精品高中数学一轮专题-平面向量的概念及其运算app和作业

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平面向量的概念及其运算新课程考试要求1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.4.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.考向预测（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等； （2）考查单位向量较多.（3）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； （4）常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【知识清单】知识点1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则 二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.知识点3．共线向量共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.知识点4．两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.知识点5．平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．知识点6．数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．知识点7．向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.【考点分类剖析】考点一  向量的有关概念【典例1】给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（    ）A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 【典例2】下列说法错误的是（    ）A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等  【易错提醒】1．有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．【变式探究】1.下列命题中正确的是（　　）A．若，则 B．若，则是平行四边形C．若，，则 D．若，，则 2. 设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　 B．1C．2   D．3   【总结提升】(1)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量．(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．（4）几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．考点二  平面向量的线性运算【典例3】在中，D是AB边上的中点，则=（    ）A． B． C． D． 【典例4】在平行四边形中，若，则（    ）A． B． C． D． 【规律方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式探究】1.在△中，为边上的中线，为的中点，则（     ）A．     B．    C．     D． 2.已知，，三点不共线，且点满足，则（    ）A． B．C． D．  【总结提升】平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．考点三  利用向量线性运算求参数【典例5】设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（    ）A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝【典例6】已知四边形ABCD为正方形，，AP与CD交于点E，若，则=            . 【总结提升】利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．【变式探究】1.在正方形中，为的中点，若，则的值为（  ）A． B． C． D．1  2.已知x,y是实数,向量不共线,若,则________,________. 考点四  共线向量及其应用
【典例7】设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.  【规律方法】1.平面向量共线定理的三个应用2.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内任一点，t∈R)．【变式探究】1.若，与的方向相反，且，则＝________.  2.设是不共线的两个向量,已知，，若A、B、D三点共线,求k的值.  【总结提升】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．考点五  平面向量数量积的运算【典例9】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）A． B．C． D． 【典例10】在如图的平面图形中，已知,则的值为A．    B．        C．    D．0【规律方法】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．【变式探究】1．已知向量，满足，，则（    ）A．4    B．3    C．2    D．02.在平面凸四边形中，，点，分别是边，的中点，且，若，则______. 【总结提升】②     知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．考点六  平面向量的夹角问题【典例11】已知向量 ，满足，，，则（    ）A． B． C． D．【典例12】已知为单位向量，且=0，若 ，则___________. 【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝.提醒：〈a，b〉∈[0，π]．【变式探究】1.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（    ）A． B． C． D． 2．已知，是不共线的两个向量，若对任意的，的最小值为1，的最小值为1，若，则，所成角的余弦值为______.考点七  平面向量的模的问题
【典例13】若向量满足，则_________.【变式探究】1．已知，则的取值范围是（　　）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2] 2．已知 ，则____________．  考点八  平面向量垂直的条件
【典例14】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）A． B． C．  D． 【典例15】已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.  【总结提升】平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【变式探究】1．已知非零向量、满足，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D． 2．已知，则λ＝________． 作业1．若四边形是矩形，下列说法中不正确的是（    ）A．与共线 B．与相等C．与是相反向量 D．与模相等2．已知正六边形，则（    ）A． B． C． D．3．已知两非零向量，，满足，且，则（    ）A．1 B．3 C．4 D．54．已知向量，，满足，则（    ）A．＝＋B．＝－－C．与同向D．与同向5．若均为非零向量，则“”是“与共线”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．下列关于向量的命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则7．设，为非零向量，则“∥”是“与方向相同”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．下列说法正确的是（    ）A．，则B．起点相同的两个非零向量不平行C．若，则与必共线D．若则与的方向相同或相反9．在中，已知点是边上靠近点A的一个三等分点，则（    ）A． B． C． D．10．已知，，与的夹角，则（    ）A．10 B． C． D．  1．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）A． B． C． D．2. 已知非零向量，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）A． B． C．  D．4．已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为（    ）A． B． C． D．5．已知向量，，，_______．6．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.