第九节　函数模型及其应用课件PPT

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学习要求:1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,会比较对数函数、一元一次函数、指数函数 增长速度的差异.
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人 们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
1.几种常见的函数模型
2.三种增长型函数性质的比较
3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学 知识建立相应的函数模型;(3)求模:求解函数模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结果.以上过程用框图表示如图:
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%后出售,后因库存积压降价,若 按九折出售,则每件还能获利. (　　)(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. (　　)(3)不存在x0,使 < 1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α> 0)的增长速度. (　　)(5)“指数爆炸”是比喻指数型函数f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 的增长速度越来越快. (　　)
2.(新教材人教A版必修第一册P161T8改编)某公司为激励创新,计划逐年加大 研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年 投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) (　　)A.2020年　　　    B.2021年C.2022年　　　    D.2023年
3.(新教材人教A版必修第一册P139T2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=lg2x,当x ∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是 (　　)A.f(x)>g(x)>h(x)　　　    B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)　　　    D.f(x)>h(x)>g(x)
4.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x(05.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的 数据,则下列函数模型中能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间 的关系的是 (　　)
A.y=10x　　　    B.y=5x2-5x+10C.y=5×2x　　　    D.y=10lg2x+10
典例1    (2020重庆育才中学高三月考)某市自来水厂向全市生产与生活供水, 蓄水池(蓄量足够大)在每天凌晨0点时将会有水15千吨,水厂每小时向池中注 水2千吨,同时从池中向全市供水,若已知x(0≤x≤24)小时内供水总量为10 千吨,且当蓄水量少于3千吨时,供水就会出现紧张现象.(1)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象?(2)若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水a(a>2)千吨,求a的最 小值,使得供水紧张现象消除.
名师点评利用二次函数模型解决问题的方法:在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题建立二次函数解 析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函 数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
　小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万 元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均 为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车 出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为(25-x)万元(国家规定大货车的 报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累 计收入+销售收入-总支出)
典例2　渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后,要在最短的时 间内将其分拣、冷藏,若不及时处理,打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉 内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨,是氨的 衍生物,它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体 开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分钟)满足 的函数关系式为h(t)=m·at.若出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%,出海 后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%,那么若不及时处理,打上来的这种鱼在 多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3,结果取整数) (　　)A.33分钟　　B.40分钟 C.43分钟　　  D.50分钟
名师点评(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以 用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长 率,x为时间)的形式.(2)在指数函数模型问题中求解过程中,有时需要把指数问题转化为对数问题 求解.
(2020江西新余模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小 孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器 内还有一半的沙子,当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,则又经过了 (　　)A.8 min　　　     B.16 minC.24 min　　　    D.32 min
典例3    (2020湖南衡阳一模)衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘.某衡东土菜馆为 实现100万元年经营利润目标,拟制订员工的奖励方案:在经营利润超过6万元 的前提下奖励,且奖金y(单位:万元)随经营利润x(单位:万元)的增加而增加,但 奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中,符合 该点要求的是(参考数据:1.015100≈4.432,lg 11≈1.041)(　　)A.y=0.04x　　　     B.y=1.015x-1C.y=tan 　　　    D.y=lg11(3x-10)
名师点评 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式,要求根据实际情况求出 函数关系式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入关系式求值,然后根据值回答其实际意义.
(2020福建厦门三模)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水 流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究 发现v与lg3 成正比.当v=1 m/s时,鲑鱼的耗氧量的单位数为890.则当v=2 m/s时,其耗氧量的单位数为 (　　)A.2 670　　　    B.7 120　　　    C.7 921　　　    D.8 010
典例4　首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会 展中心举办.某跨国公司此次带来了高端智能家居产品参展,供购商洽谈采购此产品,并决 定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元,每生产一台需另 投入90美元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完,每万台的销售收 入为G(x)万美元,G(x)= 
(1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(利润=销售收入- 成本)(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大?并求出最大利润.
名师点评(1)分段函数模型的应用:分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间. 对每一个区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式,需注意分段函数的最值 是各区间上所得最值的最大者或最小者.(2)应用分段函数时的三个注意点:①分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏;②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集;③分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后再求各段函数值范围的并集.
(2020山东潍坊高三月考)“十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟 目标,打响了精准扶贫的攻坚战,为完成脱贫任务,某单位在甲地成立了一家 医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工,已知该公司生产某种型号医疗器械的 月固定成本为20万元,每生产1千件需另投入5.4万元,设该公司一月内生产该 型号医疗器械x千件且能全部销售完,每千件的销售收入为g(x)万元,已知g(x) = 
(1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式;(2)月产量为多少千件时,该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最 大?并求出最大月利润(精确到0.1万元).