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广西壮族自治区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份广西壮族自治区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了5＝50%或x＝﹣3等内容，欢迎下载使用。
2021年秋季学期期中教学质量检测
九年级 数学
（考试时间120分钟，满分120分）
注意事项：
1.本试卷分第丨卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.
2. 答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.
3. 不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回.
一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用 2B 铅等把答题卡上对应的答案标号涂黑）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，3）
4．将抛物线y＝3x2平移得到抛物线y＝3（x﹣4）2﹣1的步骤是（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
5．一元二次方程x2+4x﹣11＝0配方后化为（ ）
A．（x+4）2＝13 B．（x﹣2）2＝15 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝15
6．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和点B（1，m）关于原点对称，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
8．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC
D．△AOB与△BOC的面积相等
9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
10．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
11．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、 填空题（每小题3分，共18分）
13．二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象的对称轴是直线 ．
14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则+等于 ．
15．九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书．如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是 ．
16．点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转180°得到点P'，点P'的坐标为 ．
17．已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
18．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ ．
三、 解答题.（本大题共8题，共66 分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题满分6分，每小题3分）解方程：
（1）x2+2x﹣5＝0．（2）（x+3）2＝2x+6．
20．（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分8分）如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 ；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
22．（本题满分8分）如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．
（1）写出AE与BD的大小关系；
（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．
23．（本题满分6分）二次函数y＝ax2﹣2x+5与直线y＝﹣2x+3交于点P（﹣1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式：
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
24．（本题满分8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
25．（本题满分10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
26．（本题满分12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年秋季学期期中教学质量检测
九年级数学 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用 2B 铅等把答题卡上对应的答案标号涂黑）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】求出b2﹣4ac的值，再判断即可．
【解答】解：x2+3x+5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0，
即方程无实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
3．函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，3）
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．
4．将抛物线y＝3x2平移得到抛物线y＝3（x﹣4）2﹣1的步骤是（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
【分析】直接利用二次函数图象平移规律进而得出答案．
【解答】解：抛物线y＝3x2平移得到抛物线y＝3（x﹣4）2﹣1的步骤是：先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
5．一元二次方程x2+4x﹣11＝0配方后化为（ ）
A．（x+4）2＝13 B．（x﹣2）2＝15 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝15
【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【解答】解：∵x2+4x﹣11＝0，
∴x2+4x＝11，
则x2+4x+4＝11+4，即（x+2）2＝15，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和点B（1，m）关于原点对称，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出m的值即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，2）和点B（1，m）关于原点对称，
∴m＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
8．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC
D．△AOB与△BOC的面积相等
【分析】根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据平行四边形的性质可得B错误，C正确；根据等底同高的三角形的面积相等可得D正确．
【解答】解：A．平行四边形ABCD是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意；
B．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SSS），
故说法正确，故本选项不合题意；
C．△AOB≌△BOC，说法错误，故本选项符合题意；
D．过B作BH⊥AC，
∵S△ABO＝AO•BH，S△BOC＝•BH，
∴△AOB与△BOC的面积相等，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边相等．
9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
10．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
11．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象的对称轴是直线 x＝﹣1 ．
【分析】直接由顶点式可以得到对称轴．
【解答】解：由y＝2（x+1）2﹣3得，二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键．
14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则+等于 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，然后变形+得，再把x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1整体代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，
∴+＝＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．
15．九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书．如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是 x（x﹣1）＝240 ．
【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x（x﹣1）本，根据全组共互赠了240本图书即可得出方程．
【解答】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；
则总共送出的图书为x（x﹣1）；
又知实际互赠了240本图书，
则x （x﹣1）＝240．
故答案为：x （x﹣1）＝240．
【点评】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．
16．点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转180°得到点P'，点P'的坐标为 （1，﹣4） ．
【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解．
【解答】解：点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转180°得到点P'，点P'的坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
17．已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 x＜﹣2或x＞8 ．
【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣2或x＞8时，一次函数的图象在二次函数的下方，
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
18．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ 8﹣4 ．
【分析】连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，判定△ADF≌△AEC（SAS），即可得出DF＝CE，再根据勾股定理求得CE的长，即可得到DF的长．
【解答】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，
由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠FAD，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF＝CE，
由旋转可得，AB＝AE＝2，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝2，∠ABE＝60°，
∴∠EBG＝30°，
∴EG＝BE＝1，BG＝，
∴CG＝2﹣，
∴Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2＝12+（2﹣）2＝8﹣4，
∴DF2＝8﹣4．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
三、解答题.（本大题共8题，共66 分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解方程：
（1）x2+2x﹣5＝0．
（2）（x+3）2＝2x+6．
【分析】（1）利用配方法解方程可求解；
（2）方程整理后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，
（x+1）2＝6，
∴x+1＝±，
解得：x1＝﹣1，x2＝−﹣1；
（2）（x+3）（x+3﹣2）＝0，
∴x+3＝0，x+1＝0
解得：x＝−3，x＝−1．．
【点评】此题考查了解一元二次方程，配方法和因式分解法，熟练掌握因式分解的解法是解本题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝k2+2k，再变形3x1x2﹣x12﹣x22+10＝0得到5x1x2﹣（x1+x2）2+10＝0，所以5（k2+2k）﹣（2k+1）2+10＝0，解关于k的方程得到k1＝k2＝﹣3，然后利用k的范围可确定k＝﹣3满足条件．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤；
（2）成立．
根据题意得x1+x2＝2k+1，x1•x2＝k2+2k，
∵3x1x2﹣x12﹣x22+10＝0，
∴3x1x2﹣（x12+x22）+10＝0，
∴3x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1•x2]+10＝0，
∴5x1x2﹣（x1+x2）2+10＝0，
∴5（k2+2k）﹣（2k+1）2+10＝0，
整理得k2+6k+9＝0，
解得k1＝k2＝﹣3，
∵k≤，
∴当k＝﹣3时，3x1x2﹣x12﹣x22+10＝0成立．
【点评】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
21．如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 （﹣1，﹣3） ；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
【分析】（1）（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点B1的坐标为（﹣1，﹣3）；
故答案为（﹣1，﹣3）；
（3）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．
（1）写出AE与BD的大小关系；
（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而判断出△ACE≌△BCD，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACE＝∠BCD，判断出△ACE≌△BCD，即可得出结论．
【解答】解：（1）AE＝BD，理由：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）AE＝BD，理由：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACE≌△BCD是解本题的关键．
23．二次函数y＝ax2﹣2x+5与直线y＝﹣2x+3交于点P（﹣1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式：
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用配方法求出顶点坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点P（﹣1，b）在直线y＝﹣2x+3上，
∴b＝2+3＝5，
∴P（﹣1，5），
把P（﹣1，5）代入y＝ax2﹣2x+5，得到a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣2x+5．
（2）∵y＝﹣2（x+）2+，
∴顶点坐标为（﹣，），对称轴为x＝﹣
∵a＜0，
∴当x＞﹣时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
24．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
25．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
（2）根据题意，按照等量关系“销售量×（售价﹣成本）＝4000”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
（3）设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，
∴QG＝＝2，
∵点Q在第一象限，
∴﹣x2+3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质及方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
2021年秋季学期期中教学质量检测
九年级 数学
（考试时间120分钟，满分120分）
注意事项：
1.本试卷分第丨卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.
2. 答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.
3. 不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回.
一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用 2B 铅等把答题卡上对应的答案标号涂黑）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，3）
4．将抛物线y＝3x2平移得到抛物线y＝3（x﹣4）2﹣1的步骤是（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
5．一元二次方程x2+4x﹣11＝0配方后化为（ ）
A．（x+4）2＝13 B．（x﹣2）2＝15 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝15
6．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和点B（1，m）关于原点对称，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
8．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC
D．△AOB与△BOC的面积相等
9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
10．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
11．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、 填空题（每小题3分，共18分）
13．二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象的对称轴是直线 ．
14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则+等于 ．
15．九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书．如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是 ．
16．点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转180°得到点P'，点P'的坐标为 ．
17．已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
18．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ ．
三、 解答题.（本大题共8题，共66 分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题满分6分，每小题3分）解方程：
（1）x2+2x﹣5＝0．（2）（x+3）2＝2x+6．
20．（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分8分）如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 ；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
22．（本题满分8分）如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．
（1）写出AE与BD的大小关系；
（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．
23．（本题满分6分）二次函数y＝ax2﹣2x+5与直线y＝﹣2x+3交于点P（﹣1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式：
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
24．（本题满分8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
25．（本题满分10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
26．（本题满分12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年秋季学期期中教学质量检测
九年级数学 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用 2B 铅等把答题卡上对应的答案标号涂黑）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】求出b2﹣4ac的值，再判断即可．
【解答】解：x2+3x+5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0，
即方程无实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
3．函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，3）
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．
4．将抛物线y＝3x2平移得到抛物线y＝3（x﹣4）2﹣1的步骤是（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
【分析】直接利用二次函数图象平移规律进而得出答案．
【解答】解：抛物线y＝3x2平移得到抛物线y＝3（x﹣4）2﹣1的步骤是：先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
5．一元二次方程x2+4x﹣11＝0配方后化为（ ）
A．（x+4）2＝13 B．（x﹣2）2＝15 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝15
【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【解答】解：∵x2+4x﹣11＝0，
∴x2+4x＝11，
则x2+4x+4＝11+4，即（x+2）2＝15，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和点B（1，m）关于原点对称，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出m的值即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，2）和点B（1，m）关于原点对称，
∴m＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
8．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC
D．△AOB与△BOC的面积相等
【分析】根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据平行四边形的性质可得B错误，C正确；根据等底同高的三角形的面积相等可得D正确．
【解答】解：A．平行四边形ABCD是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意；
B．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SSS），
故说法正确，故本选项不合题意；
C．△AOB≌△BOC，说法错误，故本选项符合题意；
D．过B作BH⊥AC，
∵S△ABO＝AO•BH，S△BOC＝•BH，
∴△AOB与△BOC的面积相等，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边相等．
9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
10．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
11．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象的对称轴是直线 x＝﹣1 ．
【分析】直接由顶点式可以得到对称轴．
【解答】解：由y＝2（x+1）2﹣3得，二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键．
14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则+等于 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，然后变形+得，再把x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1整体代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，
∴+＝＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．
15．九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书．如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是 x（x﹣1）＝240 ．
【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x（x﹣1）本，根据全组共互赠了240本图书即可得出方程．
【解答】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；
则总共送出的图书为x（x﹣1）；
又知实际互赠了240本图书，
则x （x﹣1）＝240．
故答案为：x （x﹣1）＝240．
【点评】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．
16．点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转180°得到点P'，点P'的坐标为 （1，﹣4） ．
【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解．
【解答】解：点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转180°得到点P'，点P'的坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
17．已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 x＜﹣2或x＞8 ．
【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣2或x＞8时，一次函数的图象在二次函数的下方，
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
18．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ 8﹣4 ．
【分析】连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，判定△ADF≌△AEC（SAS），即可得出DF＝CE，再根据勾股定理求得CE的长，即可得到DF的长．
【解答】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，
由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠FAD，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF＝CE，
由旋转可得，AB＝AE＝2，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝2，∠ABE＝60°，
∴∠EBG＝30°，
∴EG＝BE＝1，BG＝，
∴CG＝2﹣，
∴Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2＝12+（2﹣）2＝8﹣4，
∴DF2＝8﹣4．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
三、解答题.（本大题共8题，共66 分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解方程：
（1）x2+2x﹣5＝0．
（2）（x+3）2＝2x+6．
【分析】（1）利用配方法解方程可求解；
（2）方程整理后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，
（x+1）2＝6，
∴x+1＝±，
解得：x1＝﹣1，x2＝−﹣1；
（2）（x+3）（x+3﹣2）＝0，
∴x+3＝0，x+1＝0
解得：x＝−3，x＝−1．．
【点评】此题考查了解一元二次方程，配方法和因式分解法，熟练掌握因式分解的解法是解本题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝k2+2k，再变形3x1x2﹣x12﹣x22+10＝0得到5x1x2﹣（x1+x2）2+10＝0，所以5（k2+2k）﹣（2k+1）2+10＝0，解关于k的方程得到k1＝k2＝﹣3，然后利用k的范围可确定k＝﹣3满足条件．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤；
（2）成立．
根据题意得x1+x2＝2k+1，x1•x2＝k2+2k，
∵3x1x2﹣x12﹣x22+10＝0，
∴3x1x2﹣（x12+x22）+10＝0，
∴3x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1•x2]+10＝0，
∴5x1x2﹣（x1+x2）2+10＝0，
∴5（k2+2k）﹣（2k+1）2+10＝0，
整理得k2+6k+9＝0，
解得k1＝k2＝﹣3，
∵k≤，
∴当k＝﹣3时，3x1x2﹣x12﹣x22+10＝0成立．
【点评】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
21．如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 （﹣1，﹣3） ；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
【分析】（1）（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点B1的坐标为（﹣1，﹣3）；
故答案为（﹣1，﹣3）；
（3）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．
（1）写出AE与BD的大小关系；
（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而判断出△ACE≌△BCD，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACE＝∠BCD，判断出△ACE≌△BCD，即可得出结论．
【解答】解：（1）AE＝BD，理由：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）AE＝BD，理由：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACE≌△BCD是解本题的关键．
23．二次函数y＝ax2﹣2x+5与直线y＝﹣2x+3交于点P（﹣1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式：
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用配方法求出顶点坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点P（﹣1，b）在直线y＝﹣2x+3上，
∴b＝2+3＝5，
∴P（﹣1，5），
把P（﹣1，5）代入y＝ax2﹣2x+5，得到a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣2x+5．
（2）∵y＝﹣2（x+）2+，
∴顶点坐标为（﹣，），对称轴为x＝﹣
∵a＜0，
∴当x＞﹣时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
24．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
25．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
（2）根据题意，按照等量关系“销售量×（售价﹣成本）＝4000”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
（3）设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，
∴QG＝＝2，
∵点Q在第一象限，
∴﹣x2+3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质及方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
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