得左焦点的坐标；由两点的距离公式和已知直线方程，解得M的坐标，代入双曲线的方程，结合a，b，c的关系，解得a，c，由离心率公式，计算可得所求值．
解：设F（c，0），可令y＝0，则2x+0﹣2＝0，即有x＝，
所以c＝＝，
由|OM|＝c，联立，解得M（，），
将M的坐标代入双曲线的方程可得﹣＝1，
又a2+b2＝5，
解得a＝1，b＝2，c＝，
所以e＝＝．
故答案为：（﹣，0），．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A，B，C顺次成等差数列．
（1）若a＝2，c＝3，求b的大小；
（2）若△ABC的面积为，其外接圆半径为，求△ABC的周长．
【分析】（1）由已知结合等差数列的性质及三角形的内角和可求B，然后结合余弦定理可求b．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac＝2，利用正弦定理可求b的值，进而根据余弦定理可求a+c的值，即可得解△ABC的周长的值．
解：（1）由A+B+C＝π，且2B＝A+C，
所以B＝，
因为a＝2，c＝3，
由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×＝7，
故b＝．
（2）由于△ABC的面积为，由（1）可得B＝，
所以acsinB＝，解得ac＝2，
由于△ABC的外接圆半径为，所以＝2R，即＝2，解得b＝3，
利用已知条件和余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，可得9＝（a+c）2﹣6，解得a+c＝，
所以△ABC的周长为a+b+c＝+3．
18．机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．如表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
95
80
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程＝x+，并预测该路口10月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数：
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过1年
24
16
驾龄1年以上
16
14
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
参考公式：＝＝，＝﹣．
K2＝（其中n＝a+b+c+d）
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【分析】（1）先求出样本中心，然后利用公式求出和，即可得到回归方程，将x＝10代入回归方程求解即可；
（2）由表中的数据计算K2，与临界值进行比较即可．
解：（1）由表中的数据可知，，，
所以＝＝，
故＝﹣＝100﹣（﹣9）×3＝127，
所以所求的回归直线方程为＝﹣9x+127；
令x＝10，则＝﹣9×10+127＝37人；
（2）提出假设H0：“礼让行人”行为与驾龄无关，
由表中的数据可得，
根据临界值可得，没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝3，PN＝2ND．四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC＝2AD＝2DC＝4，∠ADC＝90°．
（1）求证：PB∥平面CAN；
（2）求三棱锥N﹣PBC的体积．
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接ON，由平行线截线段成比例可得ON∥PB，再由直线与平面平行的判定可得PB∥平面平面CAN；
（2）由PN＝2ND，得，再求出三棱锥N﹣PBC的体积，即可求得三棱锥N﹣PBC的体积．
【解答】证明：（1）连接BD交AC于O，连接ON，
在底面四边形ABCD中，∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴，
∵PN＝2ND，∴，可得，
则ON∥PB，
∵ON⊂平面CAN，PB⊄平面CAN，
∴PB∥平面平面CAN；
解：（2）∵PN＝2ND，∴PN：PD＝2：3，
则，
而＝4，
∴三棱锥N﹣PBC的体积V＝．
20．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB＝﹣．问：△AOB的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由离心率为，点A（﹣，），列方程组，解得a，b，c，进而可得答案．
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，y1y2，由kOA•kOB＝﹣，得k2＝m2﹣，
由弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d，再计算S△AOB＝•d•|AB|即可得出答案．
解：（Ⅰ）根据题意可得，
解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的方程为+y2＝1．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
所以△＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝16k2﹣8m2+8＞0，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+mk（x1+x2）+m2＝，
因为kOA•kOB＝＝＝﹣＝﹣，
解得k2＝m2﹣，
所以|AB|＝＝
＝，
点O到直线AB的距离d＝，
所以S△AOB＝•d•|AB|＝××，
＝×，
把k2＝m2﹣，代入上式，
得S△AOB＝×＝，
所以△AOB的面积为定值．
21．已知函数f（x）＝xlnx﹣mx+m．
（1）当m＝﹣2，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x＞1时，f（x）+2x＞0恒成立，求整数m的最大值．
【分析】（1）当m＝﹣2时，f（x）＝xlnx+2x﹣2，得f（1）＝0且f′（x）＝x•+lnx+2＝lnx+3，进而可得k切＝f′（1），进而写出切线的方程．
（2）f（x）+2x＝xlnx﹣mx+m+2x＞0可化为m（x﹣1）＜xlnx+2x，即当x＞1时，m＜恒成立，令g（x）＝，x∈（1，+∞），只需m＜g（x）min，即可得出答案．
解：（1）当m＝﹣2时，f（x）＝xlnx+2x﹣a，定义域为（0，+∞），
又f（1）＝0且f′（x）＝x•+lnx+2＝lnx+3，
则f′（1）＝3，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝3（x﹣1），即y＝3x﹣3．
（2）f（x）+2x＝xlnx﹣mx+m+2x＞0可化为m（x﹣1）＜xlnx+2x，
因为x＞1，
所以x﹣1＞0，
所以当x＞1时，m＜恒成立，
令g（x）＝，x∈（1，+∞），
只需m＜g（x）min，
g′（x）＝，
令h（x）＝x﹣lnx﹣3，x∈（1，+∞），
所以h′（x）＝1﹣＝＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
因为h（4）＝1﹣ln4＜0，
h（5）＝2﹣ln5＝ln＞0，
所以∃t∈（4，5），使得h（t）＝t﹣lnt﹣3＝0，即lnt＝t﹣3，
当1＜x＜t时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞t时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（t）＝＝＝t，
所以只需m＜t，
因为t∈（4，5），
所以整数m的最大值为4．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y﹣4＝0，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程：
（2）射线l：θ＝α（ρ≥0，0＜α＜）分别交曲线C1，C2于M，N两点，求的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出最大值．
解：（1）曲线C1：x+y﹣4＝0，根据，转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，整理得，
曲线C2：（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，根据转换为极坐标方程为ρ＝4sinθ．
（2）射线l：θ＝α（ρ≥0，0＜α＜）交曲线C1于点M，
所以，
所以，
射线l：θ＝α（ρ≥0，0＜α＜）交曲线C2于点N两，
所以，
所以ρ2＝4sinα，
故＝，
当，即时，的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知f（x）＝|x﹣3|﹣2|x+1|+x．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）求证：∃x∈R，对∀a、b∈（0，+∞），a+b＝2，不等式≤f（x）成立．
【分析】（1）写出分段函数解析式，然后对x分段求解，取并集得答案；
（2）利用基本不等式求得的最大值，作图求出f（x）的值域，可得∃x＝﹣1∈R，对∀a、b∈（0，+∞），a+b＝2，不等式≤f（x）成立．
解：（1）f（x）＝|x﹣3|﹣2|x+1|+x＝，
则f（x）≥1⇔或或．
解得﹣2≤x≤﹣1或﹣1＜x≤0．
则不等式f（x）≥1的解集为[﹣2，0]；
证明：（2）∵a+b＝2，∴＝，
又a、b∈（0，+∞），∴2＝a+b，则ab≤1，
∴，当且仅当a＝b时取最大值，
作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，f（x）∈[﹣5，3]，且当x＝﹣1时，f（﹣1）＝3．
∴∃x＝﹣1∈R，对∀a、b∈（0，+∞），a+b＝2，不等式≤f（x）成立．
2021年黑龙江省哈尔滨高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．若集合M＝{x|2x﹣1≥0}，N＝{x|log2x＜0}，则M∩N＝（ ）
A．[，1） B．[，+∞） C．[0，2） D．[，2）
2．设z＝i3+1（i是虚数单位）则在复平面上，复数z对应的点属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．祖暅（公元5﹣6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家）．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β的平面于距平面β任意高d处截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立据此，短轴长为2cm，长轴为4cm的椭球体的体积是（ ）cm3
A． B． C． D．
4．下列命题中，正确的有（ ）
①线性回归直线＝x+必过样本点的中心（，）；
②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面β；
③“若＜，则a＞b”的否命题为真命题；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），若（λ﹣）⊥，则实数λ＝（ ）
A．1 B． C．0 D．3
6．直线x﹣y+4＝0被圆（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列{an}是正项等比数列，且+＝，则a7的值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
A．可求得a＝0.005
B．这200名参赛者得分的中位数为65
C．得分在[60，80）之间的频率为0.5
D．得分在[40，60）之间的共有80人
9．当θ∈（0，π）时，若cos（﹣θ）＝﹣，则sin（θ+）的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．若B点的坐标为（3，2），点P为抛物线C：y2＝6x上的动点，F是拋物线C的焦点，当△PBF周长取得最小值时△PBF的面积为（ ）
A． B． C． D．3
12．已知函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，给出下列命题：
①当x＜0时，f（x）＝；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在机读卡上相应的位置.
13．设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是 ．
14．已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝ ．
15．已知函数f（x）＝，若f（a）＝2，则实数a＝ ．
16．直线2x+y﹣2＝0过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，且与双曲线C在第一象限的交点为M，O为原点，|OM|＝|OF|，则双曲线C的左焦点的坐标为 ；离心率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A，B，C顺次成等差数列．
（1）若a＝2，c＝3，求b的大小；
（2）若△ABC的面积为，其外接圆半径为，求△ABC的周长．
18．机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．如表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
95
80
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程＝x+，并预测该路口10月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数：
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过1年
24
16
驾龄1年以上
16
14
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
参考公式：＝＝，＝﹣．
K2＝（其中n＝a+b+c+d）
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝3，PN＝2ND．四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC＝2AD＝2DC＝4，∠ADC＝90°．
（1）求证：PB∥平面CAN；
（2）求三棱锥N﹣PBC的体积．
20．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB＝﹣．问：△AOB的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由．
21．已知函数f（x）＝xlnx﹣mx+m．
（1）当m＝﹣2，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x＞1时，f（x）+2x＞0恒成立，求整数m的最大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y﹣4＝0，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程：
（2）射线l：θ＝α（ρ≥0，0＜α＜）分别交曲线C1，C2于M，N两点，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知f（x）＝|x﹣3|﹣2|x+1|+x．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）求证：∃x∈R，对∀a、b∈（0，+∞），a+b＝2，不等式≤f（x）成立．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．若集合M＝{x|2x﹣1≥0}，N＝{x|log2x＜0}，则M∩N＝（ ）
A．[，1） B．[，+∞） C．[0，2） D．[，2）
解：∵集合M＝{x|2x﹣1≥0}＝{x|x≥}，
N＝{x|log2x＜0}＝{x|0＜x＜1}，
∴M∩N＝{x|}＝[，1）．
故选：A．
2．设z＝i3+1（i是虚数单位）则在复平面上，复数z对应的点属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：z＝i3+1＝1﹣i，
对应点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限，
故选：D．
3．祖暅（公元5﹣6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家）．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β的平面于距平面β任意高d处截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立据此，短轴长为2cm，长轴为4cm的椭球体的体积是（ ）cm3
A． B． C． D．
【分析】根据题中的S圆＝S环总成立，可得半椭球体的体积，再利用柱体的体积公式和锥体的体积公式求解即可．
解：根据题意，因为S圆＝S环总成立，
所以半椭球体的体积为，
由题意可知，b＝1，a＝2，
所以半椭球体的体积为，
所以椭球体的体积是cm3．
故选：C．
4．下列命题中，正确的有（ ）
①线性回归直线＝x+必过样本点的中心（，）；
②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面β；
③“若＜，则a＞b”的否命题为真命题；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用回归直线方程的性质判断①；平面与平面的位置关系判断②；反例判断③；若△ABC 为锐角三角形，则A+B＞，利用三角函数的单调性判断④．
解：线性回归直线＝x+必过样本点的中心（，），所以①正确；
若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面β也可能相交，所以②不正确；
“若＜，则a＞b”的否命题为：若，则a≤b，显然不正确．反例a＝1，b＝﹣1，所以③不正确．
∵△ABC 为锐角三角形，∴∠C为锐角，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∴sinA＞sin（﹣B），∴sinA＞cosB，故④正确．
故选：B．
5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），若（λ﹣）⊥，则实数λ＝（ ）
A．1 B． C．0 D．3
【分析】可求出，然后根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值．
解：∵，，且，
∴，解得λ＝1．
故选：A．
6．直线x﹣y+4＝0被圆（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
解：圆的圆心到直线x﹣y+4＝0的距离为：＝0．
直线被圆（x+2）2+（y﹣2）2＝2截得的弦长等于圆的直径：2．
故选：B．
7．已知数列{an}是正项等比数列，且+＝，则a7的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合基本不等式及等比数列的性质可求a7的范围，进而可求．
解：因为数列{an}是正项等比数列，＝+＝2＝2，
当且仅当时取等号．
结合选项可知D符合题意．
故选：D．
8．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
A．可求得a＝0.005
B．这200名参赛者得分的中位数为65
C．得分在[60，80）之间的频率为0.5
D．得分在[40，60）之间的共有80人
【分析】利用频率之和可以求出a，即可判断选项A；利用中位数的计算方法求出中位数，即可判断选项B；利用频率分布直方图中频率的计算方法求出频率，即可判断选项C；利用频率、频数、样本容量之间的关系，即可判断选项D．
解：由频率之和为1可得，a×10＝1﹣（0.035+0.030+0.020+0.010）×10＝0.05，故a＝0.005，故选项A正确；
[40，60）的频率为（0.005+0.035）×10＝0.4，[60，70）的频率为0.030×100＝0.3，
所以这200名参赛者得分的中位数为60+＝63.3，故选项B错误；
得分在[60，80）之间的频率为（0.030+0.020）×10＝0.5，故选项C正确；
得分在[40，60）之间的人数为（0.005+0.035）×10×200＝80人，故选项D正确．
故选：B．
9．当θ∈（0，π）时，若cos（﹣θ）＝﹣，则sin（θ+）的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】先求得﹣θ的取值范围，再由同角三角函数的平方关系可得sin（﹣θ）的值，最后由诱导公式，得解．
解：∵θ∈（0，π），
∴﹣θ∈（，），
∵cos（﹣θ）＝﹣，
∴sin（﹣θ）＝，
∴sin（θ+）＝sin[π﹣（﹣θ）]＝sin（﹣θ）＝．
故选：B．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连结BC1，MC1，利用AD1∥BC1，得到∠MBC1即为异面直线AD1与BM所成的角，在△MBC1中，由余弦定理求解即可．
解：连结BC1，MC1，
在正方体中，易得AD1∥BC1，
所以∠MBC1即为异面直线AD1与BM所成的角，
设正方体的棱长为2，则，
在△MBC1中，由余弦定理可得，
＝．
所以异面直线AD1与BM所成角的余弦值为．
故选：A．
11．若B点的坐标为（3，2），点P为抛物线C：y2＝6x上的动点，F是拋物线C的焦点，当△PBF周长取得最小值时△PBF的面积为（ ）
A． B． C． D．3
解：如图，
由抛物线方程可得，F（，0），准线方程为x＝﹣，
点B（3，2）在抛物线内部，过B作BM垂直于抛物线的准线，
交抛物线于P，连接PF，此时△PBF的周长最小，yP＝yB＝2，
，则P（），
|PB|＝3﹣，F到BP所在直线的距离为2，
∴△PBF的面积为S＝．
故选：C．
12．已知函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，给出下列命题：
①当x＜0时，f（x）＝；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】直接利用函数的性质的应用，分段函数的应用，函数的导数的应用，函数的单调性和导数的关系判断①②③④的结论．
解：函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，给出下列命题：
对于①，当x＜0时，则﹣x＞0，所以，整理得f（x）＝，故①错误；
对于②，函数f（﹣1）＝0，f（1）＝0，f（0）＝0，故函数f（x）有3个零点，故②错误；
对于③，当x＞0时，则f（x）＝＜0的解集为：x∈（0，1）当x＜0时，f（x）＝的解集为x∈（﹣∞，﹣1），故f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故③正确；
对于④，当x＜0时，f′（x）＝ex（x+2），得到x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0，时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，
所以x＝﹣2时f（x）取得最小值，﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0，
所以f（x）＜f（0）＝1，
即﹣e﹣2＜f（x）＜1，
当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x），
所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0，
所以f（x）＞f（0）＝﹣1，
所以﹣1＜f（x）≤e﹣2，
所以f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）．
故∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，故④正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在机读卡上相应的位置.
13．设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是 ﹣1 ．
解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解：由约束条件画出可行域如图，
化z＝x+2y为y＝，由图可知，
当直线y＝经过点A（﹣1，0）时，z取最小值，且最小值是﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝ ﹣2 ．
解：由题设可得：a1+3d＝2（a1+2d），即2+3d＝2（2+2d），解得：d＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．已知函数f（x）＝，若f（a）＝2，则实数a＝ 1或﹣ ．
【分析】分别令x2+1＝2，＝2，解方程，求出方程的根即a的值即可．
解：令x2+1＝2，解得：x＝1，
令＝2，解得：x＝﹣，
故a＝1或﹣，
故答案为：1或﹣．
16．直线2x+y﹣2＝0过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，且与双曲线C在第一象限的交点为M，O为原点，|OM|＝|OF|，则双曲线C的左焦点的坐标为 （﹣，0） ；离心率为 ．
【分析】设F（c，0），求得F的坐标，可得左焦点的坐标；由两点的距离公式和已知直线方程，解得M的坐标，代入双曲线的方程，结合a，b，c的关系，解得a，c，由离心率公式，计算可得所求值．
解：设F（c，0），可令y＝0，则2x+0﹣2＝0，即有x＝，
所以c＝＝，
由|OM|＝c，联立，解得M（，），
将M的坐标代入双曲线的方程可得﹣＝1，
又a2+b2＝5，
解得a＝1，b＝2，c＝，
所以e＝＝．
故答案为：（﹣，0），．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A，B，C顺次成等差数列．
（1）若a＝2，c＝3，求b的大小；
（2）若△ABC的面积为，其外接圆半径为，求△ABC的周长．
【分析】（1）由已知结合等差数列的性质及三角形的内角和可求B，然后结合余弦定理可求b．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac＝2，利用正弦定理可求b的值，进而根据余弦定理可求a+c的值，即可得解△ABC的周长的值．
解：（1）由A+B+C＝π，且2B＝A+C，
所以B＝，
因为a＝2，c＝3，
由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×＝7，
故b＝．
（2）由于△ABC的面积为，由（1）可得B＝，
所以acsinB＝，解得ac＝2，
由于△ABC的外接圆半径为，所以＝2R，即＝2，解得b＝3，
利用已知条件和余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，可得9＝（a+c）2﹣6，解得a+c＝，
所以△ABC的周长为a+b+c＝+3．
18．机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．如表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
95
80
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程＝x+，并预测该路口10月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数：
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过1年
24
16
驾龄1年以上
16
14
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
参考公式：＝＝，＝﹣．
K2＝（其中n＝a+b+c+d）
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【分析】（1）先求出样本中心，然后利用公式求出和，即可得到回归方程，将x＝10代入回归方程求解即可；
（2）由表中的数据计算K2，与临界值进行比较即可．
解：（1）由表中的数据可知，，，
所以＝＝，
故＝﹣＝100﹣（﹣9）×3＝127，
所以所求的回归直线方程为＝﹣9x+127；
令x＝10，则＝﹣9×10+127＝37人；
（2）提出假设H0：“礼让行人”行为与驾龄无关，
由表中的数据可得，
根据临界值可得，没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝3，PN＝2ND．四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC＝2AD＝2DC＝4，∠ADC＝90°．
（1）求证：PB∥平面CAN；
（2）求三棱锥N﹣PBC的体积．
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接ON，由平行线截线段成比例可得ON∥PB，再由直线与平面平行的判定可得PB∥平面平面CAN；
（2）由PN＝2ND，得，再求出三棱锥N﹣PBC的体积，即可求得三棱锥N﹣PBC的体积．
【解答】证明：（1）连接BD交AC于O，连接ON，
在底面四边形ABCD中，∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴，
∵PN＝2ND，∴，可得，
则ON∥PB，
∵ON⊂平面CAN，PB⊄平面CAN，
∴PB∥平面平面CAN；
解：（2）∵PN＝2ND，∴PN：PD＝2：3，
则，
而＝4，
∴三棱锥N﹣PBC的体积V＝．
20．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB＝﹣．问：△AOB的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由离心率为，点A（﹣，），列方程组，解得a，b，c，进而可得答案．
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，y1y2，由kOA•kOB＝﹣，得k2＝m2﹣，
由弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d，再计算S△AOB＝•d•|AB|即可得出答案．
解：（Ⅰ）根据题意可得，
解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的方程为+y2＝1．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
所以△＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝16k2﹣8m2+8＞0，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+mk（x1+x2）+m2＝，
因为kOA•kOB＝＝＝﹣＝﹣，
解得k2＝m2﹣，
所以|AB|＝＝
＝，
点O到直线AB的距离d＝，
所以S△AOB＝•d•|AB|＝××，
＝×，
把k2＝m2﹣，代入上式，
得S△AOB＝×＝，
所以△AOB的面积为定值．
21．已知函数f（x）＝xlnx﹣mx+m．
（1）当m＝﹣2，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x＞1时，f（x）+2x＞0恒成立，求整数m的最大值．
【分析】（1）当m＝﹣2时，f（x）＝xlnx+2x﹣2，得f（1）＝0且f′（x）＝x•+lnx+2＝lnx+3，进而可得k切＝f′（1），进而写出切线的方程．
（2）f（x）+2x＝xlnx﹣mx+m+2x＞0可化为m（x﹣1）＜xlnx+2x，即当x＞1时，m＜恒成立，令g（x）＝，x∈（1，+∞），只需m＜g（x）min，即可得出答案．
解：（1）当m＝﹣2时，f（x）＝xlnx+2x﹣a，定义域为（0，+∞），
又f（1）＝0且f′（x）＝x•+lnx+2＝lnx+3，
则f′（1）＝3，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝3（x﹣1），即y＝3x﹣3．
（2）f（x）+2x＝xlnx﹣mx+m+2x＞0可化为m（x﹣1）＜xlnx+2x，
因为x＞1，
所以x﹣1＞0，
所以当x＞1时，m＜恒成立，
令g（x）＝，x∈（1，+∞），
只需m＜g（x）min，
g′（x）＝，
令h（x）＝x﹣lnx﹣3，x∈（1，+∞），
所以h′（x）＝1﹣＝＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
因为h（4）＝1﹣ln4＜0，
h（5）＝2﹣ln5＝ln＞0，
所以∃t∈（4，5），使得h（t）＝t﹣lnt﹣3＝0，即lnt＝t﹣3，
当1＜x＜t时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞t时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（t）＝＝＝t，
所以只需m＜t，
因为t∈（4，5），
所以整数m的最大值为4．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y﹣4＝0，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程：
（2）射线l：θ＝α（ρ≥0，0＜α＜）分别交曲线C1，C2于M，N两点，求的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出最大值．
解：（1）曲线C1：x+y﹣4＝0，根据，转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，整理得，
曲线C2：（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，根据转换为极坐标方程为ρ＝4sinθ．
（2）射线l：θ＝α（ρ≥0，0＜α＜）交曲线C1于点M，
所以，
所以，
射线l：θ＝α（ρ≥0，0＜α＜）交曲线C2于点N两，
所以，
所以ρ2＝4sinα，
故＝，
当，即时，的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知f（x）＝|x﹣3|﹣2|x+1|+x．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）求证：∃x∈R，对∀a、b∈（0，+∞），a+b＝2，不等式≤f（x）成立．
【分析】（1）写出分段函数解析式，然后对x分段求解，取并集得答案；
（2）利用基本不等式求得的最大值，作图求出f（x）的值域，可得∃x＝﹣1∈R，对∀a、b∈（0，+∞），a+b＝2，不等式≤f（x）成立．
解：（1）f（x）＝|x﹣3|﹣2|x+1|+x＝，
则f（x）≥1⇔或或．
解得﹣2≤x≤﹣1或﹣1＜x≤0．
则不等式f（x）≥1的解集为[﹣2，0]；
证明：（2）∵a+b＝2，∴＝，
又a、b∈（0，+∞），∴2＝a+b，则ab≤1，
∴，当且仅当a＝b时取最大值，
作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，f（x）∈[﹣5，3]，且当x＝﹣1时，f（﹣1）＝3．
∴∃x＝﹣1∈R，对∀a、b∈（0，+∞），a+b＝2，不等式≤f（x）成立．
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