高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板22 随机变量及其分布专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板22 随机变量及其分布专项练习 （解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模板22随机变量及其分布专项练习一、单选题1．（2021·正阳县高级中学（理））近日，郑州一位96岁奶奶坚持深夜摆摊的视频广为转发，奶奶通透豁达的人生观和对生活独到而深刻的理解令人肃然起敬，我们年轻人正是发愤图强的时候，更要不断努力进取.奶奶的事迹激发了某校同学的阅读兴趣，该校甲､乙两位同学决定利用3天假期到图书馆阅读图书，若甲､乙两位学生每天去图书馆的概率分别为，，且甲､乙两位同学每天是否去图书馆相互独立，那么在这3天假期中，恰有2天甲､乙两位同学都去了图书馆的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，甲､乙两位同学在某一天都去图书馆的概率为，两人某一天没有都去图书馆的概率.则在这3天假期中，恰有2天甲､乙两位同学都去了图书馆的概率为.故选:D.2．（2021·浙江高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：12Pnm则的最大值（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解:有题得，即，所以，故，因为，故，所以由二次函数性质得，当，的最大值.故选：C3．（2021·浙江高三二模）已知正整数，，随机变量的分布列是则当在内增大时，（    ）A． B．C． D．E（X）与没有确定的大小关系【答案】A【详解】由条件可知，，，，，即.故选：A4．（2021·浙江高三其他模拟）设，随机变量的分布列如下：当增大时，有（    ）A．增大，先减小后增大 B．减小，减小C．增大，先增大后减小 D．减小，增大【答案】C【详解】，所以单调递增．随机变量的分布列如下：所以，则．因为，所以先增大后减小，故选：C．5．（2021·浙江高三开学考试）设随机变量，若二项式，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】二项式展开式的通项公式为，又，∴，，即 ，解得：，此时，，经检验可得，， ∴，，故选：C6．（2021·宁波市北仑中学高三开学考试）已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是，且各局的胜负相互独立，已知 甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额的方差（    ）A．120 B．240 C．360 D．480【答案】A【详解】设甲获胜的局数为，则所以故选：A7．（2021·甘肃白银市·高三开学考试（理））从区间和内分别选取一个实数，，得到一个实数对，称为完成一次试验．若独立重复做次试验，则的次数的数学期望为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】从区间和内分别选取一个实数，，则表示的可行域为矩形区域（不含边界），如图所示，表示的可行域为图中的阴影部分（不含边界）．因为的面积为，矩形的面积为，所以由几何概型可知，每次试验发生的概率．依题意可得，则，故选：D.8．（2021·榆林市第十中学高三月考（理））产品质量检验按过程，主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设：第次通过，：第次通过.由题意知，即，解得或（舍去）.故选：B二、多选题9．（2021·湖北高三其他模拟）设随机变量的分布列如下：12345678910则下列正确的是（    ）A．当为等差数列时，B．数列的通项公式可以为C．当数列满足时，D．当数列满足时，【答案】ACD【详解】解析：由题目可知；对于选项A，若为等差数列，则，所以，因此选项A正确；对于选项B，，，因此选项B不正确；对于选项C，由，则，所以，因此选项C正确；对于选项D，方法一：，则，所以满足题意当时，，则，所以满足题意当时，则当时，，因此选项D正确方法二：令，则即，，于是有，解得，于是有因此选项D正确故选：ACD10．（2021·全国高三专题练习）设随机变量表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，则（     ）A．当时，B．当时，C．当（且）时，D．当时，的数学期望为【答案】BCD【详解】对A，当时，，，则，故A错误；对B，当时，，则由可得或，，故B正确；对C，当（且）时，，，则，故C正确；对D，当时，的可能取值为1，2，则，，故的数学期望为,故D正确.故选：BCD.11．（2021·麻城市实验高级中学高三月考）下列命题中，下列说法正确的是（    ）A．已知随机变量服从二项分布，若，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C．设随机变量服从正态分布，若，则D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大【答案】BCD【详解】选项：，两式相除得，故，故错误；选项：由知，当时，故正确；选项：由可知，且所以，故正确；选项：，令，解得，又，故，故时概率最大，故正确.故选：.12．（2021·山东济宁市·济宁一中高三开学考试）某学校举行防溺水知识竞赛，共设置了5道题，每道题答对得20分，答错扣10分（每道题都必须回答，但互不影响）．设某选手每道题答对的概率均为，设总得分为，则（    ）A．该选手恰好答对2道题的概率为 B．C． D．【答案】BD【详解】设答对的题目数为，则，得分.对于A：该选手恰好答对2道题的概率为，故A错误；对于B：，则，故B正确；对于C：，则，故C错误；对于D：，故D正确.故选：BD.三、填空题13．（2021·浙江）已知箱子中装有10 不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球.现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量为取出3个球中红球的个数，则的方差_______.【答案】【详解】由题可得，的所有可能取值分别为，；；；.所以，所以.故答案为：.14．（2021·全国高三其他模拟（理））甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取局胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为．现甲，乙进行局比赛，设甲胜的局数为则________________．【答案】.【详解】由题意知： ，所以，所以每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，由题意知：随机变量，所以.故答案为：.15．（2021·浙江）甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为，设为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是，则______．【答案】【详解】每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利，每局游戏胜利包括三种情况：甲投中次，乙投中次，概率为，甲投中次，乙投中次，概率为，甲投中次，乙投中次，概率为，所以每局游戏甲乙两名队员获得胜利的概率为，若游戏的局数是，为甲乙两名队员获得胜利的局数，则，所以，故答案为：.16．（2021·河南高三月考（理））某专业资格考试包含甲、乙、丙个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率相等，且个科目是否合格相互独立．设小张科中合格的科目数为，若，则______．【答案】【详解】乙、丙科目合格的概率相等，可设乙、丙科目合格的概率均为，则，解得，故，，，故分布列为：期望，故答案为：.四、解答题17．（2021·常州市西夏墅中学）某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得-10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得-10分.规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功.若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列､期望和闯关成功的概率.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：，成功的概率：．（2）由题意可得所有可能取值为，然后依次求出各个的概率，列出分布列即可，从而可求出数学期望．【详解】解：（1）设事件为参赛者甲回答正确第个问题，所以；（2）由题意，所有可能取值为所以的分布列为：-20-100102030由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为．18．（2021·内蒙古包头市·高三开学考试（理））一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）0.37；（2）分布列见解析；期望为．【详解】解：（1）用A，B，C分别表示事件：“设备在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整”，则，，用D表示事件：“设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整”则所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37（2）X的所有可能取值为0，1，2，3所以X的分布列为X0123P0.3780.4560.1540.012故X的数学期望为19．（2021·山西运城市·高三开学考试（理））为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，个球除所标面值外完全相同．（1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个所标的面值均为元．求①顾客所获的奖励额为元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列与均值．（2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【答案】（1）①；②分布列见解析，；（2）应该选择方案2，理由见解析.【详解】（1）设顾客所获的奖励额为．①依题意，得，即顾客所获的奖励额为元的概率为②依题意，得随机变量的所有可能取值为，．，．即随机变量的分布列为所以顾客所获的奖励额的均值为．（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元．所以先寻找均值为元的可能方案．对于由标有面值为元和元组成的情况，如果选择的方案，因为元是面值之和的最大值，所以均值不可能为元；如果选择的方案，因为元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为元，因此可能的方案是，记为方案1；对于由标有面值为元和元组成的情况，同理可排除和的方案，所以可能的方案是，记为方案2．对于方案1，即方案，设顾客所获的奖励额为，则随机变量的分布列为：，；对于方案2，即方案，设顾客所获的奖励额为，则随机变量的分布列为：，；因为两种方案所获的奖励额都符合要求，但方案2所获的奖励额的方差比方案1的小，即方案2使每位顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2．20．（2021·济南市·山东师范大学附中高三开学考试）一个盒子内装有张卡片，每张卡片上面写着个数字，这个数字各不相同，且奇数有个，偶数有个．每张卡片被取出的概率相等．（1）如果从盒子中一次随机取出张卡片，并且将取出的张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数，则停止取出卡片，否则继续取出卡片设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【详解】（1）记事件取出的张卡片上的数字相加得到的新数为奇数，则所选的两个数中，一个是奇数，一个是偶数，所以，；（2）由题意可知，随机变量可取的值为、、、，则，，，.的分布列为：.21．（2021·全国高三月考）某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示： 男性女性以月薪作为主要考虑因素以发展前景作为主要考虑因素（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节､各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”；（2）分布列答案见解析，数学期望：（分）.【详解】解：（1）补充列联表如下表： 男性女性总计以月薪作为主要考虑因素以发展前景作为主要考虑因素总计，有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”.（2）的所有可能的取值为.’的分布列为（分）22．（2021·山东济宁市·济宁一中高三开学考试）为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活十分关注，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应是否与性别有关，构建了如下2×2列联表： 不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生   女生   合计   （1）请将2×2列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析“适应寄宿生活与否”是否与性别有关；（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0256.63510.828【答案】（1）列联表见解析，“适应寄宿生活与否”与性别有关联；（2）分布列见解析，数学期望为.【详解】解：（1） 不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生83240女生322860合计4060100零假设为：“适应寄宿生活与否”与性别无关根据列联表中的数据，经计算得到：依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．（2）抽取的10人中，有2人不适应寄宿生活，有8人适应寄宿生活随机变量的取值可以说0，1，2，，012