功与能重点难点易错点高频必刷高分必考经典题——变力做功问题的求法

变力的功求法集锦

第一.平均力法

1.基本依据：如果一个过程，若F是位移l的线性函数时，即F=kl+b时，可以用F的平均值 (F1 +F2)/2来代替F的作用效果来计算。

2.基本方法：先判断変力F与位移l是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力和末状态的力，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由求其功。

【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）

练习1：例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?

练习2：要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？

【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x，求拉力对木块做了多少功？

【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。

第二. 图象法

1.原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F－l图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。

2、方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功。

【例1】静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示,图线为半圆.则小物块运动到x0处时的动能为 (   )

A.0           B. 1/2Fmx0             

C.Fmx0        D.x02

【例2】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?

【例3】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x，求拉力对木块做了多少功。

练习：放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。

第三.用公式求解

1.基本原理：在机车的功率不变时，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求功，但已知功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功可以根据求出来。

2.基本方法：因为功率恒定，所以设法求出做功的时间，然后即可按求出这段时间牵引力的功。（在已知平均功率一定时，也可采用这种方法）

【例1】质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。

练习1：质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。

练习2：质量为5000Kg的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到24的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间。

第四.等效变换法：

1.基本思路：在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，再用求解。

2.基本方法：找出不变的因素，将变力做功转换成恒力做功及与之对应的位移，然后用求功公式求解。

【例1】 如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。 已知图中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。

变式：如图所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水平面的高度为，AB的长度，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。

【例2】以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为h，空气的阻力大小恒为F，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（     ）

A．0                      B．－Fh            C．－2Fh              D．－4Fh

第五.动能定理法

1.动能定理:合外力对物体做功等于物体动能的改变,或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。

2.基本思路：如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，根据 ，其中是所有外力做功的代数和，△Ek是物体动能的增量，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

3.基本方法：了解哪些外力做功，哪些是恒力，哪些是变力，以及确定物体运动的初动能和末动能，然后用动能定理列方程就可以求出变力的功。

【例1】 如图所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多少？ 

【例2】如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F做功为（   ）

A.      B.  C.   D.

【例3】某人用力将质量为m的小球,在高度为H处抛出,已知当小球刚要落地时的速度为V,则该人在抛球过程中对小球做的功为多少?

【例4】如图示,AB为1/4圆弧轨道,半径为0.8m,BC是水平轨道,长L=3m,BC处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

【例5】如图所示，质量的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点。物体到达B点时的速度为，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。

【例6】物体以初速度竖直上抛，落回抛出点时的速度为,试求此过程物体克服空气阻力所做的功。

【例7】如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

第六.微元求和法

1.基本思路：⑴当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，（例如当力的大小不变而方向总是与运动方向相同或相反时，可把公式做变通处理，两者同向时，；两者反向时，，式中的指的是物体的路程）且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。⑵变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

2.基本方法：求出力在位移方向上的分量，求出曲线总长度，总功即为各个小元段做功的代数和

【例1】如图所示，某个力F＝10N作用于半径为R＝lm的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为

A.0          B.J         C.10J       D.J

【例2】如图6所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。

【例3】如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向。(g取10 m/s2)求这一过程中：(1)拉力F做的功。(2)重力G做的功。(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功。(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功。

【例3】在光滑的桌面上，有一条粗细均匀的链条，全长为L，垂下桌边的那部分的长度为a，链条在上述的位置由静止释放，如图所示，则链条的上端离开桌边时，链条的速度为多少？

练习：长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？

【例4】如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过－光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某－端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？

第七.机械能守恒法

【例1】如图所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧的弹力对物体所做的功。

【例2】如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。

第八. 功能原理法

1.功能原理：如果除重力和弹力之外的其他力对物体也做功，系统的机械能将不再守恒，而且这些力做了多少功、系统就有多少机械能发生转化，这时，除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。

2.基本思路：如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。

3.基本方法：在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便

【例1】如图所示，面积很大的水池，水深为水面浮着一正方体木块，木块边长为，密度为水的，质量为，开始时，木块静止，现用力将木块缓慢往下压，求从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力所做的功。

【例2】如图1所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B点时的速度变为， 求物体从A运动到B的过程中产生了多少热量。

【例3】两个底面积都是S的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度相等,则这过程中重力所做的功等于         .

【例4】如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速释放摆下.求当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?

【例5】如图4所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？

【例6】一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。如图所示，现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知圆管半径r=0.10m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×103kg/m3 ，大气压P0=1.00×105Pa ，求活塞上升H=9.00m的过程中拉力所做的功（井和管在水面上及水面下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s2）。

第九. 能量守恒法

【例1】如图所示，一劲度系数的轻弹簧两端各焊接着一个质量为的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取）求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此过程中力F所做的功。

第十.用W=PV

一般用来求解液体或气体做功的情况，P为压强，V为液体或气体推进体积，其实该公式来源于功的计算式，设压强P的作用面积为S，推进的距离为L，则压力PS作用距离L时的功为PSL即PV。

【例1】人的心脏每跳一次大约输送的血液，正常人血压（心脏压送血液的压强）的平均值约为，心脏约每分钟跳70次，据此估测心脏工作的平均功率为多大？

练习1：成年人正常心跳每分钟约75次，一次血液循环中左心室的血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值为1.37×104pa ，左、右心室收缩时射出的血量约为70mL，右心室对肺动脉的压力约为左心室的1/5，据此估算心脏工作的平均功率。

练习2：猎豹的心脏每跳一次输送2×10-4m3的血液，其血压（可看为心脏压送血压的压强）的平均值为3×104pa。心跳约每分钟跳60次，猎豹的心脏工作的平均功率为（   ）。

A.2W            B.3W           C.6W        D.18W(6W)

第十一.转换参考系求变力做功

在有些物理问题中，要用功能原理，其中求做功时要涉及到变力做功，但若通过转换参照系，可化求变力做功为恒力做功，而大大简化解题过程。

【例1】宇宙中某一惯性参照系中，有两个质点A和B，质量分别为m和M，相距L，开始时A静止，B具有A、B连线延伸方向的初速度v，由于受外力F的作用，B做匀速运动。（1）试求A、B间距离最大时的F值；（2）试求从开始到A、B最远时力F做的功；