2021年湖北省江汉油田中考数学真（原卷+解析）

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湖北省江汉油田（仙桃市、潜江市、天门市）2021年中考数学真题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．）
1. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. 3.14 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得．
【详解】A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意；
B、，是有理数，此项不符题意；
C、是无理数，此项符合题意；
D、是分数，属于有理数，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键．
2. 如图所示的几何体的左视图是（ ）


A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图定义即可得．
【详解】解：左视图是指从左面看物体所得到的视图，则这个几何体的左视图是由两个大小不一的同心圆组成，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
【点睛】本题考查了左视图，熟记定义是解题关键．
3. “大国点名､没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约1411780000人．数“1411780000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．
4. 如图，在中，，点D在上，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平角的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得．
【详解】解：，
，
，
，
在中，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】A、，此项正确，符合题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项错误，不符题意；
D、，此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
C. 一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7
D. 甲､乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同．方差分别是，，则甲的成绩更稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件的定义、概率的定义、中位数和众数的定义、方差的意义逐项判断即可得．
【详解】A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，此项说法错误；
B、“明天下雨概率为”，是指明天下雨的可能性有，此项说法错误；
C、一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数是6和7，此项说法错误；
D、因为，所以甲的成绩更稳定，此项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件、概率、中位数和众数、方差，掌握理解各定义是解题关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象是过原点的射线 B. 直线经过第一､二､三象限
C. 函数，y随x增大而增大 D. 函数，y随x增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】A、函数的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线经过第一､二､四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数，随增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数，随增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
8. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．
【详解】解：设这个圆锥底面半径为，
由题意得：，
解得，
即这个圆锥底面半径为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点是解题关键．
9. 若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得．
【详解】解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，
由题意得：，解得，
则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
则点关于轴的对称点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：


①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，


四边形是正方形，，
，
在和中，，
，
，
，
四边形矩形，
，
，即结论①正确；
，
，
，即结论③正确；
，
，
，
，即，结论②正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又，
的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
二､填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】解：原式，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
12. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．）
【答案】20
【解析】
【分析】设绳索长尺，根据两种量竿的方法建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设绳索长尺，
由题意得：，
解得，
即绳索长20尺，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．
13. 不透明的布袋中有红､黄､蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图，从而可得这两次摸出的钢笔的所有可能的结果，再找出这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的结果，然后利用概率公式即可得．
【详解】解：将红､黄､蓝3种只是颜色不同的钢笔分别记为、、，
由题意，画出树状图如下：

由图可知，这两次摸出的钢笔的所有可能的结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的结果有2种，
则所求的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
14. 关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
【详解】解：由题意得：，
，
，
化成整式方程为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
15. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数）


【答案】20
【解析】
【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，


由题意得：，，
，
在中，，，
在中，，
，
在中，，
即这架无人机的飞行高度大约是，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
，即，
，即，
，即，
观察可知，点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，
归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
三､解答题（本大题共8个题，满分72分）
17. （1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）8；（2）．
【解析】
【分析】（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得；
（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．
【详解】解：（1）原式，
，
；
（2），
方程两边同乘以得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法是解题关键．
18. 已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．


（1）如图1，当时，作的中线；
（2）如图2，当时，作中线．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
【解析】
【分析】（1）连接，交于点即可；
（2）先延长，相交于点，再连接，相交于点，然后连接，交于点即可．
【详解】解：（1）如图，连接，交于点，则即为所求．


（2）分以下三步：
①延长，相交于点，
②连接，相交于点，
③连接，交于点，
则即为所求．

【点睛】本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
19. 为迎接中国共产党建党100周年，某校举行“知党史，感党恩，童心的党”系列活动，现决定组建四个活动小组，包括A（党在我心中演讲），B（党史知识竞赛），C（讲党史故事），D（大合唱）．该校随机抽取了本校部分学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“B”的圆心角为，请结合下面两幅图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了_________名学生，扇形统计图中“C”的圆心角度数为________；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，根据调查数据估计该校约有多少人喜欢参加“C”活动小组．
【答案】（1）50，；（2）图见解析；（3）约有450人．
【解析】
【分析】（1）根据“”的条形统计图和扇形统计图的信息可得本次调查的学生总人数，根据“”的圆心角可得“”所占百分比，从而可得“”所占百分比，再将其乘以即可得；
（2）根据“”、“”所占百分比求出它们的人数，由此补全条形统计图即可；
（3）利用1500乘以“”所占百分比即可得．
【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为（名），
“”所占百分比为，
则“C”的圆心角度数为，
故答案为：50，；
（2）喜欢参加“”的人数为（名），
喜欢参加“”的人数为（名），
则补全条形统计图如下所示：

（3）（人），
答：估计该校约有450人喜欢参加“C”活动小组．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
20. 如图：在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为，直线与双曲线：交于C，两点．


（1）求双曲线的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1），；（2）点在双曲线上，理由见解析；（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据点，利用待定系数法可求出双曲线的函数关系式，再将点代入双曲线的解析式即可求出的值；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，再利用菱形的性质、点坐标的平移变换规律求出点的坐标，由此即可得出结论；
（3）根据点的坐标，利用函数图象法即可得．
详解】解：（1）由题意，将点代入得：，
则双曲线的函数关系式为，
将点代入得：；
（2）点在双曲线上，理由如下：
由（1）可知，点的坐标为，
将点代入得：，解得，
则，
当时，，即，
先将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位可得到点，
四边形是菱形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
，即，
对于双曲线，
当时，，
即点在双曲线上；
（3）表示的是直线的图象位于双曲线的图象的上方，
则结合函数图象得：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、菱形的性质、点坐标的平移变换规律，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21. 如图，为直径，D为上一点，于点C，交于点E，与的延长线交于点F，平分．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）证明见解析；（2），．
【解析】
【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据平行线的判定与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接，过点作于点，先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，再根据角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长；先根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后在中，可得，最后在中，解直角三角形即可得的长．
【详解】证明：（1）如图，连接，则，

，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，过点作于点，

，
，
，
，
，
，
，
（角平分线的性质），
在和中，，
，
，
，
在中，，
，
由圆周角定理得：，即，
，
，
，
解得，
在中，，
，
在中，．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题关键．
22. 去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：，下表是某4个月的销售记录．每月销售量（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价x（元件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
【答案】（1）；（2）4万元；（3）当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得；
（2）将代入求出的值，代入与的函数关系式求出该月的销售量，再利用乘以该月的销售量即可得；
（3）设该月纯收入为万元，先根据纯收入的计算公式求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：（1）设与的函数关系式为，
将点代入得：，解得，
则与的函数关系式为；
（2）当时，，
，
则（万元），
答：政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月纯收入为万元，
由题意得：，
整理得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为32，
答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
23. 已知和都为等腰三角形，．

（1）当时，
①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系；_________；
②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）当时，
①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；
②当时，请直接写出的长．
【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）①，理由见解析；②5．
【解析】
【分析】（1）①先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据线段的和差即可得；
②先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得出结论；
（2）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得出结论；
②设与交于点，先根据（2）①的结论可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、线段的和差可得，最后在中，解直角三角形即可得．
【详解】解：（1）①当时，，
和都为等腰三角形，
和都为等边三角形，
，
，即，
故答案为：；
②，理由如下：
和都为等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
；
（2）①当时，，
和都为等腰直角三角形，
，
，即，
设，
则，
，
在和中，，
，
，
即；
②如图，设与交于点，

，
，
设，则，
，
，，
，即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
则在中，．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（2），正确找出相似三角形是解题关键．
24. 如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成．

（1）填空：①当时，______；
②______；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）①10；②；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据时，即可得；
②先根据运动速度和时间求出的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）先求出当点与点重合时，的值，再分和两种情况，解直角三角形求出的长，然后利用三角形的面积公式即可得；
（3）分和两种情况，分别利用二次函数的性质即可得．
【详解】解：（1）①，
是等腰直角三角形，
，
由图可知，当时，，
解得或（不符题意，舍去），
故答案为：10；
②由题意得：当时，，
则，
故答案为：；
（2）由函数图象可知，当时，点与点重合，如图所示：


，
，
，
在中，，
，
则当点与点重合时，，
①当时，，，
则；
②当时，
如图，设交于点，过点作，交延长线于点，连接，


，，
，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
则，
，
，
综上，；
（3）①当时，，
令，解得或（舍去），
在内，随的增大而增大，
当时，；
②当时，，
此二次函数的对称轴为，
则由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
则当时，取得最小值，最小值为36，
即在内，都有，
综上，当时，的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．