高端精品高中数学一轮专题-直线与圆锥曲线的位置关系（讲）教案

直线与圆锥曲线的位置关系

核心素养立意下的命题导向

1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养；

2．了解圆锥曲线的简单应用，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．

3．通过学习直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象的核心素养．

[理清主干知识]

1．直线与圆锥曲线的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，

由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；

Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；

Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．

(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．

当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．

当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．

2．圆锥曲线的弦长公式

设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·.

考点一　直线与圆锥曲线的位置关系

[典例]　(1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)

A．有且只有一条　　　　　 B．有且只有两条

C．有且只有三条  D．有且只有四条

(2)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．(0，＋∞)

C．(0,1)∪(1,5)  D．[1,5)∪(5，＋∞)

[方法技巧]　直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

[针对训练]

1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)

A．至多一个  B．2

C．1  D．0

2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A．(1，)  B．(1，]

C．(，＋∞)  D．[，＋∞)

考点二　弦长问题

[典例]　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．

[方法技巧]

求解弦长的4种方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．

(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．

(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．　　

[针对训练]

1．已知斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2　　　　　　　　　 B.

C.  D．

2．设斜率为的直线过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|＝，则p＝(　　)

A.  B．1

C．2  D．4

3．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.

考点三　中点弦问题

[典例]　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.

[方法技巧]

1．“点差法”的4步骤

处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

2．“点差法”的常见结论

设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：

(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－；

(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝；

(3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝(y0为中点P的纵坐标)．　　

[针对训练]

1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)

A.　　　　　　　　　                    B.

C.  D．

2．在椭圆＋＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为______________．

3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点P，且左焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围．

创新思维角度——融会贯通学妙法

活用抛物线焦点弦的4个结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

结论1：x1·x2＝.

结论2：y1·y2＝－p2.

结论3：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．

结论4：＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．

应用(一)　利用结论3或4解决问题

[例1]　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)

A．4　　　　　　　　　　                B.

C．5  D．6

应用(二)　利用结论3解决问题

[例2]　设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.　　　      B.　　　    C.　　　     D.

应用(三)　利用结论1或4解决问题

[例3]　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)

A．5  B．6

C.  D．