高中2.2.1 圆的方程教案

第二节 圆的方程（2）

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学习要求

1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；

2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；

3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

【课堂互动】

自学评价

1．以为圆心，为半径的圆的标准方程：　．

2.将展开得：

　．

3.形如的都表

示圆吗？不是　．

（１）当时，方程表

示以为圆心，

为半径的圆；

（2）当时，方程表示一个点；

（3）当时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；

４．圆的一般方程：

．

注意：对于圆的一般方程

（１）和的系数相等，且都不为（通常都化为）；

（２）没有这样的二次项；

（３）表示圆的前提条件：

，通常情况下先配方配成，通过观察与的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件．

【精典范例】

例１：求过三点的圆的方程．

分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．

【解】：法一：设圆的方程为

，

∵三点都在圆上，

∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，

得：，

解得：，

所以，所求圆的方程为：

．

法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．

点评:通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解．

例2：已知线段的端点的坐标是

，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？

分析：线段的端点静止，在圆

上运动，因此我们可以设出的坐标，从而得到中点的坐标．

【解】设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（＊）

于是，有

因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，

即：（＊＊），

将（＊）式代入（＊＊），得：

，

整理得

所以满足的关系为：，

其表示的曲线是以为圆心，１为半径的圆．

点评: 该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．本题的方法为求轨迹方程的一种基本方法，注意方法的归纳总结．

例3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度是米，拱高是米，在建造时，每隔米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到米）．

分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．

【解】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐标系，那么点的坐标分别为

；

设圆拱所在的圆的方程为

，

∵点在所求的圆上，则坐标代入得：

，解之得，

∴圆拱所在的圆的方程为：

；

将点的横坐标代入圆方程，解得（舍去负值）．

答：支柱的长约为米．

点评:本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何问题．

追踪训练一

1.下列方程各表示什么图形？

（１）；

（２）；

（３）．

【解】（１）圆心为，半径为２的圆；

（２）一个点；

（３）一个圆心为，半径为的一个半圆（）（图略）．

２．圆的圆心为：，半径为．

３. 求过三点的圆的方程．

【解】设圆的方程为

，

∵，，三点都在圆上，

∴，，三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，

得：，

解得：，所以，所求圆的方程为：．

４.求圆关于直线对称的图形的方程．

【解】可化为

，圆心关于直线的对称点为，所以对称的图形的方程为：．

思维点拔：

在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想．