江苏省连云港市灌南县2021-2022学年八年级上学其期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份江苏省连云港市灌南县2021-2022学年八年级上学其期中数学试卷（word版 含答案），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省连云港市灌南县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）

A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC
3．已知等腰三角形的一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（　　）
A．4.5 B．6 C．4.5或6 D．不能确定
4．如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（　　）

A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC三个内角平分线的交点
C．△ABC三条中线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
5．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
6．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（　　）尺．

A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
8．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．如图，△ABC≌△EDF，DF＝BC，AB＝ED，AF＝20，EC＝10，则AE的长是　 　．

10．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　 　．

11．如图，在△ABC中，若AB＝9，AC＝12，BC＝15，则BC边上的高AD的长为 　 　．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝6，AD＝4，则DE的长为　 　．

13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF．射线AF与直线PQ相交于点G，则∠AGQ的度数为　 　度．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为　 　．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　 　．

16．如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的是　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝6，AD＝4，求DE的长．

19．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的长度．

20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF＝DB．
（1）求证：DC＝DE；（本小题要求写出每一步的推理依据）
（2）求证：△CDF≌△EDB；
（3）求∠ADF的度数．

21．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC＝10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．

22．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图2中画出∠ABC的角平分线；
（3）在正方形网格中存在　 　个格点，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形．

23．如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．

24．在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，
（1）求证：∠B＝∠DEF；
（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．

25．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

26．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．
思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．
（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．
（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝　 　．




参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）

A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．
故选：B．
3．已知等腰三角形的一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（　　）
A．4.5 B．6 C．4.5或6 D．不能确定
【分析】分3是腰长与底边两种，根据等腰三角形两腰相等列式求解即可．
解：①3是腰长时，三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
②3是底边时，腰长为（12﹣3）＝4.5，三边分别为4.5、4.5、3，能组成三角形．
综上所述，腰长为4.5．
故选：A．
4．如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（　　）

A．△ABC三边的垂直平分线的交点
B．△ABC三个内角平分线的交点
C．△ABC三条中线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定P点的位置．
解：∵点P到点A，B，C的距离相等，
∴点P为AB、BC、AC的垂直平分线的交点．
故选：A．
5．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A，选项B；根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
解：A．∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a2：b2：c2＝1：2：3，
∴a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（　　）尺．

A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．

7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【分析】由AB＝AC，根据等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB＝70°，由角平分线的定义推出∠APB＝∠ACB＝35°，最后用三角形外角的性质即可得出结论．
解：如图，AP与BC相交于点O，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠CAB＝40°，
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，
∴∠APB＝∠ACB＝35°，
∵AB＝AC，AP是∠BAC的平分线，
∴AP⊥BC，OB＝OC，
∴CP＝BP，
∴∠APC＝∠APB＝35°，
∴∠BPC＝70°，
∵BP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBD＝∠CBD＝55°，
∴∠D＝∠BPC﹣∠PBD＝70°﹣55°＝15°．
故选：A．

8．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．
解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．如图，△ABC≌△EDF，DF＝BC，AB＝ED，AF＝20，EC＝10，则AE的长是　5　．

【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC＝EF，然后求出AE＝CF，代入数据计算即可得解．
解：∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF，
∴AC﹣CE＝EF﹣CE，
即AE＝CF，
∵AF＝20，EC＝10，
∴AE＝×（20﹣10）＝5．
故答案为：5．
10．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　55°　．

【分析】由图示知：∠DFC+∠AFD＝180°，则∠DFC＝35°．通过全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）的对应角相等推知∠BDE＝∠CFD．
解：如图，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，
∴∠CFD＝35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠CDF＝90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE＝∠CFD＝35°，
∴∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°，
∴∠EDF＝55°．
故答案是：55°．
11．如图，在△ABC中，若AB＝9，AC＝12，BC＝15，则BC边上的高AD的长为 　1.2　．

【分析】设BD＝x，则CD＝15﹣x，根据高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，根据勾股定理得出AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，求出x，再求出高AD即可．
解：设BD＝x，则CD＝15﹣x，
∵AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝9，AC＝12，BC＝15，BD＝x，
∴92﹣x2＝122﹣（15﹣x）2，
解得：x＝，
即BD＝，
∴AD＝＝＝1.2，
故答案为：1.2．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝6，AD＝4，则DE的长为　　．

【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵AE＝EB，
∴DE＝AB＝，
故答案为．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF．射线AF与直线PQ相交于点G，则∠AGQ的度数为　56　度．

【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
解：如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ+∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90°﹣∠BAG＝90°﹣34°＝56°，
故答案为：56．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为　4cm　．

【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，再根据三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，连接AN，AM，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝BM，根据轴对称性可得∠BAM＝30°，从而得到∠CAM＝90°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BM长，同理可得出CN的长，根据MN＝BC﹣CN﹣BM即可得出结论．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
连接AM，AN，
∵ME是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，
∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴CM＝2AM＝2BM，
∴3BM＝BC＝12cm，
∵BM＝4cm，
同理可得，CN＝4，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．
故答案为：4cm．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　　．

【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质可知AE是CD的垂直平分线，利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出DE的长，再利用勾股定理求BE即可．
解：连接DE，

∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝，
∴BD＝AB﹣AD＝2，
∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，
∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，
∴3×4＝3CE+5DE，
∴DE＝，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE＝＝＝，
故答案为：．
16．如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的是　①②③　．

【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°而得出结论；
③由条件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠ABD＝∠ACE就可以得出结论；
④△BDE为直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出结论．
解：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴BD⊥CE；故②正确；
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2．
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2（AD2+AB2）．故④错误．
故答案为：①②③．

三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．

【分析】由“ASA”可证△ABF≌△DCE，可AF＝DE．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝6，AD＝4，求DE的长．

【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵AE＝EB，
∴DE＝AB＝．
19．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的长度．

【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝13m，BF＝4m，
∴FC＝13﹣4﹣4＝5m．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF＝DB．
（1）求证：DC＝DE；（本小题要求写出每一步的推理依据）
（2）求证：△CDF≌△EDB；
（3）求∠ADF的度数．

【分析】（1）利用角平分线的性质定理证明即可；
（2）根据HL证明三角形全等即可；
（3）求出∠CDF＝50°，∠CAD＝20°，再利用三角形的外角的性质，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC（已知），
∴DC＝DE（角平分线上的点到角的两边距离相等）；

（2）在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．

（3）解：∵∠C＝90°，∠B＝50°，
∴∠CAB＝90°﹣50°＝40°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝20°，
∵△CDF≌△EDB，
∴∠CFD＝∠B＝50°，
∵∠CFD＝∠ADF+∠CAD，
∴∠ADF＝50°﹣20°＝30°．
21．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC＝10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．

【分析】（1）由在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得AE＝BE，AF＝CF，即可得△AEF周长＝BC；
（2）由∠BAC＝128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，继而求得答案．
解：（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵BC＝10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10；

（2）∵AE＝BE，AF＝CF，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝52°，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝76°．
22．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图2中画出∠ABC的角平分线；
（3）在正方形网格中存在　8　个格点，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）取格点G，H，R，连接AR，GH，交于点P，作射线BP，射线BP即为所求．
（3）画出满足条件的点即可判断．
解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求．
（2）如图2中，射线BP即为所求．

（3）如图2中，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形的格点有8个，
故答案为：8．
23．如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．

【分析】（1）求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；
（2）求出AC＝AB＝10，根据三角形的面积公式求出DE即可．
【解答】（1）证明：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝6，
∵AD＝8，AB＝10，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；

（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵△ADC的面积S＝＝，
∴＝，
解得：DE＝4.8．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，
（1）求证：∠B＝∠DEF；
（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．

【分析】（1）首先证明△DBE≌△ECF，推出∠BDE＝∠CEF，由在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°推出∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB由∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°推出∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB可得∠B＝∠DEF；
（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE与△ECF中，
∵BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，
∴△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∵在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°
∴∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB
∵∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°
∴∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB
∴∠B＝∠DEF．
（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，理由如下
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
即∠DEF＝60°，
∵△DBE≌△ECF
∴ED＝EF，
∵ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
25．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）设BD＝x，AD＝4x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）①当MN∥BC时，当DN∥BC时，根据等腰三角形的性质得出方程，解方程即可；
②若△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t﹣2；分别得出方程，解方程即可．
解：（1）设BD＝x，AD＝4x，CD＝3x（x＞0），
在Rt△ACD，∵AC2＝CD2+AD2，
∴AC2＝（3x）2+（4x）2，
∴AC＝5x，
∵AB＝BD+AD＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）S△ABC＝×5x×3x＝30cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝2cm，AD＝8cm，CD＝6cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，
∴t＝5，
当DN∥BC时，AD＝AN，有t＝8，
故若△DMN的边与BC平行时，t的值为5或8．
②当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE，
当t＝2时，点M运动到点D，不构成三角形，
当点M在DA上，即2＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣2＝5，
∴t＝7；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣2，如图，过点E作EF⊥AD于F，

∵DE＝AE，EF⊥AD，
∴AF＝DF＝4，
在Rt△AEF中，∵EF2＝AE2﹣AF2，
∴EF＝＝3，
∵BM＝t，BF＝6，
∴MF＝t﹣6，
在Rt△EMF中，∵EF2+MF2＝EM2，
∴32+（t﹣6）2＝（t﹣2）2，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为7或10或．
26．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．
思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．
（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．
（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝　7　．


【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答．
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可解决问题．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°，求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C，即可求解．
解：（1）∵将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2，
∵BE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝＝＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝＝＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝，
∴（OA+OB+OC）2＝7，
故答案为：7．