精品解析：2021年贵州省贵阳市南明区九年级摸底考试数学试题（解析版）

这是一份精品解析：2021年贵州省贵阳市南明区九年级摸底考试数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
贵阳市南明区2021年初三摸底考试试题卷
数学
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应的位置作答，每小题3分，共36分）
1. 贵阳市元月份某一天早晨的气温是-3℃，中午上升了2℃，则中午的气温是（）
A. -5℃ B. 5℃ C. -1℃ D. 1℃
【答案】C
【解析】
【分析】用贵阳市元月份某一天早晨的气温加上中午上升的温度，求出中午的气温是多少即可．
【详解】解：-3+2=-1（℃）
∴中午的气温是-1℃．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加法，解答本题的关键是明确有理数加法的计算方法．
2. 如图，是由完全相同的5个小立方体组成的4个立体图形，主视图和左视图完全相同的（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的主视图和左视图即可求解．
【详解】解：A、主视图有3列，从左往右正方形的个数是2，1，1；左视图有2列，从左往右正方形的个数是1，2；不符合题意；
B、主视图有2列，从左往右正方形的个数是2，1；左视图有3列，从左往右正方形的个数是1，2，1；不符合题意；
C、主视图有2列，从左往右正方形的个数是2，1；左视图有2列，从左往右正方形的个数是2，1；符合题意；
D、主视图有2列，从左往右正方形的个数是2，1；左视图有2列，从左往右正方形的个数是1，2；不符合题意．
故选：C．
【点睛】考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
3. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（　　）

A. 61° B. 58° C. 48° D. 41°
【答案】B
【解析】
【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．
【详解】如图，

∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．
∵水中的两条折射光线平行，
∴∠2＝∠3＝58°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
4. 下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【详解】解：显然A、B、D选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
C选项对于x取值时，y都有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
5. 如果有一个数不超过，那么这个数的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一个数不超过a可知小于等于a，据此即可判断．
【详解】解：设这个数是x，
∵这个数不超过a，
∴．
故选：B．
【点睛】本题需要列出不等式后再在数轴上表示，体现了数形结合的数学思想．
6. 快递公司快递员小张一周内投递快递物品件数情况为：有4天是每天投递65件，有2天是每天投递70件，有1天是90件，这一周小张平均每天投递物品的件数为（）
A. 80件 B. 75件 C. 70件 D. 65件
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用加权平均数求法进而分析得出答案．
【详解】解：由题意可得，这一周小张平均每天投递物品的件数为：
= (件)
故答案为：C．
【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确应用公式是解题关键．
7. 将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】算出白色区域的面积与整个图形的面积之比即为所求概率．
【详解】解：如图，过点A作于点G
∵ 六边形ABCDEF为正六边形，∴，
设正六边形的边长为a，则
∴ 空白部分的面积为：
正六边形的面积为：
∴飞镖落在白色区域的概率为：
故选：A

【点睛】本题考查概率的求解，确定白色区域面积占整个图形面积的占比是解题的关键．
8. 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1等于

A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1的度数．
解：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°．
故选C．
此题主要考查菱形的性质及等边三角形的判定的运用，属于基础题，解答本题的关键是根据题意得出AB和菱形的两边构成等边三角形．
9. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（　　）

A. （﹣2，1） B. （﹣3，1） C. （﹣2，﹣1） D. （﹣2，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出C，B关于直线m对称，即关于直线x＝1对称，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x＝1对称，
∵点C的坐标为（4，1），
∴，
解得：x＝﹣2，
则点B的坐标为：（﹣2，1）．
故选A．
【点睛】此题考查了坐标与图形的变化，得出C，B关于直线m对称是解题关键．
10. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过平行线可得到△DFE∽△BFA，然后根据相似三角形的性质得到两三角形高的比等于相似比，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴，
∴，
∵△DFE和△DAE同底
∴
又∵，
∴．
 故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的高的比等于相似比是解题的关键．
11. 如图是李老师在黑板上演示的尺规作图及其步骤，
已知钝角，尺规作图及步骤如下：
步骤一：以点为圆心，为半径画弧；
步骤二：以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点；
步骤三：连接，交延长线于点．

下面是四位同学对其做出的判断：
小明说：；
小华说：；
小强说：；
小方说：．
则下列说法正确的是（ ）
A. 只有小明说得对 B. 小华和小强说的都对
C. 小强和小方说的都不对 D. 小明和小方说的都对
【答案】D
【解析】
【分析】首先连接BD、CD，结合题意可知CA=CD，BA=BD，然后根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”以及“两点确定一条直线”得出BH垂直平分AD，由此进一步逐一判断即可.
【详解】
如图，连接CD、BD，则：CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
即直线BC是线段AD的垂直平分线，
∴BH⊥AD，且AH=DH，即小明与小方的说法正确，
∵CA不一定平分∠BAH，故小华的说法错误，
∵点C不一定是BH的中点，故小强的说法错误，
综上所述，小明与小方的说法正确，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
12. 如图，直线y=x+2与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　）

A. ﹣2≤h≤ B. ﹣2≤h≤1 C. ﹣1≤h≤ D. ﹣1≤h≤
【答案】A
【解析】
【详解】当抛物线经过C且顶点在C右侧时，
y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣x,过C(0,0),
y=（x﹣h）2-,解得h1=，h2=0.(舍去)

当抛物线经过B点时，
将B（-2，1）代入y=（x﹣h）2-，
解得h1=-2,h2=.(舍去)

所以﹣2≤h≤.
故选A.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为_____．（请从“+、﹣、×、÷”中选择填写）
【答案】﹣或÷．
【解析】
【分析】分别用计+、﹣、×、÷计算出结果进行验证即可解答．
详解】解：＝，
＝＝＝x，
＝，
＝＝x，
故答案为﹣或÷．
【点睛】本题考查了分式方程的加、减、乘、除运算法则，掌握并灵活运用运算法则是解答本题的关键．
14. 袋子中有30个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出1个球，记录颜色后放回，将球摇匀．大量重复上述过程后发现，每1800次，摸到红球420次，由此可以估计口袋中的红球个数是_______．
【答案】7
【解析】
【分析】首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．
【详解】根据实验频率估计概率，则估计口袋中的红球个数为，故答案为7．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量重复试验下频率稳定值约为概率．同时也考查了概率公式的应用.
15. 如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．

【答案】12
【解析】
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，

∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
16. 如图，菱形中，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为____________．

【答案】
【解析】
【分析】在BC上取一点G，使得BG=BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过等A作AH⊥GF于H．证明∠BGF=120°，推出点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，求出AH即可．
【详解】解：在BC上取一点G，使得BG=BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过等A作AH⊥GF于H．

∵∠B=60°，BE=BG，
∴△BEG是等边三角形，
∴EB=EG，∠BEG=∠BGE=60°，
∵PE=PF，∠EPF=60°，
∴△EPF是等边三角形，
∴∠PEF=60°，EF=EP，
∵∠BEG=∠PEF，
∴∠BEP=∠GEF，
∴△BEP≌△GEF（SAS），
∴∠EGF=∠B=60°，
∴∠BGF=120°，
∴点F在射线GF上运动，
根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，
∵AB=9，BE=2AE，
∴BE=6，AE=3，
∵∠BEG=∠EGF=60°，
∴GT∥AB，
∵BG∥AT，
∴四边形ABGT是平行四边形，
∴AT=BG=BE=6，∠ATH=∠B=60°，
∴AH=AT•sin60°=，
∴AF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
17. 如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交于点，当，时，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再根据菱形的性质求出∠DOC=90°，即可得出结论；
（2）证△AFO≌△EFD（AAS），得OF=DF，由直角三角形的性质得OD=AO=4，则OF=OD=2，再根据勾股定理求出AF即可．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形DECO是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=OC，AC⊥BD，
∵四边形DECO是矩形，
∴OC=DE=4，
∴AO=4，
∴AO=OC=DE=4，
∵DE∥AC，
∴∠FAO=∠DEF，
在△AFO和△EFD中，
，
∴△AFO≌△EFD（AAS），
∴OF=DF，
∵∠ADB=30°，
∴OD=AO=4，
∴OF=OD=2，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解此题的关键．
18. 由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了____________名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是___________，D对应的扇形圆心角的度数是________________；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数．
【答案】（1）50；（2）30，；（3）图形见解析；（4）400人
【解析】
【分析】（1）用A的人数除以A的百分比即可；
（2）用B的人数除以样本容量即可；
（3）求出B的人数补全统计图即可；
（4）用2000乘以D的百分比即可．
【详解】（1）20÷40％=50人；
故答案为：50；
（2）15 ÷50×100％=30％，即m=30；
=；
故答案为：10，；
（3）（人）；

（4）（人）．
答：该校最喜欢方式D的学生约有400人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了用样本估计总体．
19. 红旺商店同时购进、两种商品共用人民币36000元，全部售完后共获利6000元，两种商品的进价、售价如下表：

商品
商品
进价
120元/件
100元/件
售价
138元/件
120元/件
（1）求本次红旺商店购进、两种商品件数；
（2）第二次进货：、件数皆为第一次的2倍，销售时，商品按原售价销售，商品打折出售，全部售完后为使利润不少于11040元，则商品每件的最低售价应为多少？
【答案】（1）本次红旺商店购进种商品200件，种商品120件；（2）商品每件的最低售价为116元．
【解析】
【分析】（1）题中有两个等量关系：购买A种商品进价+购买B种商品进价=36000，出售A种商品利润+出售B种商品利润=6000，由此可以列出二元一次方程组解决问题；
（2）根据不等关系：出售A种商品利润+出售B种商品利润≥11040，可以列出一元一次不等式解决问题．
【详解】解：（1）设本次红旺商店购进种商品的件数为件，种商品的件数为件，
依题意得，
解得，
答：本次红旺商店购进种商品200件，种商品120件；
（2）设商品每件的售价为元，
依题意得，
解得，
答：商品每件的最低售价为116元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20. 一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字,5．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是无理数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为．请用列表法或画树状图法求出与的乘积是有理数的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个球上数字乘积是有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）摸出小球上的数字是无理数的概率=；
（2）画树状图如下：

可知：共有9种等可能的结果，其中两个数字的乘积为有理数的有3种，
∴两次摸出的小球所标数字乘积是有理数的概率为=.
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光．

（1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号）
（2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算）
【答案】（1）图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了米；（2）该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为米．
【解析】
【分析】（1）解直角△ACD，求出CD，再解直角△BCD′，求出CD′，然后计算CD﹣CD′的长度即可；

（2）图3中遮阳蓬的长度为图2中CD的长度时，过D作DE∥BD′，交AB于E，解直角△ECD，求出CE，再计算CE-BC即可．
【详解】（1）在直角△ACD中，∵AC＝AB+BC＝2米，∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，
∴CD＝AC•tan∠CAD＝2×＝（米）．
在直角△BCD′中，∵BC＝0.5米，∠CBD′＝60°，
∴tan∠CBD′＝，
∴CD′＝BC•tan∠CBD′＝0.5×＝（米），
∴CD﹣CD′＝﹣＝（米）．
故图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了米；
（2）如图，图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度时，过D作DE∥BD′，交AB于E．
在直角△ECD中，∵CD＝米，∠CED＝60°，
∴tan∠CED＝，
∴CE＝＝＝，
∴BE＝CE﹣BC＝﹣0.5＝（米）．
故该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
22. 如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过、两点且与反比例函数图象的另一支交于点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）反比例函数解析式是y=，一次函数解析式是y=x+2；（2）的面积为2．
【解析】
【分析】（1）由题意得OB=4，即可得到A、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据S△BDC=S△ABD-S△ABC求得即可．
【详解】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，且BO⊥OC，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠ABO=∠BOC=90，
∴OB==4，
∴点A的坐标是（2，4），点C的坐标是（-2，0），
把点A代入y=得m=8，
∴反比例函数解析式是y=，
又∵一次函数y=kx+b的图象过点A（2，4），点C（-2，0），
∴，解得，
∴一次函数解析式是：y=x+2；
（2）联立解得或，
∴D（-4，-2），
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积计算等知识，求得交点坐标是解题的关键．
23. 如图，中，以为直径的交边，于，两点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点，且．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）通过DF为圆O切线，得出，再由已知条件得出，利用角的等量代换得出，即可得出三角形ABC是等腰三角形.
（2）连接AD，利用等角的余角相等可得出，根据已知三角函数值，解出直角三角形ADC和直角三角性ADF即可.
【详解】（1）证明：∵中，
∴
∵是过点的的切线
∴
又∵于点
∴
∴
∴
∴中，
即是等腰三角形
（2）如图，连接
∵是直径所对的圆周角，
∴
∴．
又∵于点
∴在和中，
∴
又∵
∴
∴
∵中，，
∴在中，
∴在中，
因此，线段的长为．

【点睛】本题考查与圆有关的证明题目以及三角函数的应用，熟练掌握与圆有关的相关定理是本题的解题关键，做题时能够综合应用，灵活应用相关几何定理.
24. 如图，抛物线经过点，．
（1）求抛物线与轴的另一个交点的坐标；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点是上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点的坐标为；（2）存在，点的坐标为；（3）在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为或．
【解析】
【分析】(1)根据函数的对称性即可求解；
(2) A、B两点关于对称轴对轴，连接BC交对称轴于点P，则P点即为所求，进而求解；
(3) 分和两种情况，设出M点坐标或CM的长，再根据三角形相似可得到方程，可求得M点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
且此抛物线与轴相交于点和点，
∴，
∴点的坐标为．
（2）存在．理由：
连接，交直线于点（如图1），

∵抛物线经过点，
∴A、B关于对称轴对称,
∴，
∴四边形的周长最小为：，
设直线解析式为
∵，，
设直线BC解析式为，把B、C两点坐标代入可得
，解得，
∴直线的解析式为，
由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为，
当时，，
∴点的坐标为．
（3）存在，理由：
①当时（如图2），

∵在线段上，
∴设，
∵，
∴只能，
∵轴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
②当时（如图3），

∵，
∴只能，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，即，
过点作交轴于点，
如图所示：

∴∴，即，
∴，
∵点在线段上，且的解析式为，
∴当时，则，
∴．
综上，在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、轴对称的性质和应用、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想，其中(3)注意分两种情况来进行讨论，读懂题意是解题的关键．
25. 如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝，则S△ABC＝　 　．

【答案】（1）详见解析；（2）①，②
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理即可得出结论；
（2）①根据SAS可证明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的长；
②连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ，则AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出．
【详解】解：（1）证明：如图中，

∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①如图，连接PC、AQ交于点D，

∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5）2+（4）2＝32+PQ2；
∴PQ＝．
②如图，连接PC、AQ交于点D，

同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分别是AC、AP中点，
∴MN＝，
∵MN＝2，
∴AQ＝PC＝4．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝，
∴S△ABC＝BC×BE＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．