高端精品高中数学二轮核心专题-导数不等式放缩（带答案）教案

导数不等式放缩

1．已知函数．

（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

【解析】（本题满分14分）

解：（Ⅰ），是函数的极值点，即，所以．（2分）

于是函数，，

由，可得，

因此，当时，；当时，，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增．  （6分）

（Ⅱ）当时，对于任意，恒成立，又，恒成立，

，即，

．

即．

2．已知函数．

（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

【解析】解：（Ⅰ），

，，

是函数的极值点，

（1），解得．

，定义域为，

，，

是的唯一零点，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

（Ⅱ）证明：当，时，，

又，．

取函数，，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）．

，

而上式三个不等号不能同时成立，故．

3．已知函数．

（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

【解析】（Ⅰ）解：，

，

由是函数的极值点得（1），

即，．　　　（2分）

于是，，

由知在上单调递增，且（1），

是的唯一零点．（4分）

因此，当时，，递减；

时，，递增，

函数在上单调递减，在上单调递增．（6分）

（Ⅱ）证明：当，时，，

又，．　（8分）

取函数，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）．　（12分）

，

而上式三个不等号不能同时成立，故．（14分）

4．设，函数

（1）求的单调区间；

（2）证明：在上仅有一个零点；

（3）若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行是坐标原点），证明：．

【解析】解：（1），

，

在上为增函数．

（2）证明：，，

，即，

，，

，，即，

且由（1）问知函数在上为增函数，

在上有且只有一个零点．

（3）证明：，

设点，则），

在点处的切线与轴平行，

，即：，

，

将代入得．

，

，

要证，即证，

需要证，

即证，

因此构造函数，

则，由得．

当时，，

当时，，

的最小值为，

，

，

，

即：，

．

5．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：．

【解析】（1）解：因为，

求导，，

①当时，恒成立，此时在上单调递增；

②当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增；

③当时，令，解得：．

因为当，、当，，

所以在上单调递增、在，上单调递减．

综上可知：当时在上单调递增，

当时，在上单调递增、在，上单调递减；

（2）证明：由（1）可知：当时在上单调递增、在，上单调递减，

所以当时函数取最大值．

从而要证，即证，

即证，即证．

令，则，问题转化为证明：．

令，则，

令可知，则当时，当时，

所以在上单调递增、在上单调递减，

即（2），即式成立，

所以当时，成立．

6．已知函数为自然对数的底数）．

（1）求函数的最小值；

（2）若，证明：．

【解析】解：（1），，令，得．

当时，，当时，．函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增．当时，有最小值1．

（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令，，2，，

则，．

即．，

．

，

．

7．已知函数为自然对数的底数）．

（1）求的最小值；

（2）设不等式的解集为，且，求实数的取值范围；

（3）设，证明：．

【解析】（Ⅰ）解：的导数．

令，解得；令，解得．

从而在内单调递减，在内单调递增．

所以，当时，取得最小值1．

（Ⅱ）解：因为不等式的解集为，且，所以对于任意，，不等式恒成立．

由，得．

当时，上述不等式显然成立，故只需考虑，的情况．

将变形为，

令，则的导数，

令，解得；令，解得．

从而在内单调递减，在内单调递增．

当时，取得最小值，

实数的取值范围是．

（Ⅲ）证明：

由（Ⅰ）得，对于任意，都有，即．

令，则．，2，，

即，2，．．，．

8．已知函数，其中为实常数．

（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；

（2）证明：当时，；

（3）求证：．

【解析】解：（1）由题意

则

即在，上单调递增，

，

，；

（2）即证，，，

设，

在，上单调递减，

，

，，；

（3）利用，，，

令，得：

，

，

，

，

累加得：，

当时，；

9．已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：

【解析】解：（1）因为函数，其定义域为

所以

即

当时，增区间为；

当时，减区间为，增区间为，

（2）当时，函数增区间为，此时不满足在上恒成立；

当时，函数减区间为，增区间为，，

要使在上恒成立，

只需即可，

即，

令（a）

则（a），

解得，因此（a）在单调递增，在上单调递减，

所以当时，（a）取最大值0，

故在上恒成立，

当且仅当时成立，即；

（3）由（2）知，令时，

令，则

综上成立．

10．已知函数，其中为不大于零的常数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：，为自然对数的底数）．

【解析】解：（1），（1分）

①当时，，即，，即，

在单调递增，在单调递减；（3分）

②当，即时，对恒成立，

在上单调递减；（5分）

③当时，，

或，

上单调递增，

在和上单调递减；（7分）

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

在和上单调递减．

当时，在单调递增，在上单调递减；（8分）

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，

当时，由得：，（10分）

，

（14分）

11．已知函数，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：；

（3）求证：对任意的且，都有：．

（其中为自然对数的底数）．

【解析】解：（1）函数 的定义域为，，

①当时，，所以在上单调递增，

②当时，令，解得．

当时，，所以，所以在上单调递减；

当时，，所以，所以在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，，要证明，

即证，即．即．

设则，令得，．

当时，，当时，．所以为极大值点，也为最大值点

所以（1），即．故．

（3）证明：由（2），（当且仅当时等号成立）令，则，

所以

，

即，所以