2021年江苏省无锡市中考数学真题试卷 (含解析)

这是一份2021年江苏省无锡市中考数学真题试卷 (含解析)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≠2
3．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55
4．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a5
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
8．一次函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．）
11．（2分）分解因式：2x3﹣8x＝　 　．
12．（2分）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 　 　．
13．（2分）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　 　．
14．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：　 　．
15．（2分）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　 　米．
16．（2分）下列命题中，正确命题的个数为 　 　．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝　 　．

18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）
19．（8分）计算：
（1）|﹣|﹣（﹣2）3+sin30°；
（2）﹣．
20．（8分）（1）解方程：（x+1）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．

22．（8分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
23．（8分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x（代号）
0＜x≤5
（A）
5＜x≤10
（B）
10＜x≤15
（C）
15＜x≤20
（D）
20＜x≤25
（E）
25＜x≤30
（F）
频数
10
a
68
c
24
6
频率
0.05
b
0.34
d
0.12
0.03

（1）表格中a＝　 　；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
24．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　 　．（如需画草图，请使用图2）
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

26．（8分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
27．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

28．（10分）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．

2021年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
2．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≠2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故选：A．
3．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵55出现的次数最多，
∴众数为55，
将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52、53、54、55、55、58，
中位数为54，
故选：C．
4．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将两个方程相加，可消去y，得到x的一元一次方程，从而解得x＝4，再将x＝4代入①解出y的值，即得答案．
【解答】解：，
①+②得：2x＝8，
∴x＝4，
把x＝4代入①得：4+y＝5，
∴y＝1，
∴方程组的解为．
故选：C．
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：A．a2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意．
故选：D．
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
7．如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．
【解答】解：A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD•h，S△DCE＝CD•h，
∴S△BDE＝S△DCE，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE＝AC，DF＝AB，
若AB＝BC，则DE＝DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，
故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：C．

8．一次函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知得B（﹣n，0），而A（1，m）在一次函数y＝x+n的图象上，可得n＝m﹣1，即B（1﹣m，0），根据△AOB的面积为1，可列方程|1﹣m|•m＝1，即可解得m＝2．
【解答】解：在y＝x+n中，令y＝0，得x＝﹣n，
∴B（﹣n，0），
∵A（1，m）在一次函数y＝x+n的图象上，
∴m＝1+n，即n＝m﹣1，
∴B（1﹣m，0），
∵△AOB的面积为1，m＞0，
∴OB•|yA|＝1，即|1﹣m|•m＝1，
解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴m＝2，
故选：B．
9．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x﹣2）2+3（y﹣）2+，当x＝2，y＝时，AP2+CP2+BP2的值最大，此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝，由＝，得AM＝4，M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．
【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：

∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴四边形AEPD是矩形，
设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，
Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，
Rt△CDP中，CP2＝（6﹣x）2+y2，
Rt△BEP中，BP2＝x2+（8﹣y）2，
∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（6﹣x）2+y2+x2+（8﹣y）2
＝3x2﹣12x+3y2﹣16y+100
＝3（x﹣2）2+3（y﹣）2+，
∴x＝2，y＝时，AP2+CP2+BP2的值最大，
此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝，
∵∠A＝90°，PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴＝，即＝，
∴AM＝4，
∴AM＝AB，即M是AB的中点，
同理可得AN＝AC，N为AC中点，
∴P是△ABC三条中线的交点，
故选：D．
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【分析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．）
11．（2分）分解因式：2x3﹣8x＝　2x（x﹣2）（x+2）　．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
12．（2分）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 　3.2×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：320000000＝3.2×108，
故选：3.2×108．
13．（2分）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝．
故答案为：．
14．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：　y＝﹣答案不唯一　．
【分析】根据反比例函数的性质得到k＜0，然后取k＝﹣1即可得到满足条件的函数解析式．
【解答】解：若反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象在第二、四象限，则k＜0，
故k可取﹣1，此时反比例函数解析式为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣答案不唯一．
15．（2分）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　10　米．
【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
故答案为：10．
16．（2分）下列命题中，正确命题的个数为 　1　．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①所有的正方形都相似，正确，符合题意；
②所有的菱形都相似，错误，不符合题意；
③边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；
④对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，
正确的有1个，
故答案为：1．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝　　．

【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF中，由勾股定理可求AF．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，

∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵sin∠FEG＝，
∴，
∴HF＝，
∵cos∠FEG＝，
∴，
∴EH＝，
∴AH＝AE+EH＝，
∴AF＝＝＝，
故答案为：．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：　y＝x2　．

【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（m，6m2），即可得y＝x2．
【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：

∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）
19．（8分）计算：
（1）|﹣|﹣（﹣2）3+sin30°；
（2）﹣．
【分析】（1）根据绝对值的意义，乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝+8+
＝1+8
＝9．
（2）原式＝﹣
＝
＝．
20．（8分）（1）解方程：（x+1）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用直接开平方求解即可．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）∵（x+1）2﹣4＝0，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
（2），
由①得，x≥1，
由②得，x＜3，
故不等式组的解集为：1≤x＜3．
21．（8分）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．

【分析】（1）由已知条件，结合对顶角相的可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；
（2）由等边对等角得结论．
【解答】证明：（1）∵∠AOB＝∠COD，
∠ABO＝∠DCO，
AB＝DC，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB．
22．（8分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
∴取出的2张卡片数字相同的概率为＝；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
∴取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．
23．（8分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x（代号）
0＜x≤5
（A）
5＜x≤10
（B）
10＜x≤15
（C）
15＜x≤20
（D）
20＜x≤25
（E）
25＜x≤30
（F）
频数
10
a
68
c
24
6
频率
0.05
b
0.34
d
0.12
0.03

（1）表格中a＝　42　；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
【分析】（1）根据B组所占的百分比是21%，即可求得a的值；
（2）根据其他各组的频率求出D组的频率得出C组、D组所占的百分比，补全扇形统计图即可．
（3）利用总人数1500乘以对应的频率即可求得．
【解答】解：（1）a＝200×21%＝42（人），
故答案为：42；
（2）b＝21%＝0.21，
C组所占的百分比c＝0.34＝34%，
D组所占的百分比是：d＝1﹣0.05﹣0.21﹣0.34﹣0.12﹣0.03＝0.25＝25%，
扇形统计图补充完整如图：
；
（3）估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1500×（0.34+0.25+0.12+0.03）＝1110（人）．
答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人．
24．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　　．（如需画草图，请使用图2）
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．

（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝，
∴OE＝＝＝，
∴CE＝OC+OE＝5+＝，
∴AC＝BC＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质证得∠ACB+∠BAC＝∠PBC+∠ABO＝90°，结合等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝40°，得到AOB＝∠ACD，由圆周角的性质得到∠CDE＝∠BAO，根据相似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA+∠ABO＝90°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠ACB，
∴∠OBC+∠ABO＝∠PBC+∠ABO＝90°，
∴∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．

26．（8分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
【分析】（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入4x，3x中即可求出结论；
（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数且4≤m≤10，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，
依题意得：+＝25，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝60，3x＝45．
答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．
（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，
依题意得：60m+45n＝1275，
∴n＝．
∵m，n均为正整数，且4≤m≤10，
∴或或，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；
方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；
方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品．
27．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

【分析】（1）由y＝﹣x+3得B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2+2x+c即得二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3得A（﹣1，0），OB＝OC，AB＝4，BC＝3，故∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝﹣m2+3m，CF＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，可得EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，可得EF＝；
（3）连接NE，由点N、F关于直线EC对称，可得CF＝EF＝CN，故﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，即得CN＝CF＝m＝3﹣2，N（0，3+1）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
（3）连接NE，如图：

∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，
∴CN＝CF＝m＝3﹣2，
∴N（0，3+1）．
28．（10分）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【分析】（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，先证明△ABE≌△EGF，可得FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，则EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，再在Rt△CGF中，即可求CF＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，由△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，可得C、D、E'共线，由△EAQ≌△E'AQ，可得∠E'＝∠AEQ，故∠AEB＝∠AEQ，从而∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，有PH＝PC，用△ABE∽△ECP，可求CP＝m（1﹣m），即可得h＝﹣m2+m；
（2）分两种情况：①当m＜时，由△ABE∽△ECP，可求HG＝﹣m2+m，根据MG∥CD，G为BC中点，可得MN＝DQ，设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，可得MN＝，故y＝NH＝MG﹣HG﹣MN＝1﹣m﹣+m2，
②当m＞时，由MG∥AB，可得HG＝，同①可得MN＝DQ＝，即可得y＝，
【解答】解：（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：

∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠EFG，∠B＝∠G＝90°，
∵等腰直角三角形AEF，
∴AE＝EF，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，
∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，
在Rt△CGF中，CF＝＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：

∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，
∴∠ADC+∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAE'+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45，
在△EAQ和△E'AQ中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE，
∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝m（1﹣m），
∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，h最大值是；
（2）①当m＜时，如图：

∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴HG＝﹣m2+m，
∵MG∥CD，G为BC中点，
∴MN为△ADQ的中位线，
∴MN＝DQ，
由（1）知：EQ＝DQ+BE，
设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，
Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，
∴（1﹣m）2+（1﹣x）2＝（x+m）2，
解得x＝，
∴MN＝，
∴y＝NH＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣（﹣m2+m）﹣
＝1﹣m﹣+m2，
②当m＞时，如图：

∵MG∥AB，
∴＝，即＝，
∴HG＝，
同①可得MN＝DQ＝，
∴HN＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣﹣
＝，
∴y＝，
综上所述，y＝1﹣m﹣+m2或y＝．