专题15 函数的基本性质（1）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题15 函数的基本性质（1）
（函数的奇偶性）
知识梳理





一、函数奇偶性的证明（判断）
1、函数奇偶性的定义
偶函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数．　
奇函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数．
2、证明（判断）函数奇偶性的一般步骤
验证函数的定义域是否关于原点对称？否！函数是非奇非偶函数．是！继续考查成立与否？成立，是奇函数；，是偶函数；都成立，是即奇又偶函数；都不成立，是非奇非偶函数．
二、函数奇偶性的应用
关于函数奇偶性的几个重要结论
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）．
（2）函数是奇函数曲线关于原点对称；函数是偶函数曲线关于轴对称．
（3）若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数．
（4）若函数的定义域关于原点对称，则可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．
其中，为偶函数，为奇函数．
（5）、是定义域为、的奇函数，那么在上，是奇函数，是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝偶”．
（6）既是奇函数又是偶函数（定义域关于原点对称）．
（7）若奇函数在处有定义，则．
（8）对于多项式函数
若是奇函数偶次项的系数全为零；
若是偶函数奇次项的系数全为零．

例题解析
一、函数奇偶性的证明（判断）
【例1】判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）∵，即，∴函数是奇函数；
（2）∵，即，∴函数是偶函数；
（3）∵∴，∴函数既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数．
（4）∵，∴函数为既奇又偶函数
【例2】判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）函数的定义域关于原点对称．
，即，∴函数是奇函数．

函数．∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数．
（2）函数的定义域是关于原点对称，，
，∴函数是奇函数．
（3）函数的定义域关于原点对称．
① 当时，，则；
② 当时，，则．
综上，，∴函数是奇函数．
（4） 函数是奇函数．
【例3】若函数，为非奇非偶函数，则有（ ）
（A）对于任意的，都有；
（B）存在，使；
（C）存在，使；
（D）对于任意的，都有。
【难度】★★
【答案】C




【例4】条件甲：函数满足，条件乙：函数是奇函数，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条
【难度】★★
【答案】C
【例5】下列说法正确的有( )
A．既是奇函数又是偶函数的函数是；
B．定义域关于原点对称的函数一定具备奇偶性；
C．定义在上的奇函数一定过原点；
D．对于给定的，，则为偶函数；
【难度】★★
【答案】C
【例6】已知是偶函数，且其定义域为，则= ，= ．
【难度】★★
【答案】是偶函数，一次项系数为，则。定义域关于原点对称，故。
【例7】如图，在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的正六边形，. 直线与正六边形交于M、N两点，记的面积为，则函数的奇偶性为（ )
x
L
N
M
O
F
E
D
C
B
A
y
A．偶函数 　　　　　　　　　 B．奇函数
C．不是奇函数，也不是偶函数 　　　 D．奇偶性与有关[来源:学科网Z

【难度】★★★
【答案】A








【例8】已知函数，
（1） 判断函数的奇偶性
（2） 有最小值时,求此时x的值。
【难度】★★★
【答案】（1）当=0时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数。
（2）


【巩固训练】
1．判断下列函数的奇偶性．
（1）；　 　　　　　（2）


（3）； （4）；

（5）；（6）
【难度】★★
【答案】（1）既奇又偶函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）偶函数


2．设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“是偶函数”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【难度】★★
【答案】B

3．设函数在内有定义，下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）中必为奇函数的有 （填选所有正确答案的序号）
【难度】★★
【答案】（2）（4）


4．设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则
【难度】★★
【答案】0


5．若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有 （ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
【难度】★★
【答案】C
【解析】、为奇函数，∴为奇函数．
又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．
∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．答案为C．


6．是非奇非偶函数，证明如下： ，这种证法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请给出正确的证法。
【难度】★★
【答案】不正确 都不成立，是非奇非偶函数．


7．已知对于，，但是非奇非偶函数，请写出一个满足条件的=

【难度】★★ 1
【答案】 -1 <






8．已知函数，讨论函数的奇偶性
【难度】★★
【答案】当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数


二、利用函数奇偶性求解函数表达式
数学的本质是研究“数”和“形”．奇偶函数在“数”的意义下的内涵是“与”的相互转化，这是奇偶性的个性．
【例9】如果函数是奇函数，则 ．
【难度】★★
【答案】


【例10】若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 ．
【难度】★★
【答案】

【例11】已知的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，则 ， ．
【难度】★★
【答案】，


【例12】函数，其中、、为不全是零的常数，若，则=
【难度】★★
【答案】-8





【例13】函数y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图)，则不等式f(x)＜f(-x)+2x的解集为
O
y
x

【难度】★★★
【答案】


【例14】设（为实常数）．（1）当时，证明：不是奇函数；（2）设是奇函数，求与的值；
【难度】★★
【答案】（1）举出反例即可．，，，
所以，不是奇函数；
（2）是奇函数时，，即对定义域内任意实数成立．
化简整理得，这是关于的恒等式，
所以，所以或 ． 经检验都符合题意．
【例15】设是定义在上的函数，如果存在点，对函数的图像上的任意点，关于的对称点也在函数的图像上，那么称函数的图像关于点对称，称为函数的图像的一个对称中心.
（1）求证：点是函数的对称中心；
（2）设是定义在上的函数，求证：是函数图像的一个对称中心的充要条件是函数是奇函数；
（3）试问函数的图像是否关于某点对称？为什么？
【难度】★★
【答案】（1）（2）证明略；（3）待定系数法,关于对称






【巩固训练】
1．已知为奇函数，为偶函数，且有．求、的解析式．
【难度】★
【答案】，
2．已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时，.
【难度】★★
【答案】

3．为奇函数，则的值
【难度】★★
【答案】1
4．为奇函数，则的取值范围
【难度】★★
【答案】


5．已知函数的定义域都是，而是奇函数，是偶函数。
① 判断的奇偶性；
② 如果，求函数的表达式。
【难度】★★
【答案】偶；









6．对于两个定义域相同的函数、，如果存在实数、使得，则称函数是由“基函数、”生成的．
（1）若和生成一个偶函数，求的值；
（2）若由函数，（且）生成，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）由，，
∵是偶函数，∴，
∴，∴；
（2），
∴．由得，
∴．
7．已知函数是奇函数，为常数．
（1）求实数的值；
（2）若，且，求的解析式；
（3）对于（2）中的，若对恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1），


（2），


当时，（舍）
当时，，
（3）
对恒成立
，当且仅当时等号成立
即时，
三、抽象函数奇偶性问题
抽象函数奇偶性的证明问题，往往需要对已知等式中的变量进行赋值，创造新的条件．
【例16】已知函数f(x)的定义域为，对任意实数都有
① 求证：
② 判断函数的奇偶性；
③ 已知，用表示
【难度】★★
【答案】证明略； 奇；


【例17】既奇又偶函数的函数的个数为（）
A．一个 B．二个 C．无穷多 D．不存在
【难度】★★
【答案】C

【例18】（1）已知函数满足：，，则_____．
【难度】★★★
【答案】


【例19】设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则．
【难度】★★★
【答案】0

【例20】若函数是一个奇函数，那么函数的对称中心为_________
【难度】★★★
【答案】（-1，-2）

【例21】函数的定义域为，若与都是奇函数，则 ( )
A.是偶函数 B.是奇函数 C.D.是奇函数
【难度】★★★
【答案】D
【解析】与都是奇函数，，
· 函数关于点，及点对称，
· 函数是周期的周期函数.
，
即是奇函数。故选D.



【巩固训练】
1．已知函数对一切都有．
（1）求证：是奇函数；
（2）设，用表示．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）


2．设函数是定义域为的奇函数，，，求的值．
【难度】★★
【答案】由是奇函数得，在中，令可得，而

3．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则 ．
【难度】★★
【答案】由可得:
，，，
又∵，∴，，．
又∵，∴．
∴，∴．
4．设函数f(x)的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的,有f()= . 求证：f(x)是奇函数。

【难度】★★★
【答案】不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)=
=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.


四、函数奇偶性的应用

【例12】若函数是奇函数，则=_________.
【难度】★★【答案】

【例13】设是实数，函数（）．
（1） 求证：函数不是奇函数；
（2） 当时，求证恒成立；
（3） 求函数的值域（用表示）．
【难度】★★★
【答案】（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，
从而，即，但是，矛盾．
所以不是奇函数．（也可用等证明）
（2）因为，，所以当时，，由，得，即，，
因为，所以，即．
当，即时，恒成立
（3）令，则，原函数变成．
①若，则在上是增函数，值域为．
②若，则
对于，有，当时，是关于的减函数，的取值范围是；当时，，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是．
对于，有是关于的增函数，
其取值范围．
综上，当时，函数的值域是；
当时，函数的值域是；
当时，函数的值域是．



x
y
O
2
2
【例22】定义在上的奇函数在上的图像如右图所示，则不等式的解集是．
【难度】★★【答案】




【例23】如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动．设顶点的轨迹方程是．则在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为．
【难度】★★【答案】



【例24】已知对于任意实数，函数满足．若方程有2009个实数解，则这2013个实数解之和为．
【难度】★★【答案】0


【例25】已知函数是偶函数，则．
【难度】★★【答案】5

【例26】设是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，，求当时，的解析式．
【难度】★★★【答案】当时，设函数图象上任一点，设关于直线的对称点为．则即
∵点在函数的图象上，∴．
∴，即．
即当时，函数．
又设，则，∴．
又是偶函数，∴，∴，
即当时，的解析式为，．
【例27】已知函数()是奇函数，当时，有最小值2，其中且.
(1)试求函数的解析式；
(2)问函数图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【难度】★★★
【答案】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.
(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则
消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.
【例28】对于函数，若存在实数，使成立，则称为函数的不动点．
（1）已知函数．
①若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
②在①的条件下，若的图像上两点的横坐标都是函数的不动点，且两点关于直线对称，求实数的最小值；
（2）命题“若定义在实数集上的奇函数存在有限个相异的不动点，则不动点的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明．
【难度】★★★
【答案】（1）①；②；（2）提示：证明非零不动点必成对出现．

4．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）若R且，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在R上有局部对称点，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案】（1）由得
代入得，，
得到关于的方程（），其中，由于且，所以恒成立
所以函数（）必有局部对称点。
（2）方程在区间上有解，于是
设（），，，其中所以
（3），
由于，所以
于是（*）在上有解
令（），则，
所以方程（*）变为在区间内有解，需满足条件：
……16分即，化简得



【巩固训练】
1．已知为偶函数，则的对称轴是___________
【难度】★★★
【答案】


2．若函数是偶函数，那么实数．
【难度】★
【答案】1


3．设函数在上满足，，且在闭区间上只有．试判断函数的奇偶性．
【难度】★★★
【答案】在中，令，得，又，从而，
但，∴，且，∴既不是奇函数，也不是偶函数．
4．已知函数，，，且与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若，，试讨论函数的奇偶性．
【难度】★★
【答案】（1）由题意，，即，又，故．
（2），其定义域为，
．
若为偶函数，即，则有，此时，，
故，即不为奇函数；
若为奇函数，即，则，此时，，
故，即不为偶函数；
综上，当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数，
当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，
当时，函数既非奇函数又非偶函数．

反思总结
函数奇偶性的判断：
（1）观察定义域是否关于原点对称；
（2）观察对定义域内任意的，是否恒有或；
（3）要断定函数是非奇非偶函数，可以从定义域和举反例入手．

课后练习


1．函数(≤3)的奇偶性是（）
（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇又偶函数
【难度】★★
【答案】A


2．已知，且f(5)=7，则f(－5)的值是（）
A．－5 B．－7 C．5 D．7
【难度】★★【答案】A



3．函数是奇函数的充要条件（）
A． B． C． D．
【难度】★★【答案】B



4．设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【难度】★★【答案】B

5．已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则（）
A、 B、
C、 D、
【难度】★★【答案】D

6．已知函数，是定义在上的奇函数，且当时，，则方程有个实根．
【难度】★★【答案】2


7．下列命题中所有正确的是：．
（1）每个定义域关于原点对称的函数都可以分解为一个奇函数与一个偶函数的和．
（2）若可分解为一个奇函数与一个偶函数的和，则这种分解方法只有一种．
（3）非零奇函数与非零偶函数的和必为非奇非偶函数．
（4）为非奇非偶函数．
【难度】★★【答案】（1），（2）





8．设函数，给出四个命题：
（1）时，是奇函数；（2）时，方程只有一个实根；
（3）的图像关于点对称；（4）方程至多有两个实根；
上述命题中所有正确命题的序号是_____________;
【难度】★★【答案】（1），（2），（3）



9．设是上的奇函数,是上的偶函数,若函数的值域为,则的值域为
【难度】★★【答案】
10．已知函数 , x ∈[-2 , ]是偶函数，则 =,=
【难度】★★
【答案】

11．（1）是上的奇函数，当时，，求时的解析式；
（2）设为奇函数，为偶函数，且，求和的解析式．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）；


12．已知，是二次函数，且为奇函数，当时，的最小值为1，求的表达式．
【难度】★★
【答案】或．


13．已知函数的定义域是，，函数是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值，最小值为．
（1）求的值；
（2）试求的解析式；
（3）试求在上的解析式．
【难度】★★★
【答案】（1）0；（2）；
（3）








14．已知函数和的图像关于原点对称，且．
（1） 求函数的解析式；
（2） 解不等式；
（3） 若在上是增函数，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）