2021年湖北省恩施州中考数学真题试卷 (含解析)

2021年湖北省恩施州中考数学试卷一、选择题：本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．﹣6的相反数是（　　）A．﹣6 B．6 C．±6 D．2．全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780万，将数5780万用科学记数法表示为（　　）A．5.780×108 B．57.80×106 C．5.780×107 D．5.780×1063．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．4．图中几何体的俯视图是（　　）A． B． C． D．5．下列运算正确的是（　　）A．7a3﹣3a2＝4a B．（a2）3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a6．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（　　）A． B． C． D．7．从，﹣，﹣这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（　　）个．A．0 B．1 C．2 D．38．分式方程+1＝的解是（　　）A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝29．某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝10．如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（　　）A．30 B．60 C．65 D．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　　）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分.13．分解因式：a﹣ax2＝　 　．14．如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝　 　．15．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 　 　寸．16．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 　 　．三、解答题：本大题8个小题，共72分.17．（8分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣2．18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．19．（8分）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：（1）求a、b的值；（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．20．（8分）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1m）21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．（1）求k；（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．22．（10分）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？23．（10分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．﹣6的相反数是（　　）A．﹣6 B．6 C．±6 D．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣（﹣6）＝6，则﹣6的相反数是6．故选：B．2．全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780万，将数5780万用科学记数法表示为（　　）A．5.780×108 B．57.80×106 C．5.780×107 D．5.780×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答】解：5780万＝57800000＝5.780×107，故选：C．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．4．图中几何体的俯视图是（　　）A． B． C． D．【分析】根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．【解答】解：从上边看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：A．5．下列运算正确的是（　　）A．7a3﹣3a2＝4a B．（a2）3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：A.7a3﹣3a2，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；C．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a，故此选项符合题意．故选：D．6．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（　　）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，∴这两名工人恰好都是男工人的概率为＝，故选：C．7．从，﹣，﹣这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（　　）个．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】依题意任选两数相乘，将所得的三个乘积与2作比较，即可得出结论．【解答】解：∵，，（﹣）×＝＞2，∴从，﹣，﹣这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有2个．故选：C．8．分式方程+1＝的解是（　　）A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+x﹣1＝3，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故选：D．9．某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝【分析】两点确定一条直线解析式，设W与s的解析式为W＝Ks，把s＝20，W＝160代入上式，可得解析式．【解答】解：设W与s的关系解析式为W＝Ks（K≠0），当s＝20时，W＝160，把（20，160）代入上式得，160＝20K，解得K＝8，∴W＝8s，故选：C．10．如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（　　）A．30 B．60 C．65 D．【分析】根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形ABCD的底边BC和其对角线AC的值，然后根据平行四边形的面积计算公式求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．∵AC⊥BC，∴△ACB是直角三角形．∴AC＝＝＝12．∴S▱ABCD＝BC•AC＝5×12＝60．故选：B．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　　）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC和∠CBD的关系．【解答】解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判断出结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b＝，由对称轴可得b＝2a，∴a＝，由a+b+c＝0可得c＝，再计算b+c的值，可判断④错误．【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分.13．分解因式：a﹣ax2＝　a（1+x）（1﹣x）　．【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a﹣ax2＝a（1﹣x2）＝a（1+x）（1﹣x）．故答案为：a（1+x）（1﹣x）．14．如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝　30°　．【分析】由平角的定义求出∠CAE，根据平行线的性质即可求出∠C．【解答】解：∵∠BAC+∠CAE+∠DAD＝180°，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，∴∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣100°﹣50°＝30°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝30°，故答案为：30°．15．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 　26　寸．【分析】过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD＝1寸，AC＝BC＝AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．16．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 　1335　．【分析】观察表中图形及数字的变化规律可发现第n个五边形数可表示为：1+2+3+...+（n﹣1）+n2，观察数表找到规律，计算出这个数表中的第八行从左至右第2个数是第几个五边形数即n的值，代入上面的代数式即可求得答案．【解答】解：观察表中图形及数字的变化规律可得第n个五边形数可表示为：1+2+3+...+（n﹣1）+n2，由数表可知前七行数的个数和为：1+2+3+...+7＝28，∴数表中的第八行从左至右第2个数是第30个五边形数即n＝30，∴把n＝30代入得：1+2+3+...+29+302，＝1335，故答案为：1335．三、解答题：本大题8个小题，共72分.17．（8分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣2．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：1﹣÷＝1﹣＝1﹣＝＝﹣，当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．【分析】利用DE∥AC，AE∥BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO＝OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OD．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形．∵OA＝OD，∴平行四边形AODE为菱形．∴OE⊥AD．19．（8分）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：（1）求a、b的值；（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出b、c的值；（2）答案不唯一，可从平均数，方差，中位数等方面，写出理由；（2）根据平均数，方差，中位数，可得答案．【解答】解：（1）甲的成绩从小到大排列为：160，165，165，175，180，185，185，185，∴甲的中位数a＝＝177.5，∵185出现了3次，出现的次数最多，∴众数b是185，故a＝177.5，b＝185；（2）应选甲，理由：从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些；（3）乙的方差为：[2×（175﹣175）2+2×（180﹣175）2+2×（170﹣175）2+（185﹣175）2+（165﹣175）2]＝37.5，①从平均数和方差向结合看，乙的成绩比较稳定；②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩好些．20．（8分）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1m）【分析】根据矩形的性质得到BE＝AD＝10m，根据三角函数的定义得到BD，解直角三角形求得BF＝BC，CF＝BC，DF＝CF，于是得到BC+BC＝20，解得BC≈14.6m．【解答】解：作DE⊥BC于E，CF⊥BD于F，在Rt△BED中，BE＝AD＝10m，∠EDB＝30°，∴∠EBD＝60°，BD＝2BE＝20m，在Rt△CBF中，∠CBF＝60°，∴BF＝BC，CF＝BC，在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，∴DF＝CF＝BC，∵BD＝BF+DF，∴BC+BC＝20，∴BC＝≈14.6（m），答：乙居民楼的高约为14.6m．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．（1）求k；（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．【分析】（1）作AH⊥BC于H，求出AH的长和OH的长确定A点坐标即可；（2）求出直线AD的解析式，确定D点坐标，再根据三角形ABD的面积等于三角形ABC面积加三角形BCD面积即可求出．【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，∵Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，∴OC＝BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，∴∠HAC＝∠ABC＝30°，∴CH＝AC×sin30°＝1，OH＝AC×cos30°＝，∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，∴A（1，），∵双曲线y＝经过点A，∴1＝，即k＝；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（1，），C（2，0），∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，∵直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，∴，解得或，∵D在第四象限，∴D（3，﹣），∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD＝BC•BH+BC•（﹣yD）＝＝4．22．（10分）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元列出一元一次方程求解即可；（2）现根据花生销售m千克，茶叶销售（60﹣m）千克，现根据总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍求出m的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求最大值．【解答】解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，根据题意得：50x＝10（40+x），解得：x＝10，40+x＝40+10＝50（元），答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；（2）设花生销售m千克，茶叶销售（60﹣m）千克获利最大，利润w元，由题意得：，解得：30≤m≤40，w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，∵﹣10＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝30时，利润最大，此时花生销售30千克，茶叶销售60﹣30＝30千克，w最大＝﹣10×30+840＝540（元），∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．23．（10分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．【分析】（1）证OC⊥AB即可证AB为⊙O的切线；（2）作EH⊥AC于H，利用三角形相似和勾股定理分别求出EH和CH的长度，再利用勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵∠AOC＝2∠ACE，∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，∴OC⊥AB，∴AB为⊙O的切线；（2）解：作EH⊥AC于H，∵AO＝20，BO＝15，∴AB＝＝＝25，∵，即，∴OC＝12，∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，∵EH⊥AC，OC⊥AC，∴EH∥OC，∴△AEH∽△AOC，∴＝，即＝，∴EH＝，∵BC＝＝＝9，∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，∵AH＝＝＝，∴CH＝AC﹣AH＝16﹣＝，∴CE＝＝＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；（2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；（3）设抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），则，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，设点Q的坐标为（s，t），∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），则或，解得或，故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）存在，理由：设抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E为最小，由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y＝（x+2），当x＝﹣1时，y＝（x+2）＝，故点M的坐标为（﹣1，），则EM+MP+PB的最小值B″E＝＝+1．图形…五边形数1512223551…平均数中位数众数方差甲175ab93.75乙175175180，175，170c图形…五边形数1512223551…平均数中位数众数方差甲175ab93.75乙175175180，175，170c