2022届高三物理一轮复习 微专题08 平抛运动（全国通用）

这是一份2022届高三物理一轮复习 微专题08 平抛运动（全国通用），共14页。

微专题08 平抛运动
解决目标及考点：
1. 基本平抛规律
2. 有约束的平抛
3. 临界问题

【例题1】(多选)(2017·江西南昌3月模拟)如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD—A1B1C1D1，从顶点A沿不同方向平抛一小球(可视为质点).关于小球的运动，下列说法正确的是（　　）
A.落点在A1B1C1D1内的小球，落在C1点时平抛的初速度最大
B.落点在B1D1上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1∶
C.运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同
D.运动轨迹与A1C相交的小球，在交点处的速度方向都相同
【答案】　ABC
【解析】　依据平抛运动规律有h＝gt2，得飞行时间t＝，水平位移x＝v0，落点在A1B1C1D1内的小球，h相同，而水平位移xAC1最大，则落在C1点时平抛的初速度最大，A项正确.落点在B1D1上的小球，由几何关系可知最大水平位移xmax＝L(L为正方体的棱长)，最小水平位移xmin＝L，据v0＝x，可知平抛运动初速度的最小值与最大值之比vmin∶vmax＝xmin∶xmax＝1∶，B项正确.凡运动轨迹与AC1相交的小球，位移偏转角β相同，设速度偏转角为θ，由平抛运动规律有tan θ＝2tan β，故θ相同，则运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同，C项正确，同理可知D项错误.

一、 平抛基本条件：具有水平初速度，且只受重力的作用。
二、 基本规律
1.位移关系 2.速度关系

3.分析方向：水平方向匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动
4.规律的应用
(1) 飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关.
(2) 水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关.
(3) 落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关.
(4) 速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示.

(5) 两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xB＝.
推导：
→xB＝
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.（记忆：速度角的正切值=位移角正切值的2倍，速度的比较大）

考点：基本规律
【例题2】如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点).球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动(足球可看成质点)，则（　　）
A.足球位移的大小x＝
B.足球初速度的大小v0＝
C.足球末速度的大小v＝
D.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝
【答案】　B
【解析】　足球位移大小为x＝＝，A错误；根据平抛运动规律有：h＝gt2，＝v0t，解得v0＝，B正确；根据动能定理mgh＝mv2－mv02可得v＝＝，C错误；足球初速度方向与球门线夹角的正切值tan θ＝＝，D错误.

【拓展】多个物体的平抛运动
1.若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动.
2.若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定.
3.若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动.
4.两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇.
【例题3】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇.若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（　　）

A.t　 B.t C. D.
【答案】　C
【解析】　设A、B两小球的抛出点间的水平距离为L，分别以水平速度v1、v2抛出，经过时间t的水平位移分别为x1、x2，根据平抛运动规律有x1＝v1t，x2＝v2t，又x1＋x2＝L，则t＝；若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，故选项C正确.
考点： 有约束条件的平抛（竖直平面、斜面、曲面）
【例题4】【竖直平面】(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)（　　）
A.初速度之比是∶∶
B.初速度之比是1∶∶
C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
【答案】　AC
【解析】　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动.又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误.

竖直平面的约束情况下，水平位移相等，竖直高度不等，所以突破口就在竖直的位移。可从位移出发首先得到时间的条件，有了时间的条件后就容易得到初速度、位移、运动相关的结论。
需要注意的是三个数的比值计算过程中容易犯错，需谨慎。
【例题5】【斜面】(多选)如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断(不计空气阻力)（　　）

A.A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B.A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
C.A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
D.A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
【答案】　BC
【解析】　由于沿斜面AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B项正确；同时tan α＝，所以三个小球的初速度大小之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相切，因此不会在空中相交，D项错误.
【例题6】(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是（　　）
A.若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B.若小球垂直击中斜面，则t＝
C.若小球能击中斜面中点，则t＝
D.无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
【答案】　AB
【解析】　小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，即t＝，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，即t＝，B正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcos θ＝v0t，下落高度为Lsin θ＝gt2，联立两式得t＝，C错误.

2.对着斜面平抛（垂直落到斜面上）
方法：分解速度.
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
1.顺着斜面平抛
方法：分解位移.
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝. 可求得t＝.
【例题7】【曲面】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力.则下列判断正确的是（　　）
A.只要v0足够大，小球可以击中B点
B.v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C.v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
【答案】　D
【解析】　小球做平抛运动，竖直方向有位移，v0再大也不可能击中B点，A错误；v0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角φ不同，由推论tan θ＝2tan φ可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B、C错误，D正确.

如图所示，由半径和几何关系制约时间t：
h＝gt2，
R±＝v0t.
联立两方程可求t.
考点：临界问题
【例题8】(2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　）
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
【答案】　D
【解析】　发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动.当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝ ①
＝v1t1 ②
联立①②两式，得v1＝
当速度v最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
＝v2t2 ③
3h＝gt22 ④
联立③④两式，得v2＝
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v＜，选项D正确.

1.如图，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a球抛出时的高度较b球高，P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力.与b球相比，a球（　　）
A.初速度较大
B.速度变化率较大
C.落地时速度一定较大
D.落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
2.在一堵竖直高墙前x远处的高台上水平抛出A、B两小球，若两球抛出的初速度vA>vB，A、B两球分别打到高墙a、b两点，则有(不计空气阻力)（　　）
A.a点在b点的上方
B.a点在b点的下方
C.A球打到a点的速率一定大于B球打到b点的速率
D.A球打到a点的速率一定小于B球打到b点的速率
3.(2018·福建福州调研)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是（　　）
A.小球初速度为tan θ
B.小球着地速度大小为
C.若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D.若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ
4.(2017·广东佛山二模)2016年起，我国空军出动“战神”轰-6K等战机赴南海战斗巡航.如图，某次战备投弹训练，飞机在水平方向做加速直线运动的过程中投下一颗模拟弹.飞机飞行高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　）
A.在飞行员看来模拟弹做平抛运动
B.模拟弹下落到海平面的时间为
C.在飞行员看来模拟弹做自由落体运动
D.若战斗机做加速向下的俯冲运动，此时飞行员一定处于失重状态
5.如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，空气阻力不计，取g＝10 m/s2.则v的取值范围是（　　）
A.v＞7 m/s
B.v＜2.3 m/s
C.3 m/s＜v＜7 m/s
D.2.3 m/s＜v＜3 m/s
6.如图所示，小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处自由下落，下落至P点的时间为t1，若小球从同一点Q处以速度v0水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时间为t2，不计空气阻力，则t1∶t2等于（　　）
A.1∶2
B.∶1
C.1∶
D.1∶
7.(2017·河南百校联盟4月模拟)如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为（　　）
A. m
B. m
C. m
D. m
8.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，空气阻力不计，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是（　　）
A. m/s B.2 m/s C. m/s D.2 m/s
9.如图所示，套圈游戏是一项很受儿童欢迎的活动，要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3 m、高为20 cm的竖直细杆，即为获胜.一身高1.4 m的儿童从距地面1 m高度水平抛出圆环，圆环半径为10 cm，要想套住细杆，他水平抛出的速度可能为(g取10 m/s2，空气阻力不计)（　　）

A.7.4 m/s B.9.6 m/s C.7.8 m/s D.8.2 m/s
10.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示，它们的竖直边长都是底边长的一半，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是（　　）

A.图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短
B.图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大
C.图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
D.无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
11.(2018·贵州兴义质检)某新式可调火炮，水平射出的炮弹可视为平抛运动.如图，目标是一个剖面为90°的扇形山崖OAB，半径为R(R为已知)，重力加速度为g.

(1)若以初速度v0(v0为已知)射出，恰好垂直打在圆弧的中点C，求炮弹到达C点所用的时间；
(2)若在同一高地P先后以不同速度射出两发炮弹，击中A点的炮弹运行的时间是击中B点的两倍，O、A、B、P在同一竖直平面内，求高地P离A的高度.
12.如，竖直平面内有一段圆弧MN，小球从圆心O处水平抛出.若初速度为va，将落在圆弧上的a点；若初速度为vb，将落在圆弧上的b点.已知Oa、Ob与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则（　　）

0
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
13.如所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面正上方有一小球以速度v0水平抛出，经过0.4 s，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中.空气阻力不计，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：

0
(1)小球水平抛出的速度v0的大小；
(2)小滑块的初速度v的大小.
14.如所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，正对网向上跳起将球水平击出.(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)

3
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度.

15.(2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响).速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网.其原因是（　　）
A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
16.(2017·全国卷Ⅱ·17)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)（　　）

A. B. C. D.
参考答案

1.【答案】　D
2.【答案】　A
【解析】　平抛运动的水平位移x＝vt，速度越大，时间越短，再由h＝gt2可得时间短的竖直位移小，高度高，所以a点在b点的上方，选项A正确，选项B错误；a的水平速度比b大，b的竖直速度比a大，无法比较合速度v＝的大小，选项C、D错误.
3.【答案】　B
4.【答案】　B
【解析】　模拟弹相对于海面做平抛运动，其水平方向做匀速直线运动，因飞机在水平方向做加速运动，所以在飞行员看来模拟弹做的既不是平抛运动，也不是自由落体运动，A、C项错误.模拟弹在竖直方向做自由落体运动，h＝gt2，得t＝，B项正确.“加速”是指其有一定的加速度，“向下”是指其竖直向下的分速度不为0，但其加速度未必有竖直向下的分量，则飞行员不一定处于失重状态，D项错误.
5.【答案】　C
6.【答案】　B
7.【答案】　D
【解析】　设斜面的高AB为h，落地点到C点的距离为x，则由几何关系及平抛运动规律有＝，解得x＝ m，选项D正确.
8.【答案】　A
【解析】　小球做平抛运动，根据平抛运动规律有x＝vt，y＝gt2，小球恰好经过台阶边缘时，根据几何关系有vt＝gt2，得v＝gt，如果落到第四台阶上，则有3×0.4 m
9.【答案】　C
【解析】　圆环做平抛运动，圆环距细杆上端的竖直距离为H＝0.8 m，又知圆环在竖直方向做自由落体运动，则有H＝gt2，解得t＝0.4 s，圆环后端与细杆的水平距离为3.2 m＝v1·t，得v1＝8 m/s，圆环前端与细杆的水平距离为3 m＝v2·t，得v2＝7.5 m/s，所以要想套住细杆，圆环水平抛出的速度范围为7.5 m/s 10.【答案】　D
【解析】　题图中三个小球均做平抛运动，可以看出a、b和c三个小球下落的高度关系为ha>hb>hc，由t＝，得ta>tb>tc，又Δv＝gt，则知Δva>Δvb>Δvc，A、B项错误.速度变化快慢由加速度决定，因为aa＝ab＝ac＝g，则知三个小球飞行过程中速度变化快慢相同，C项错误.由题给条件可确定小球落在左边斜面上的瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度为v0时，其落到斜面上的瞬时速度v与斜面垂直，将v沿水平方向和竖直方向分解，则vx＝v0，vy＝gt，且需满足＝＝tan θ(θ为右侧斜面倾角)，由几何关系可知tan θ＝，则v0＝gt，而竖直位移y＝gt2，水平位移x＝v0t＝gt2，可以看出x＝y，而由题图可知这一关系不可能存在，则假设不能成立，D项正确.
11.【答案】　(1)　(2)R
【解析】　(1)设炮弹的质量为m，炮弹做平抛运动，其恰好垂直打在圆弧的中点C时，如图，由几何关系可知，其水平分速度和竖直分速度相等，即vy＝vx＝v0
又vy＝gt 得t＝
(2)设高地P离A的高度为h，则有
h＝g(2t0)2 ； h－R＝gt02
解得h＝R
12.【答案】　D
【解析】　小球水平抛出，其做平抛运动，由平抛运动规律知，
若落到a点，则有
Rsin α＝vata ；Rcos α＝gta2 得va＝·sin α
若落到b点，则有Rsin β＝vbtb ；Rcos β＝gtb2
得vb＝·sin β
则＝，故D正确.
13.【答案】　(1)3 m/s　(2)5.35 m/s
【解析】　(1)设小球落入凹槽时竖直速度为vy，则
vy＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s
v0＝vytan 37°＝3 m/s.
(2)小球落入凹槽时的水平位移x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m
则小滑块的位移为s＝ m＝1.5 m
小滑块上滑时，由牛顿第二定律有mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma
解得a＝8 m/s2
根据公式s＝vt－at2
解得v＝5.35 m/s.
14.【解析】　(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝gt2，可得v＝x，代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限.

设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝h2＝2.5 m，代入速度公式v＝x，可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限.欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足3 m/s (2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示

设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2 m，代入速度公式v＝x可得v3＝3；同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，代入速度公式v＝x可得v3＝12.
联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界.

15.【答案】　C
【解析】　由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝gt2及vy2＝2gh可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故C正确.
16.【答案】　B
【解析】　小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得mv2＝2mgr＋mv12，
小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x＝v1t，
t＝2，联立解得，x＝2，
由数学知识可知，当r＝时，x最大，故选项B正确.