2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习38《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习38《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=( )
A.2eq \r(6) B.8 C.4eq \r(6) D.10
圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2=0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4=0的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为( )
A.x+y-3=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0
已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线y=2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2eq \r(5)，则圆的方程为( )
A.(x＋3)2＋(y＋5)2=25 B.(x＋2)2＋(y＋3)2=9
C.(x- SKIPIF 1 < 0 )2＋(y- SKIPIF 1 < 0 )2=eq \f(49,9) D.(x+ SKIPIF 1 < 0 )2＋(y- SKIPIF 1 < 0 )2=eq \f(49,9)
与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12=0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14=0都相切的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
已知圆O：x2＋y2=1，若A，B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，
则|OC|的最大值是( )
A.eq \f(\r(2)＋\r(6),2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(3)＋1
已知点P在圆C：x2＋y2－4x－2y＋4=0上运动，则点P到直线l：x－2y－5=0的距离的最小值是( )
A.4 B.eq \r(5) C.eq \r(5)＋1 D.eq \r(5)－1
已知直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，则a＋b＋ab的最大值为( )
A.1 B.－1 C.eq \r(2)＋eq \f(1,2) D.1＋eq \r(2)
过点(-2,3)的直线l与圆x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|取得最小值时l的方程为( )
A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.2x+y+1=0
已知直线l:kx+y-2=0(k∈R)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点A(0,k)作圆C的一条切线,切点为B,则线段AB的长为( )
A.2 B.2 SKIPIF 1 < 0 C.3 D.2 SKIPIF 1 < 0
已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 SKIPIF 1 < 0 .则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4=0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1=0只有一条公切线，
若a，b∈R且ab≠0，则eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.9
二、填空题
以点(0，b)为圆心的圆与直线y=2x＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为__________.
过点P(3,2)作圆O：x2＋y2=4的切线，则切线的方程为________.
已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与圆(x-2)2+(y-3)2=8相外切,则圆C的方程为 .
已知A是射线x＋y=0(x≤0)上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2＋y2=1相切，则|AB|的最小值是________.
过点P(－1，1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，
则eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))的最小值为________.
在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2=50上.若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是 .
\s 0 答案解析
一、选择题
答案为：C；
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，
将点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的坐标代入得方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，))
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20=0，即(x－1)2＋(y＋2)2=25，
所以|MN|=2eq \r(25－1)=4eq \r(6).
答案为：D；
解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2=4，所以圆心C1(－1，－1)，半径长r1=2；
圆C2：(x－2)2＋(y－1)2=1，所以圆心C2(2，1)，半径长r2=1.
所以d=eq \r(（－1－2）2＋（－1－1）2)=eq \r(13)，r1＋r2=3，
所以d＞r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线.
答案为：C；
答案为：B.
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2(r>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝|b|，,b＝2a＋1，,r2＝|a|2＋\r(5)2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－3，,r＝3，))
所以圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2=9.故选B.
答案为：A.
解析：两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2=1，C2：(x－7)2＋(y－1)2=36，
则两圆圆心距|C1C2|=5，等于两圆半径差，故两圆内切.
所以它们只有一条公切线.故选A.
答案为：C；
解析：如图所示，连接OA，OB和OC.
∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，∴△OAC≌△OBC，∴∠ACO=∠BCO=30°，
在△OAC中，由正弦定理得eq \f(OA,sin 30°)=eq \f(OC,sin∠OAC)，∴OC=2sin∠OAC≤2，
故|OC|的最大值为2，故选C.
答案为：D；
解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＋4=0化为(x－2)2＋(y－1)2=1，圆心C(2,1)，半径为1，
圆心到直线l的距离为eq \f(|2－2－5|,\r(12＋22))=eq \r(5)，
则圆上一动点P到直线l的距离的最小值是eq \r(5)－1.故选D.
答案为：C；
解析：因为直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，所以eq \f(1,\r(a2＋b2))=1，即a2＋b2=1，
令a=cs θ，b=sin θ(θ是参数)，即
a＋b＋ab=cs θ＋sin θ＋cs θsin θ，
令cs θ＋sin θ=t(－eq \r(2)≤t≤eq \r(2))，
则cs θsin θ=eq \f(t2－1,2)，即a＋b＋ab=eq \f(t2＋2t－1,2)，由二次函数的性质可知，
当t=eq \r(2)时，a＋b＋ab的最大值为eq \r(2)＋eq \f(1,2).
答案为：A；
解析：由题意得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心C(-1,2).过圆心与点(-2,3)的直线l1的斜率为-1.当直线l与l1垂直时,|AB|取得最小值,故直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-3=x-(-2),即x-y+5=0.
答案为：D；
答案为：B；
答案为：D；
解析：圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2=4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；
圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2=1，其圆心为(0，b)，半径为1.
因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，
所以eq \r(－2a－02＋0－b2)=2－1，得4a2＋b2=1，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))(4a2＋b2)=5＋eq \f(b2,a2)＋eq \f(4a2,b2)≥5＋2 eq \r(\f(b2,a2)·\f(4a2,b2))=9，
当且仅当eq \f(b2,a2)=eq \f(4a2,b2)，且4a2＋b2=1，即a2=eq \f(1,6)，b2=eq \f(1,3)时等号成立.所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为9.
二、填空题
答案为：x2＋（y-3.5）2=eq \f(5,4).
解析：由题意设圆的方程为x2＋(y－b)2=r2(r＞0).
根据条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋3－b2＝r2，,\f(|－b＋1|,\r(5))＝r，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(7,2)，,r＝\f(\r(5),2).))
∴该圆的方程为x2＋（y-3.5）2=eq \f(5,4).
答案为：12x－5y－26=0或y－2=0
解析：因为|OP|=eq \r(32＋22)=eq \r(13)，所以点P(3,2)在圆外.显然，斜率不存在时，直线与圆相离，故可设切线的方程为y－2=k(x－3)，即kx－y＋2－3k=0.
又圆心为O(0,0)，半径r=2，故圆心到切线的距离d=eq \f(|－3k＋2|,\r(k2＋1))=2，
即|3k－2|=2eq \r(k2＋1)，所以k=eq \f(12,5)或k=0.故所求切线的方程为12x－5y－26=0或y－2=0.
答案为：(x+1)2+y2=2；
答案为：2＋2eq \r(2).
解析：设A(－a，a)，B(b，0)(a，b＞0)，则直线AB的方程是ax＋(a＋b)y－ab=0.
因为直线AB与圆x2＋y2=1相切，所以d=eq \f(ab,\r(a2＋（a＋b）2))=1，化简得2a2＋b2＋2ab=a2b2，
利用基本不等式得a2b2=2a2＋b2＋2ab≥2eq \r(2)ab＋2ab，即ab≥2＋2eq \r(2)，
从而得|AB|=eq \r(（a＋b）2＋a2)=ab≥2＋2eq \r(2)，
当b=eq \r(2)a，即a=eq \r(2＋\r(2))，b=eq \r(4＋2\r(2))时，|AB|的最小值是2＋2eq \r(2).
答案为：eq \f(21,4).
解析：圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1，
所以PC=eq \r(（t＋1）2＋（t－3）2)=eq \r(2（t－1）2＋8)≥eq \r(8)，PA=PB=eq \r(PC2－1)，
cs∠APC=eq \f(AP,PC)，所以cs∠APB=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AP,PC)))eq \s\up12(2)－1=1－eq \f(2,PC2)，
所以eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))=(PC2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,PC2)))=－3＋PC2＋eq \f(2,PC2)≥－3＋8＋eq \f(1,4)=eq \f(21,4)，
所以eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))的最小值为eq \f(21,4).
答案为：[－5eq \r(2)，1]；
解析：解法一：设P(x，y)，则由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20可得，
(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，即(x＋6)2＋(y－3)2≤65，
所以P为圆(x＋6)2＋(y－3)2=65上或其内部一点.
又点P在圆x2＋y2=50上，
联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝50，,x＋62＋y－32＝65，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－5，))
即P为圆x2＋y2=50的劣弧MN上的一点(如图)，
易知－5eq \r(2)≤x≤1.
解法二：设P(x，y)，则由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，
可得(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，
即x2＋12x＋y2－6y≤20，
由于点P在圆x2＋y2=50上，
故12x－6y＋30≤0，即2x－y＋5≤0，
∴点P为圆x2＋y2=50上且满足2x－y＋5≤0的点，
即P为圆x2＋y2=50的劣弧MN上的一点(如图)，
同解法一，可得N(1,7)，M(－5，－5)，
易知－5eq \r(2)≤x≤1.