高端精品高中数学二轮专题-对数函数（带答案）教案

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1．对数
2．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象与性质
题型一. 指、对运算
1．已知函数f（x）=lg2x，0＜x≤1f(x−1)，x＞1，则f（20192）＝ ﹣1
【解答】解：函数f（x）=lg2x，0＜x≤1f(x−1)，x＞1，
则f（20192）＝f（20172）＝f（20152）＝…＝f（12）＝lg212=−1．
故答案为：﹣1．
2．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（2+lg123）＝ 643 ．
【解答】解：∵函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；
当x＜4时f（x）＝f（x+1），
又∵2+lg123∈（0，1），
∴f（2+lg123）＝f[4+（2+lg123）]＝f（2+lg123）＝f（lg2643）=2lg2643=643，
故答案为：643
3．已知a＞b＞1，若lgab+lgba=52，ab=ba，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝5，b＝2B．a＝4，b＝2C．a＝8，b＝4D．a=2，b=2
【解答】解：由lgab+lgba=52，得lgba=2⇒b2=a，
从而b2b＝ba⇒a＝2b，则b＝2，a＝4．
故选：B．
4．设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则（ ）
A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜abD．ab＜0＜a+b
【解答】解：∵a＝−lg5，b＝lg20.3=lg0.3lg2，
∴a+b=lg0.3lg2−lg0.3lg5=lg0.3(lg5−lg2)lg2lg5=lg0.3lg52lg2lg5，
ab=−lg0.3lg2⋅lg0.3lg5=lg0.3⋅lg103lg2lg5，
∵lg103＞lg52，lg0.3lg2lg5＜0，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
题型二. 比较大小
1．设a＝lg32，b＝ln2，c=512，则a、b、c三个数的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【解答】解：∵0＜ln2＜lne＝1，ln3＞1，
∴lg32=ln2ln3＜ln2，
∴a＜b＜1，
∵c=512＞50＝1，
∴c＞b＞a，
故选：D．
2．已知a＝lg36，b＝lg510，c＝lg714，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜aB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【解答】解：a＝lg36＝1+lg32，b＝lg510＝1+lg52，c＝lg714＝1+lg72，
而lg32＞lg52＞lg72，
∴c＜b＜a．
故选：B．
3．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bcB．abc＜bac
C．algbc＜blgacD．lgac＜lgbc
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）＝xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；
函数f（x）＝xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B错误；
lgac＜0，且lgbc＜0，lgab＜1，即lgcblgca=lgaclgbc＜1，即lgac＞lgbc．故D错误；
0＜﹣lgac＜﹣lgbc，故﹣blgac＜﹣algbc，即blgac＞algbc，即algbc＜blgac，故C正确；
故选：C．
4．已知55＜84，134＜85．设a＝lg53，b＝lg85，c＝lg138，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【解答】解：由34lg55=34lg88，
∵lg5534＞lg53，而lg8834＜lg85
∴lg53＜lg85，
即a＜b；
∵55＜84，∴5＜4lg58，∴lg58＞1.25，∴b＝lg85＜0.8；
∵134＜85，∴4＜5lg138，∴c＝lg138＞0.8，∴c＞b，
综上，c＞b＞a．
故选：A．
5．若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞a＞c
【解答】解：令f(x)=lnxx，f'(x)=1−lnxx2，
∴x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（e，+∞）上单调递减，
又a=ln22=ln44=f（4），b=ln33=f(3)，c=ln55=f(5)，
∴f（3）＞f（4）＞f（5），
∴b＞a＞c．
故选：D．
6．设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z
【解答】解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．
∴3y=lgklg33，2x=lgklg2，5z=lgklg55．
∵33=69＞68=2，2=1032＞1025=55．
∴lg33＞lg2＞lg55＞0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．
∴2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8＞1，可得2x＞3y，
5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52＞1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．
故选：D．
题型三. 对数函数的图像与性质
1．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是（98，+∞） ．
【解答】解：根据条件可知ax2+3x+2＞0恒成立，
则a＞0，且△＝9﹣8a＜0，解得a＞98，
故a的取值范围是（98，+∞）．
故答案为：（98，+∞）．
2．已知函数f（x）＝lgm（2﹣x）+1（m＞0，且m≠1）的图象恒过点P，且点P在直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，那么ab的（ ）
A．最大值为14B．最小值为14C．最大值为12D．最小值为12
【解答】解：当2﹣x＝1，即x＝1时，y＝f（1）＝lgm（2﹣1）+1＝1，
∴函数f（x）的图象恒过点P（1，1）；
又点P在直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，
∴a+b＝1，
∴ab≤(a+b2)2=14，
当且仅当a＝b=12时，“＝”成立．
故选：A．
3．函数y＝|lg（x+1）|的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），
故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），
考察四个选项中的图象只有A选项符合题意
故选：A．
4．已知函数f（x）＝lga（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（ ）
A．0＜a﹣1＜b＜1B．0＜b＜a﹣1＜1
C．0＜b﹣1＜a＜1D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1
【解答】解：∵函数f（x）＝lga（2x+b﹣1）是增函数，
令t＝2x+b﹣1，必有t＝2x+b﹣1＞0，
t＝2x+b﹣1为增函数．
∴a＞1，∴0＜1a＜1，
∵当x＝0时，f（0）＝lgab＜0，
∴0＜b＜1．
又∵f（0）＝lgab＞﹣1＝lga1a，
∴b＞1a，
∴0＜a﹣1＜b＜1．
故选：A．
5．已知函数f（x）＝lgex−e−x2，则f（x）是（ ）
A．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lgex−e−x2，有ex−e−x2＞0，即ex﹣e﹣x＞0，解可得x＞0，
即函数的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，是非奇非偶函数，
设t=ex−e−x2，其导数t′=ex+e−x2＞0，则t=ex−e−x2在区间（0，+∞）上为增函数，
则y＝lgt，在（0，+∞）上为增函数，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故选：A．
题型四. 复合函数的单调性与值域
1．已知函数y＝lga（1﹣ax）在（1，2）上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．（1，2）B．[1，2]C．(0，12)D．(0，12]
【解答】解：∵a＞0且a≠1，
∴内层函数t＝1﹣ax为减函数，
要使函数y＝lga（1﹣ax）在（1，2）上是增函数，
则0＜a＜11−2a≥0，解得0＜a≤12．
∴a的取值范围是（0，12]．
故选：D．
2．若函数y＝lga（x2﹣ax+2）在区间（﹣∞，1]上为减函数，则a的取值范围是 [2，3） ．
【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+2（a＞0，且a≠1），
①当a＞1时，g（x）在（﹣∞，1]上为减函数，
∴a2≥112−a+2＞0∴2≤a＜3；
②当0＜a＜1时，g（x）在（﹣∞，1]上为减函数，此时不成立．
综上所述：2≤a＜3．
故答案为：[2，3）．
3．已知函数f（x）＝lg4（ax2﹣4x+a）（a∈R），若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．（2，+∞）C．（0，2]D．（﹣2，2）
【解答】解：函数f（x）＝lg4（ax2﹣4x+a）（a∈R），
f（x）的值域为R，
只需保证函数y＝ax2﹣4x+a的值域能取到大于等于0的数．
当a＝0时，函数y值域能取到大于等于0的数，
当a≠0时，要使函数y值域能取到大于等于0的数，
则需满足a＞04ac−b24a≤0，解得：0＜a≤2．
综上所得：实数a的取值范围是[0，2]．
故选：A．
4．设a＞0，a≠1，函数f（x）＝lga（x2﹣2x+3）有最小值，则不等式lga（x﹣1）＜0的解集（ ）
A．（﹣∞，2）B．（1，2）
C．（2，+∞）D．（1，2）∪（2，+∞）
【解答】解：当a＞0，a≠1时，函数f（x）＝lga（x2﹣2x+3）有最小值，
∴a＞1，
∵不等式lga（x﹣1）＜0，
∴0＜x﹣1＜1，
解得1＜x＜2．
∴不等式lga（x﹣1）＜0的解集为（1，2）．
故选：B．
5．已知函数f（x）＝ln（|x|+1）+x2+1，则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（ ）
A．(13，1)B．(−∞，13)∪(1，+∞)
C．（1，+∞）D．(−∞，13)
【解答】解：∵函数f（x）＝ln（|x|+1）+x2+1为定义域R上的偶函数，
且在x≥0时，函数单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
两边平方得x2＞（2x﹣1）2，
即3x2﹣4x+1＜0，
解得13＜x＜1；
∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（13，1）．
故选：A．
题型五.等高线
1．已知函数f（x）=|lgx|(0＜x≤10)−12x+6(x＞10)，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则﹣lga＝lgb=−12c+6∈（0，1），
ab＝1，0＜−12c+6＜1，则abc＝c∈（10，12），
故选：C．
2．已知函数f(x)=−x2−2x，x≤0|lgx|，x＞0，若关于x的方程f（x）＝a有四个根x1，x2，x3，x4，则这四个根之和x1+x2+x3+x4的取值范围是 (0，8110) ．
【解答】解：作函数f(x)=−x2−2x，x≤0|lgx|，x＞0的图象如下，，
结合图象可知，
当0＜a＜1时，方程有四个不同的解，
如图中的四个交点，
故x1+x2＝﹣2，x3x4＝1且1＜x4＜10；
故2＜x3+x4＜10+110，
故0＜x1+x2+x3+x4＜8+110，
即x1+x2+x3+x4的取值范围是(0，8110)，
故答案为：(0，8110)．
题型六.反函数
1．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝lgax，若f（x）的反函数图象经过点（1，2），则a＝ 2 ．
【解答】解：∵常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝lgax，f（x）的反函数的图象经过点（1，2），
∴函数f（x）＝lgax的图象经过点（2，1），
∴lga2＝1，
解得a＝2．
故答案为：2．
2．设f(x)=lg2(1x+a+1)是奇函数，若函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝x对称，则g（x）的值域为（ ）
A．(−∞，−12)∪(12，+∞)B．(−12，12)
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）
【解答】解：因为f(x)=lg2(1x+a+1)，
所以f（x）的定义域为{x|x＜﹣a﹣1或x＞﹣a}，
因为f（x）是奇函数，
所以﹣a﹣1＝a，解得a=−12，
因为函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝x对称，
所以g（x）与f（x）互为反函数，
故g（x）的值域为(−∞，−12)∪(12，+∞)．
故选：A．
3．若x1满足2x＝5﹣x，x2满足x+lg2x＝5，则x1+x2等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由题意 x1+2x1＝5①，x2+lg2x2＝5 ②，所以 5﹣x1＝2x1，故有 5﹣x2＝lg2x2．
故 x1和 x2是直线y＝5﹣x和曲线y＝2x、曲线y＝lg2x交点的横坐标．
再根据函数y＝2x 和函数y＝lg2x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，
故曲线y＝2x 和曲线y＝lg2x的图象交点关于直线y＝x对称．
即点（ x1，5﹣x1）和点（ x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y＝x上，
即x1+x22=5−x1+5−x22，求得x1+x2＝5，
故选：D．
课后作业.基本初等函数
1．已知x＝lnπ，y=lg12π，z＝e﹣2，则（ ）
A．x＜y＜zB．y＜x＜zC．y＜z＜xD．z＜y＜x
【解答】解：∵x＝lnπ＞1，y=lg12π＜0，0＜z＝e﹣2＜e0＝1，
∴y＜z＜x．
故选：C．
2．若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝lga（|x|﹣1）的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，
故0＜a＜1．函数y＝lga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}，
函数y＝lga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝lgax的图象向右平移1个单位得到的，
故选：D．
3．若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=(1−4m)x在[0，+∞）上是增函数，则a＝（ ）
A．14B．13C．12D．32
【解答】解：①若a＞1，则函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上单调递增，
则由f（2）＝4，得a2＝4，解得a＝2．此时最小值m＝f（﹣1）=2−1=12．
②若0＜a＜1，则函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上单调递减，
则由f（﹣1）＝4，得a﹣1＝4，解得a=14．此时最小值m＝f（2）＝（14）2=116．
∴m=12或116．
∵函数g(x)=(1−4m)x在[0，+∞）上是增函数，
∴1﹣4m＞0，解得m＜14．
综上：m=116，此时a=14．
故选：A．
4．已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（lg0.53），b＝f（lg25），c＝f（2+m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）＝f（﹣x）在R上恒成立，∴m＝0，
∴当x≥0时，易得f（x）＝2|x|﹣1为增函数，
∴a＝f（lg0.53）＝f（lg23）
∵lg23＜2＜lg25，∴a＜c＜b，
故选：B．
5．已知函数f（x）＝|lgx|，若0＜a＜b且f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围为 （3，+∞） ．
【解答】解：画出y＝|lgx|的图象如图：
∵0＜a＜b，且f（a）＝f（b），
∴|lga|＝|lgb|且0＜a＜1，b＞1
∴﹣lga＝lgb
即ab＝1
∴y＝a+2b＝a+2a，a∈（0，1）
∵y＝a+2a在（0，1）上为减函数，
∴y＞1+2＝3
∴a+2b的取值范围是（3，+∞）
故答案为：（3，+∞）
6．已知函数f（x）＝lga（x+1），g（x）＝lga（1﹣x）（a＞0，a≠1），则（ ）
A．函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1）
B．函数f（x）+g（x）的图象关于y轴对称
C．函数f（x）+g（x）在定义域上有最小值0
D．函数f（x）﹣g（x）在区间（0，1）上是减函数
【解答】解：f（x）+g（x）＝lga（x+1）+lga（1﹣x）
所以x+1＞01−x＞0，解得﹣1＜x＜1，
函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1），故A正确，
f（﹣x）+g（﹣x）＝lga（﹣x+1）+lga（1+x），
所以f（x）+g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x），
所以函数f（x）+g（x） 是偶函数，图象关于y轴对称，故B正确，
f（x）+g（x）＝lga（x+1）+lga（1﹣x）＝lga（x+1）（1﹣x）＝lga（﹣x2+1）
令t＝﹣x2+1，则y＝lgat，
在x∈（﹣1，0）上，t＝﹣x2+1单调递增，
在x∈（0，1）上，t＝﹣x2+1单调递减，
当a＞1时，y＝lgat单调递增，
所以在x∈（﹣1，0）上，f（x）+g（x）单调递增，
在x∈（0，1）上，f（x）+g（x）单调递减，
所以函数f（x）+g（x）没有最小值，
当0＜a＜1时，y＝lgat单调递减，
所以在x∈（﹣1，0）上，f（x）+g（x）单调递减，
在x∈（0，1）上，f（x）+g（x）单调递增，
所以函数f（x）+g（x）有最小值为f（0）+g（0）＝0，故C错．
f（x）﹣g（x）＝lga（x+1）﹣lga（1﹣x）＝lgax+11−x=lga（﹣1+21−x）
令t＝﹣1+21−x，y＝lgat
在x∈（﹣1，1）上，t＝﹣1+21−x单调递增，
当a＞1时，f（x）+g（x）在（﹣1，1）单调递增，
当0＜a＜1时，f（x）+g（x）在（﹣1，1）单调递减，故D错．
故选：AB．
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a>0，且a≠1)
lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N(a>0，且a≠1)
运算法则
lga(M·N)＝lgaM＋lgaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN
lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
底数
a>1
0图
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有lga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数