高端精品高中数学一轮专题-复数的三角表示式（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-复数的三角表示式（讲）（带答案）教案，共5页。教案主要包含了自主学习，合作探究等内容，欢迎下载使用。

知识点1 复数的三角形式
1．定义：r(csθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．非零复数z辐角θ的多值性
以x轴正半轴为始边，向量 eq \(OZ,\s\up6(→))所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．
3．辐角主值
(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．
(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．
(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．
知识点2 复数的代数形式与三角形式的互化
复数z＝a＋bi＝r(csθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝r·csθ，,b＝r·sinθ，,r＝\r(a2＋b2).))
【合作探究】
探究一 代数形式与三角形式的转换
【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z1＝－2(csθ＋isinθ)； (2)z2＝csθ－isinθ.
[解] (1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－csθ－isinθ)，复平面上点Z1(－2csθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－csθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．∴z1＝2(－csθ－isinθ)＝2[cs(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．
(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点Z2(csθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．
∴z2＝csθ－isinθ＝cs(－θ)＋isin(－θ)或z2＝csθ－isinθ＝cs(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．
归纳总结：对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z3＝－sinθ＋icsθ； (2)z4＝－sinθ－icsθ； (3)z5＝cs60°＋isin30°.
解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点Z3(－sinθ，csθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“eq \f(π,2)＋θ”将θ变换到第二象限．
∴z3＝－sinθ＋icsθ＝cs(eq \f(π,2)＋θ)＋isin(eq \f(π,2)＋θ)．
(2)不是三角形式，同理(1)可得z4＝－sinθ－icsθ＝cs(eq \f(3,2)π－θ)＋isin(eq \f(3,2)π－θ)．
(3)由“角相同”知，不是三角形式，z5＝cs60°＋isin30°＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i＝eq \f(1,2)(1＋i)＝eq \f(1,2)×eq \r(2)(cseq \f(π,4)＋isineq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)(cseq \f(π,4)＋isineq \f(π,4))．
探究二 将复数的三角形式化为代数形式
【例2】将复数化为代数形式为________．
【答案】 －eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(6),2)i
[解析] ＝3eq \r(2)
＝－eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(6),2)i.
归纳总结：将复数的三角形式rcsθ＋isinθ化为代数形式a＋bia，b∈R时，其中a＝rcsθ，b＝rsinθ.
【练习2】复数的代数形式是 .
【答案】－3－3eq \r(3)i
解析：＝6＝－3－3eq \r(3)i.
探究三 复数的模与辐角主值
【例3】求复数z＝1＋csθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．
[解] z＝1＋csθ＋isinθ＝1＋(2cs2eq \f(θ,2)－1)＋2i·sineq \f(θ,2)cseq \f(θ,2)＝2cseq \f(θ,2)(cseq \f(θ,2)＋isineq \f(θ,2))，①
∵π<θ<2π，∴eq \f(π,2)∴①式右端＝－2cseq \f(θ,2)(－cseq \f(θ,2)－isineq \f(θ,2))
＝－2cseq \f(θ,2)[cs(π＋eq \f(θ,2))＋isin(π＋eq \f(θ,2))]，
∴r＝－2cseq \f(θ,2)，z的辐角为π＋eq \f(θ,2)＋2kπ(k∈Z)．
∵eq \f(π,2)∴argz＝π＋eq \f(θ,2).
归纳总结：复数的三角形式z＝rcsθ＋isinθ中，模r≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈[0，2π.
【练习3】将z＝eq \f(1＋itanθ,1－itanθ)(eq \f(11,4)π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．
解：z＝eq \f(1＋itanθ,1－itanθ)＝eq \f(1＋i\f(sinθ,csθ),1－\f(isinθ,csθ))＝eq \f(csθ＋isinθ,csθ－isinθ)
＝eq \f(csθ＋isinθ2,csθ－isinθcsθ＋isinθ)＝cs2θ＋isin2θ.
∵eq \f(11,4)π<θ<3π，
∴eq \f(11,2)π<2θ<6π，
∴eq \f(3,2)π<2θ－4π<2π，
∴argz＝2θ－4π.
探究四 复数辐角的应用
【例4】复数z满足arg(z＋3)＝eq \f(5,6)π，求|z＋6|＋|z－3i|最小值．
[解] 由arg(z＋3)＝eq \f(5,6)π，知z＋3的轨迹是射线OA，则z轨迹应是平行于OA，且过点(－3,0)的射线BM(如图)，
∴|z＋6|＋|z－3i|就表示射线BM上点到点P(－6,0)和点Q(0,3)距离之和，连接PQ与射线BM交于点N，当复数z在复平面内的点为N点时，|z＋6|＋|z－3i|所取的值最小，
即|z＋6|＋|z－3i|＝|PN|＋|NQ|＝|PQ|＝3eq \r(5)，
∴所求最小值＝3eq \r(5).
归纳总结：解此类题的本质是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模距离和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便
【练习4】已知|z－2i|≤1，求arg(z－4i)最大值．
解：∵|z－2i|≤1，∴点Z轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆面．如图，在其上任取一点Z，连接Z与点(0,4)得一以(0,4)为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(z－4i)最大值为eq \f(5,3)π.