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高中数学一轮总复习课件1.3 等式的性质与不等式的性质、基本不等式
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这是一份高中数学一轮总复习课件1.3 等式的性质与不等式的性质、基本不等式，共56页。PPT课件主要包含了课标要求，备考指导，内容索引，知识筛查，等式的基本性质，不等式的基本性质，基本不等式，知识巩固等内容，欢迎下载使用。
不等式的性质贯穿于整个高中数学,是解不等式、研究不等式问题的根本.复习时要理清各条性质的应用条件,准确使用.以提升逻辑推理和数学运算素养.基本不等式是高考的重点,有时单独考查,有时与其他知识综合求最值.应用时要注意检验等号成立的条件,根据已知条件适当变形.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
1.两个实数比较大小的法则
注意:(1)基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同为正数;二定:a+b或ab为定值;三相等:当且仅当a=b时,不等式取得等号.(2)基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
5.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a
5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
例1 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( )A.MNC.M=ND.不确定
M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.
对点训练1(1)若x∈R,y∈R,则( )A.x2+y2>2xy-1B.x2+y2=2xy-1C.x2+y2<2xy-1D.x2+y2≤2xy-1
因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故选A.
(2)已知a>0,b>0,试比较aabb与abba的大小.
例2 (1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )A.a2>a>-a2>-aB.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2D.-a>a2>-a2>a
由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1a2>0,而a<-a2<0,所以a<-a2<0
对点训练2(1)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是( )
解题心得利用基本不等式证明不等式是证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
命题角度1 求不含等式条件的函数最值例4 (1)下列说法正确的是( )
命题角度2 求含有等式条件的代数式的最值
命题角度3 已知不等式恒成立求参数取值范围
解题心得1.利用基本不等式求解不含等式条件的函数最值的关注点:(1)依据:利用基本不等式求最值的依据是“积定和小”与“和定积大”.(2)定值:即和(或积)为定值,必要时需配凑、拆分出定值.如果求乘积的最值,那么就提出合适的系数,使两项之和为定值;如果求和的最值,那么就添加相同的常数,使两项之积是定值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.(3)验证:即验证等号成立时的自变量的值是否在所给范围内.
2.求解条件最值问题的两种方法(1)常数代换法求最值,其基本步骤为:①定“值”:即根据已知条件或其变形确定定值(常数);②变“1”:即把确定的定值(常数)变形为1;③“1”代:即把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④求最:即利用基本不等式求解最值.(2)消元法求最值消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
3.已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离常数,利用基本不等式求最值.若不能利用基本不等式,可考虑利用函数的单调性.a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,a
应用不等式的性质求代数式的取值范围
典例 设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
解题心得已知条件是多个字母相关联(如和、差、积、商等)的取值范围,求解与此类字母有关的代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,把要求取值范围的代数式用已知代数式整体表示,通过“一次性”不等关系的运算求得整体的取值范围.
不等式的性质贯穿于整个高中数学,是解不等式、研究不等式问题的根本.复习时要理清各条性质的应用条件,准确使用.以提升逻辑推理和数学运算素养.基本不等式是高考的重点,有时单独考查,有时与其他知识综合求最值.应用时要注意检验等号成立的条件,根据已知条件适当变形.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
1.两个实数比较大小的法则
注意:(1)基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同为正数;二定:a+b或ab为定值;三相等:当且仅当a=b时,不等式取得等号.(2)基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
5.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a
5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
例1 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( )A.M
M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.
对点训练1(1)若x∈R,y∈R,则( )A.x2+y2>2xy-1B.x2+y2=2xy-1C.x2+y2<2xy-1D.x2+y2≤2xy-1
因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故选A.
(2)已知a>0,b>0,试比较aabb与abba的大小.
例2 (1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )A.a2>a>-a2>-aB.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2D.-a>a2>-a2>a
由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1
对点训练2(1)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是( )
解题心得利用基本不等式证明不等式是证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
命题角度1 求不含等式条件的函数最值例4 (1)下列说法正确的是( )
命题角度2 求含有等式条件的代数式的最值
命题角度3 已知不等式恒成立求参数取值范围
解题心得1.利用基本不等式求解不含等式条件的函数最值的关注点:(1)依据:利用基本不等式求最值的依据是“积定和小”与“和定积大”.(2)定值:即和(或积)为定值,必要时需配凑、拆分出定值.如果求乘积的最值,那么就提出合适的系数,使两项之和为定值;如果求和的最值,那么就添加相同的常数,使两项之积是定值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.(3)验证:即验证等号成立时的自变量的值是否在所给范围内.
2.求解条件最值问题的两种方法(1)常数代换法求最值,其基本步骤为:①定“值”:即根据已知条件或其变形确定定值(常数);②变“1”:即把确定的定值(常数)变形为1;③“1”代:即把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④求最:即利用基本不等式求解最值.(2)消元法求最值消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
3.已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离常数,利用基本不等式求最值.若不能利用基本不等式,可考虑利用函数的单调性.a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,a
应用不等式的性质求代数式的取值范围
典例 设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
解题心得已知条件是多个字母相关联(如和、差、积、商等)的取值范围,求解与此类字母有关的代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,把要求取值范围的代数式用已知代数式整体表示,通过“一次性”不等关系的运算求得整体的取值范围.
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