安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学理试题 Word版含解析

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安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学理试题

 (考试时间：120分钟   满分：150分)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为(　 　).

A.  B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可。

【详解】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D。

【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简z，属于较容易的题。

2.集合，，则=( )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可。

【详解】解得集合，

所以，故选C。

【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小。

3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为(    ).

A. 63 B. 47 C. 23 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】

本道题不断的代入i,n，直到，退出循环，即可。

【详解】n=15,i=2不满足条件，继续循环，得到n=11,i=3不满足条件 ,继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出循环，输出n，即可。故选C。

【点睛】本道题考查了程序框图的意义，关键找出当对应的n，输出，即可，难度较容易。

4.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为(     ).

A. 11 B. 12 C. 20 D. 22

【答案】D

【解析】

【分析】

本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。

【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得

，所以结合，可得，故选D。

【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。

5.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的(    ).

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

本道题结合偶函数满足以及单调递增关系,前后推导,即可.

【详解】结合偶函数的性质可得,而当,所以结合在

单调递增,得到,故可以推出.举特殊例子,,但是,故由无法得到,故是

的充分不必要条件,故选A.

【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.

6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是(     ).

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上

B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

【答案】D

【解析】

【分析】

本道题分别将各个群体的比例代入，即可。

【详解】A选项，可知90后占了56%，故正确；B选项，技术所占比例为39.65%,故正确；

C选项，可知90后明显比80多前，故正确；D选项，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故错误。故选D。

【点睛】本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可，难度较容易。

7.平面外有两条直线，，它们在平面内的射影分别是直线，，则下列命题正确的是(    ).

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若和相交，则和相交或异面

【答案】D

【解析】

【分析】

本道题可以通过发挥空间想象能力，对每个选项逐一排除，即可。

【详解】A选项，若，则m不一定垂直n，可能m,n的夹角为钝角或者锐角，故错误；B选项，若，则a不一定垂直b，可能a,b夹角为钝角或锐角，故错误；C选项，若m平行n，则a与b可能异面，故错误；D选项，若m和n相交，可能a在b的上方，此时异面，a与b也可能相交，故正确。故选D。

【点睛】本道题考查了空间直线与直线的位置关系，关键发挥空间想象能力，逐一排除答案，即可，难度中等。

8.若展开式的常数项为60，则值为(  )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由二项式展开式的通项公式写出第项，求出常数项的系数，列方程即可求解.

【详解】因为展开式的通项为，

令，则，所以常数项为，即，所以.

故选D

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为(    ).

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。

【详解】结合三视图，还原直观图，得到

三棱锥P-ABC即为该几何体，结合题意可知AB=4，AC=2，高h为2，故体积为

，故选C。

【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，计算体积关键抓住，即可，难度中等。

10.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为(    ).

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

本道题分别计算两种情况对应的概率，分别相加，即可。

【详解】分两种情况，第一种第一次摸到连号，则概率为，第二种情况对应概率为，所以概率为，故选C。

【点睛】本道题考查了排列组合，考查了古典概率问题，难度中等。

11.设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为(     ).

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本道题设,利用双曲线性质,计算x，结合余弦定理，计算离心率，即可。

【详解】结合题意可知,设

则结合双曲线的性质可得,

代入,解得,所以,

对三角形运用余弦定理,得到

,解得

故选B.

【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x，即可，难度偏难。

12.已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(      ).

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本道题计算导函数，结合存在两个不同的极值点，计算a的范围，构造新函数，计算最值，得到的范围，即可。

【详解】计算导数得到，结合构造新函数得到

要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而

，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A。

【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难。

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.设满足约束条件，则的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

结合不等式组，绘制可行域，计算z的范围，即可。

【详解】结合不等式组,绘制可行域,得到

转化目标函数,得到,，从虚线平移,运动到A点,z取到最小值，为-1，运动到C点，z取最大值，为-6，故z的范围为

【点睛】本道题考查了线性规划问题，关键绘制可行域，转化目标函数，计算z的范围，即可，难度中等。

14.若非零向量满足，则__________.

【答案】1

【解析】

【分析】

本道题结合向量垂直，建立等式，转化所求向量式子，计算，即可。

【详解】结合可知，得到

【点睛】本道题考查了向量垂直满足条件，考查了向量的基本运算，难度中等。

15.在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

本道题运用向量方法，计算AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的范围，即可。

【详解】设，，对运用正弦定理，得到

，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组

，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，

所以

，结合bc的范围，代入，得到的范围为

【点睛】本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难。

16.在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】

本道题结合错位相减法,计算结果,即可.

【详解】结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为,对面积求和设得到

,

,

两式子相减,得到,解得

.

【点睛】本道题考查了错位相减法,关键计算出三角形面积,求和,即可,难度偏难.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知函数.

(Ⅰ)求函数的最小正周期；

 (Ⅱ)若，，求.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

(I)结合三角函数两角和公式,化简,结合,计算周期,即可.(II)判定的范围,计算,结合余弦函数两角差公式,计算,即可.

【详解】(Ⅰ)∵，

∴函数的最小正周期为.

(Ⅱ)由可得，.

∵，∴.

又∵，∴，

∴，

∴.

【点睛】本道题考查了三角函数两角和与差公式,关键化简三角函数,难度中等.

18.在四棱锥中，，.

(Ⅰ)若点为的中点，求证：∥平面；

(Ⅱ)当平面平面时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

【分析】

(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.

【详解】(Ⅰ)取的中点为，连结，.

由已知得，为等边三角形，.

∵，，

∴，

∴，∴.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵为的中点，为的中点，∴∥.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵，∴平面∥平面.

∵平面，∴∥平面.

(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.

∵平面平面，，

∴平面，，.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).

易知平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

则，，∴，

∵，，∴.

令，得，∴，

∴.

设二面角的大小为，则.

【点睛】

本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.

19.每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：

(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；

(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.

附：.若随机变量服从正态分布，则，.

【答案】（1）45； （2）6826人.

【解析】

【分析】

(I)结合题表,计算期望,得到平均数,即可.(II)结合题意,得到该区间位于距离平均数一个标准差之内,计算概率,计算人数,即可.

【详解】(Ⅰ)；

 (Ⅱ)由题意得，，，

所以估计该人群中一周睡眠时间在区间的人数约为(人)；

【点睛】本道题考查了正态分布曲线,考查了期望计算公式,难度中等.

20.设椭圆()的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可。（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示，结合三角形相似，证明结论，即可。

【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，

∴椭圆的方程可设为.

易求得，∴点在椭圆上，∴，

解得，∴椭圆的方程为.

(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，，

，∴.

当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，

∴，即.

联立直线和椭圆的方程得，

∴，得.

∵，

∴，

，

∴.

综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.

在中，由与相似得，为定值.

【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难。

21.已知函数(为自然对数的底数).

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值.

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是； （2）1.

【解析】

【分析】

（I）计算导函数，构造函数，判定单调性，得到的单调性，即可。（II）得到的解析式，结合导函数判定单调性，得到极小值，构造函数，结合导函数，计算该函数的极值，即可。

【详解】(Ⅰ)易知，且.

令，则，

∴函数在上单调递增，且.

可知，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

(Ⅱ)∵，∴.

由(Ⅰ)知，在上单调递增，

当时，；当时，，则有唯一解.

可知，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

∴函数在处取得极小值，且满足.

∴.

令，则.

可知，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴.

∴函数极小值的最大值为1.

【点睛】本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性，考查了利用导函数计算极值，关键懂得构造新函数作为辅助条件，即可，难度偏难。

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22.在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求，交点的直角坐标；

（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.

【答案】（1）， ； （2）.

【解析】

【分析】

（1）结合，得到曲线的普通方程，计算交点坐标，即可。（2）结合三角形面积计算公式， 结合三角函数性质，计算最值，即可。

【详解】(Ⅰ)，，∴，∴.

联立方程组得，解得，，

∴所求交点的坐标为，.

(Ⅱ)设，则.

∴的面积

∴当时，.

【点睛】本道题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为普通方程，考查了三角函数的性质，难度中等。

23.设函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）设，若的最小值为，求的值.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

(1)代入解析式,结合x的不同范围，去绝对值，计算x的范围，即可。（2）得到解析式，结合单调性，计算最小值，计算a，即可。

【详解】(Ⅰ)，即 或 ，

∴实数的取值范围是.

(Ⅱ)∵，∴，∴，

易知函数在时单调递减，在时单调递增，

∴.

∴，解得.

【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等。