专题一 导数与切线

专题一       导数与切线

例题1．已知函数.求曲线在点处的切线方程;

解：(1)由题意得，所以

又因为，所以切线方程为

整理得.

巩固1．函数.求曲线在点处的切线方程；

解：（1）因为的定义域为，

所以，

因此，即曲线在点处的切线斜率为.

又，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

例题2．设函数，求曲线过原点的切线方程；

解：（1）设切点坐标为，

所以.

所以切线方程为.

又因为切线过原点，所以

所以，所以

故所求切线方程为.

巩固2．已知函数.经过点（-1，-2）作函数图像的切线，求该切线的方程.

解：设切点为，则，，解得，故切线方程为，即.

例题3．已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)．

（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线平行于x轴，求a的值；

（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．

解：（1）f′(x)＝1－，

因为曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线平行于x轴，

所以f′（1）＝1－＝0，

解得a＝.

（2）当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.

设切点为(x0，y0)，

∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①

f′(x0)＝1－＝k，②

①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.

若k＝1，则②式无解，

∴x0＝－1，k＝1－e.

∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.

巩固3．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

解：（1），

∴切线斜率，

∴曲线在处的切线方程为，

∴即；

（2）过点向曲线作切线，设切点为，

则，

∴切线方程，

即，

∴有三个不同实数根，

记，令或1，

则的变化情况如下表

当有极大值；有极小值.

因为过点可作曲线的三条切线，

则，即，

解得，

所以的范围是.

【素养提升】

1.已知函数,若直线过点,且与曲线相切,则直线的斜率为　　

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】函数的导数为,设切点为,则,

可得切线的斜率为,所以,解得,,故选B．

2.若对恒成立,则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】……①……②

联立①②,解得：,则

,

切线方程为：,即,故选

3.已知函数f(x)＝x3＋x－16.直线l为曲线y＝f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.

【分析】设切点为(x0,y0),整理出关于的方程,解方程求出切点(x0,y0),再用点斜式写出方程.

【解析】法一：设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)＝3＋1,∴直线l的方程为y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16,又∵直线l过点(0,0),∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16,整理得, ＝－8,∴x0＝－2,

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x,切点坐标为(－2,－26)．

法二：设直线l的方程为y＝kx,切点为(x0,y0),

则k＝＝,

又∵k＝f′(x0)＝3＋1,∴＝3＋1,

解之得x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x,切点坐标为(－2,－26)．

4.已知过点且与曲线相切的直线的条数有（    ）．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】设切点为,则,由于直线l经过点（2,1）,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,通过解方程确定切点个数．

【解析】若直线与曲线切于点,则,

又∵,∴,∴,解得,,

∴过点与曲线相切的直线方程为或,

故选C．

5.已知直线即是曲线的切线,又是曲线的切线,则直线在轴上的截距为

A．2 B．1 C． D．.

【答案】B

【分析】设出直线l与两曲线的切点,分别求出两曲线在切点处的切线方程,由斜率与截距相等列式求得切点的横坐标,代入切线方程,则答案可求．

【解析】设直线l与曲线C1：y＝ex的切点为（）,与曲线C2：ye2x2的切点为（）,由y＝ex,得,由ye2x2,得,

∴直线l的方程为,或,

则,解得x1＝x2＝2．

∴直线l的方程为：y﹣e2＝e2（x﹣2）,取y＝0,可得x＝1．

∴直线l在x轴上的截距为1．故选B．

6．若点P是函数y=图象上任意一点,直线l为点P处的切线,则直线l斜率的范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵

．∵1＜sin2x≤1,∴0＜1+sin2x≤2,

∴,则．∴直线l斜率的范围是[1,+∞）．

故选C．

7．设曲线,在曲线上一点处的切线记为,则切线与曲线的公共点个数为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】   

方程为：,即

由得：

即：

,,,曲线C与l的公共点个数为：3个,故选C。

8．若函数与函数的图象存在公切线,则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设公切线与函数,分别切于点,,则过A，B的切线分别为：、,两切线重合,则有：代入得：,构造函数：,,.,,.,,,,∴,.欲合题意,只须.

9．已知函数,若函数的图象上存在点,使得在点处的切线与的图象也相切,则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的公共切点为,设切线与的图象相切与点,

由题意可得 ,解得

所以 ,令

则

令,解得 ,当 时,

当 时, ,函数在上单调递增

当 时, ,函数在上单调递减

当t从右侧趋近于0时, 趋近于0,

当t趋近于 时, 趋近于0

所以 ,故选B

10．若是函数的极值点,则函数在点处的切线方程是______．

【答案】

【解析】由题得.

所以.

所以切点为（1,-e）,

所以切线方程为.

故答案为：

11．若函数与函数,在公共点处有共同的切线,则实数的值为______．

【答案】

【解析】函数的定义域为,,,

设曲线与曲线公共点为,

由于在公共点处有共同的切线,∴,解得,．

由,可得．

联立,解得．

故答案为．

12．已知函数．

（1）当时,求函数在区间上的最小值；

（2）当时,求证：过点恰有2条直线与曲线相切．

【解析】（1）当a＝3时,f（x）＝x3﹣3x2,f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．

当x∈[0,2]时,f'（x）≤0,

所以f（x）在区间[0,2]上单调递减．

所以f（x）在区间[0,2]上的最小值为f（2）＝﹣4．

（2）设过点P（1,f（1））的曲线y＝f（x）的切线切点为（x0,y0）,f'（x）＝3x2﹣2ax,f（1）＝1﹣a,

所以

所以．

令g（x）＝2x3﹣（a+3）x2+2ax+1﹣a,

则g'（x）＝6x2﹣2（a+3）x+2a＝（x﹣1）（6x﹣2a）,

令g'（x）＝0得x＝1或,

因为a＞3,所以．

∴g（x）的极大值为g（1）＝0,g（x）的极小值为,

所以g（x）在上有且只有一个零点x＝1．

因为g（a）＝2a3﹣（a+3）a2+2a2+1﹣a＝（a﹣1）2（a+1）＞0,

所以g（x）在上有且只有一个零点．

所以g（x）在R上有且只有两个零点．

即方程有且只有两个不相等实根,

所以过点P（1,f（1））恰有2条直线与曲线y＝f（x）相切．