【期末必备】13.1 轴对称-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1轴对称图形与对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
注意1
对称轴是一条直线，不是线段、射线，它可以是一条，也可以是多条，甚至是无数条。
知识点2两个图形成轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系
注意2 理解成轴对称的定义应抓住以下三点
两个图形；
一条直线；
一个图形沿着这条直线折叠后和另一图形完全重合。
知识点3线段的垂直平分线的定义及性质
经过线段中点并且垂直与这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫做这条线段的中垂线。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
拓展1 线段垂直平分线性质的应用
利用线段垂直平分线的性质可以证明两线段相等，只需直线满足垂直、平分即可，不用再证三角形全等；
利用线段垂直平分线的性质可以证明垂直关系。
拓展2三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形的三个顶点的距离相等。
知识点4两个图形成轴对称和轴对称图形的性质
两个图形成轴对称（或一个图形是轴对称图形），则对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。
如果两个图形成轴对称，那么对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
注意3
性质中“任何”的定义：成轴对称的两个图形，其对应点由无数对，无论哪一对对应点所连先算的垂直平分线都是对称轴；
轴对称的性质可以作为判断轴对称的依据。
知识点5画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：
找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
连接这对对应点；
画出对应点所连线段的垂直平分线。
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴。
注意4 作全轴对称图形对称轴的方法
对于轴对称图形，由于对称轴可能不是唯一的，因此要多角度观察，选取不同类型的对应点，才能作全对称轴。
题型1利用轴对称的性质求角的度数
例题1如图所示，一种滑翔伞的形状是左、右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150°，∠B=40°，则∠ACD的度数是______________________________。
变式1 图中的两个四边形关于某条直线对称，根据图形提供的条件求x,y。
题型2利用轴对称证明线段之间的关系
例题2如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，已知OA>OC，OB>OD.比较BC+AD与AB+CD的大小。
变式2如图，O为△ABC内部一点，OB=72，P，R是点O分别以直线AB，BC为对称轴的对称点。
请指出当∠ABC是什么角度时，会使得PR的长度等于7？并说明理由
在（1）的前提下，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度小于7还是大于7？并说明理由
题型3 利用线段垂直平分线的性质求线段的长
此类题一般是借助线段垂直平分线的性质，将一条线段用另一条线段来替换
例题3如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O。连接AD，AE，△ADE的周长为6cm。
求BC的长；
分别链接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长
变式3如图，在△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，连接BD。
若∠C=35°，求∠DBA的度数；
若△ABD的周长为30，AC=18，求AB的长
题型4线段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用
例题4如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，AE⊥BE，延长AE交BC的延长线于点F，求证：
FC=AD
AB=BC+AD
变式4如图所示，已知AB=AC，DB=DC，P是AD上的一点，求证：∠ABP=∠ACP
关系
名称
两个图形成轴对称
轴对称图形
区别
意义不同
两个图形之间的对称关系
具有特殊形状的图形
对象不同
两个图形
一个图形
对称轴的位置不同
在两个图形之间
过图形的某条直线
对称轴的数量不同
只有一条
至少由一条
联系
①如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；
②如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称。