数学人教版新课标B第三章 空间向量与立体几何3.2 空间向量在立体几何中的应用备课课件ppt

这是一份数学人教版新课标B第三章 空间向量与立体几何3.2 空间向量在立体几何中的应用备课课件ppt，共21页。PPT课件主要包含了方法指导，怎样求平面法向量，讲授新课，化为向量问题，进行向量运算，回到图形问题，解如图1设，依据向量的加法法则，回归图形，点面距离等内容，欢迎下载使用。

给定一个点A和一个向量a,过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的。
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离
如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
库底与水坝所成二面角的余弦值为
（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
∴ 可算出 AB 的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E，
在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。
（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。
如图6，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 上的动点，且 。 （1）求证： ； （2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。