山东省菏泽市2021-2022学年高二上学期期中考试（A卷）数学含答案

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2021－2022学年度第一学期期中考试

高二数学试题(A)

本试卷共150分。考试时间120分钟。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线y2－x2＝1的焦点坐标是

A.(±1，0)     B.(0，±1)     C.(±，0)     D.(0，±)

2.a＝－2是直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

3.过P(12，－6)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是

A.2x＋3y－6＝0     B.2x＋3y－6＝0或3x＋4y－12＝0

C.x＋y－6＝0       D.3x＋2y－12＝0或4x＋3y－30＝0

4.中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为

A.10     B.20     C.30     D.40

5.若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0截直线xr－y＋1＝0所得弦长为2，则实数m的值为

A.－1     B.－3     C.1     D.3

6.设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为1，若|AF1|＝2|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的长轴长为

A.     B.     C.5     D.

7.已知圆：x2＋y2－2x＝0与圆C：x2＋6x＋y2＋6y－t＝0内切，点P是圆C上一动点，则满足到直线5x＋12y＋12＝0的距离等于3的点P的个数为

A.1     B.2     C.3     D.4

8.抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝25交于A、B两点，圆心M(0，1)，点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是

A.(6，12)     B.(8，10)     C.(6，10)     D.(10，12)

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4x－6y＝0的交点为A，B，则

A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0

B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0

C.公共弦AB的长为

D.两圆圆心距|O1O2|＝3

10.设直线l1：y＝k1x＋l，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋1＝0，则

A.l1与l1平行                       B.l1与l1相交

C.l1与l1的交点在圆x2＋y2＝1上      D.l1与l1的交点在圆x2＋y2＝1外

11.已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，一条渐近线过点(2，)，则

A.双曲线C与双曲线有相同的渐近线

B.双曲线C的离心率为

C.若F到渐近线的距离为2，则双曲线C的方程为

D.若直线l：x＝与渐近线围成的三角形面积为4，则焦距为6

12.如图，已知椭圆C：，A1，A2分别为左、右顶点，B1，B2分别为上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则下列条件中能使得椭圆C的离心率为的有

A.|A1F1|·|F2A2|＝|F1F2|2       B.∠F1B1A2＝90°

C.PF1⊥x轴，且PO//A2B1     D.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

13.写出一个截距相等且不过第一象限的直线方程            。

14.一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1相切，则反射光线所在直线方程的斜率为            。

15.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|＝3|BF|，则三角形CDF的面积为          。

16.已知F为双曲线C：(a>b>0)的右焦点，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF⊥BF，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为           。

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知△ABC三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)。

(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程；

(2)求△ABC的面积。

18.(12分)已知双曲线C1：(a>0，b>0)与C2：有相同的渐近线，点F(2，0)为C1的右焦点，A，B为C1的左右顶点。

(1)求双曲线C1的方程；(2)过点F倾斜角为30°的直线l交双曲线C1于M，N两点，求|MN|。

19.(12分)已知圆E经过点A(0，0)，B(2，2)，且           。

(1)求圆E的方程；

(2)求过点P(4，3)的圆E的切线方程，并求切线长。

从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答。

①与y轴相切；②圆E恒被直线mx－y－2m＝0(m∈R)平分；③过直线x＋4y－4＝0与直线x－2y－4＝0的交点C。

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分。

20.(12分)某市为缓解城区的交通压力，要在原有老桥OA的基础上，建设一座新桥BC，如图所示。经测量，老桥OA长为600m，点A位于点O的正北方向600m处，点C位于点O的正东方向1700m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝，且新桥BC与河岸AB垂直。

(1)求新桥BC的长：

(2)为保护河流生态环境，计划设立一个圆形保护区。已知保护区的边界为圆心M在线段OA上，并与BC相切的圆，且老桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于800m。问当圆心M位于什么位置时，圆形保护区的面积最大？

21.(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l。

(1)求抛物线上任意一点Q到定点N(2p，0)的距离的最小值；

(2)过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M(x0，y0)，且y0≠0，证明：kMA＋kMB＝2kMF(其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率)。

22.(12分)已知轨迹E上任一点M(x，y)与定点F(2，0)的距离和M到定直线l：x＝4的距离的比为。

(1)求轨迹E的方程，并说明轨迹表示什么图形？

(2)设过点A(0，－1)且斜率为k1的动直线与轨迹E交于C，D两点，且点B(0，2)，直线BC，BD分别交圆x2＋(y－1)2＝1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，问是否存在实数λ，使得k2＝λk1，若存在求出λ值，若不存在请说明理由。