专题19：双曲线的定直线问题9页

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专题19：双曲线的定直线问题1．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．2．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.3．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.（1）求实数的值；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.4．设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
参考答案1．（1）；（2）存在，.【分析】（1）由离心率可得，，设直线的方程为，将直线与双曲线方程联立求出点，根据三角形的面积即可求解.（2）设，，设直线的方程为，则直线的方程为，直线的方程为，求出两直线的交点的横坐标，将直线与双曲线联立，利用韦达定理代入的横坐标表达式，化简即可求解.【解析】 （1）设双曲线的焦距为，因为离心率为2，所以，，联立，得：，所以点的坐标为，因为，所以的面积为，所以，双曲线的方程为.（2）设，，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，联立， 所以点的横坐标为，，联立，得：，，，所以，直线与直线的交点在直线上.【点评】 本题解题的关键是求出直线与直线的交点的横坐标，，考查了运算求解能力.2．（1）或；（2）证明见解析.【分析】（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程；（2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证.【解析】 设直线的方程为，设，，把直线与双曲线联立方程组，，可得，则，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直线的方程为或．（2）直线的方程为，直线的方程为，直线与的交点为，故，即，进而得到，又，故，解得故点在定直线上．【点评】 直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.3．（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【分析】（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到，进而证明点恒在定直线上.【解析】（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，故双曲线的方程为；（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，则，，，因此点的坐标为，故直线的斜率，直线的斜率为，因此直线与直线的斜率之积为，由于点在双曲线上，所以，所以，于是有（定值）；（3）证法一：设点且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，设，则，即，整理得，由①③，②④得，，将，，代入⑥得，⑦，将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，由，消去得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，则有，设点，由，得，整理得，将②③代入上式得，整理得，④因为点在直线上，所以，⑤联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.考点：1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理4．9【解析】由消去化简整理得设，，则①由消去化简整理得设，，则②因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．