2021年湖北省孝感市中考数学真题及答案

2021年湖北省孝感市中考数学真题及答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A． B． C．3 D．

2．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(   )

A．等边三角形 B．正六边形 C．正方形 D．圆

4．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（    ）

A．  B．  C．  D．

6．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（    ）

A．样本容量为400 B．类型D所对应的扇形的圆心角为

C．类型C所占百分比为 D．类型B的人数为120人

7．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（    ）

A．10 B．8 C．6 D．4

8．如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是____．

10．正五边形的一个内角是_____度．

11．东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，89，91，85，92，90．则这组数据的中位数为______．

12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）

13．在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是____．

14．如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，）

15．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．

16．如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____．

三、解答题

17．计算：．

18．如图，在和中，，．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

19．2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．

（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是_______；

（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率．

20．如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围．

21．如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积．

22．2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师．

甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示：

（1）共需租________辆大客车；

（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？

（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？

23．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．

24．已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，；

（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线．

①______；

②当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标．

参考答案

1．C

【分析】

依据相反数的定义求解即可．

【详解】

解：-3的相反数是3．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

2．C

【分析】

根据科学记数法的定义即可得．

【详解】

科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，

则，

故选：C．

【点睛】

本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．

3．A

【详解】

因为平行四边形是中心对称图形，而非轴对称图形；正六边形和圆既是中心对称图形也轴对称图形；等边三角形是轴对称图形而非中心对称图形，所以答案B、C、D错误，应选答案A．

4．B

【分析】

根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得．

【详解】

A、与不是同类项，不可合并，此项错误；

B、，此项正确；

C、，此项错误；

D、，此项错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键．

5．C

【分析】

根据俯视图的定义即可得．

【详解】

解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图．这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小正方形组成，

观察四个选项可知，只有选项符合，

故选：C．

【点睛】

本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．

6．C

【分析】

根据类型的条形统计图和扇形统计图信息可判断选项；利用乘以可判断选项；利用类型的人数除以样本总人数可判断选项；利用类型所在百分比乘以样本总人数即可判断选项．

【详解】

解：，则样本容量为400，选项A说法正确；

，则选项B说法正确；

，则选项C说法错误；

（人），则选项D说法正确；

故选：C．

【点睛】

本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．

7．A

【分析】

先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得．

【详解】

解：，

，

，

，

，

，

，

，

又，

是的中位线，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．

8．D

【分析】

先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．

【详解】

解：四边形是矩形，，，

，

，

由题意，分以下两种情况：

（1）当点在上，即时，

在中，，

在中，，，

，

；

（2）如图，当点在上，即时，

四边形是矩形，，

四边形是矩形，

，

，

综上，与间的函数关系式为，

观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，

故选：D．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．

9．

【分析】

根据二次根式的被开方数为非负数即可得．

【详解】

解：由二次根式的被开方数为非负数得：，

解得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键．

10．108

【分析】

根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．

【详解】

解：正五边形的一个内角度数为，

故答案为：108．

【点睛】

本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．

11．89

【分析】

根据中位数的定义即可得．

【详解】

解：将这组数据按从小到大进行排序为，

则中位数为89，

故答案为：89．

【点睛】

本题考查了中位数，熟记定义是解题关键．

12．0（答案不唯一）

【分析】

根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．

【详解】

解：由题意得：此一元二次方程根的判别式，

解得，

则的值可以是0，

故答案为：0（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

13．

【分析】

先根据直角三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可知平分，从而可得，然后根据等腰三角形的定义可得，最后根据直角三角形的性质可得，由此即可得出答案．

【详解】

解：在中，，，

，

由角平分线的尺规作图可知，平分，

，

，

，

在中，，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、含角的直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．

14．

【分析】

先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．

【详解】

解：由题意得：，

是等腰直角三角形，

，

设，则，

在中，，即，

解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
 

即建筑物的高约为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．

15．10

【分析】

先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．

【详解】

解：，

（为正整数），

，

，

，

，

则，

故答案为：10．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．

16．①②④

【分析】

先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，从而可得，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④．

【详解】

解：四边形是正方形，，

，

在和中，，

，

，

，

，

，即，结论①正确；

平分，，

，

，

，

，

，

，

，结论②正确；

，

，

，

，

即，结论③错误；

如图，过点作于点，连接，

平分，，，

，

，

由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，

由垂线段最短得：当时，取得最小值，

此时在中，，

即的最小值是，结论④正确；

综上，所有正确结论的序号是①②④，

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键．

17．0．

【分析】

先化简绝对值、计算特殊角的正弦值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得．

【详解】

解：原式，

，

．

【点睛】

本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

18．（1）证明见解析；（2）9．

【分析】

（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；

（2）根据相似三角形的性质即可得．

【详解】

证明：（1），

，即，

在和中，，

；

（2）由（1）已证：，

，

，，

，

解得或（不符题意，舍去），

则的长为9．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．

19．（1）；（2）．

【分析】

（1）根据简单事件的概率公式即可得；

（2）先画出树状图，从而可得黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果，再找出抽到的学科恰好是历史和地理的结果，然后利用概率公式即可得．

【详解】

解：（1）黄冈在第一轮随机抽取一科共有3种等可能性的结果，

则黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是，

故答案为：；

（2）将物理、化学、历史三个学科分别记为，将道德与法治、地理、生物三个学科分别记为，

画树状图如下：

由此可知，黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，抽到的学科恰好是历史和地理的结果只有1种，

则所求的概率为，

答：黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率是．

【点睛】

本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．

20．（1），；（2）．

【分析】

（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；

（2）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可得．

【详解】

解：（1）将点代入得：，

则反比例函数的解析式为；

当时，，解得，即，

将点代入得：，解得，

则一次函数的解析式为；

（2）对于一次函数，

当时，，即，

，

轴，且，

，，

，

，

，

解得．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．

21．（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）过点作于点，连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）设分别交于点，连接，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据图中阴影部分的面积等于即可得．

【详解】

证明：（1）如图，过点作于点，连接，

与相切于点，

，

平分，

，

在和中，，

，

，

是的半径，

又，

是的切线；

（2）如图，设分别交于点，连接，

的半径是1，

，

与相切于点，

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

，

，

则图中阴影部分的面积为．

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．

22．（1）11；（2）3辆；（3）3种，租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车最节省钱．

【分析】

（1）根据学生和老师的总人数、乙种客车的载客量，以及每辆汽车上至少要有一名教师进行计算即可得；

（2）设租用辆甲种型号大客车，从而可得租用辆乙种型号大客车，根据甲、乙两种型号的大客车的载客量、学生和老师的总人数建立不等式，解不等式求出的取值范围，再结合且为正整数即可得；

（3）根据（2）中的取值范围可得出租车方案，再分别求出各租车方案的费用即可得．

【详解】

解：（1）（辆）（人），（辆），

共需租11辆大客车，

故答案为：11；

（2）设租用辆甲种型号大客车，则租用辆乙种型号大客车，

由题意得：，

解得，

因为且为正整数，

所以最多可以租用3辆甲种型号大客车；

（3）由（2）可知，租用甲种型号大客车的辆数可以为辆，

则有三种租车方案：①租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；②租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；③租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车；

方案①的费用为（元），

方案②的费用为（元），

方案③的费用为（元），

所以租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车最节省钱．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的实际应用，正确建立不等式是解题关键．

23．（1）；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．

【分析】

（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；

（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；

（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．

【详解】

解：（1）由题意，当时，，

当时，，

，

，

解得，

综上，；

（2）设该产品的月销售利润为万元，

①当时，，

由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，

则当时，取得最大值，最大值为；

②当时，，

由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90，

因为，

所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；

（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），

，

设该产品捐款当月的月销售利润为万元，

由题意得：，

整理得：，

，

在内，随的增大而增大，

则当时，取得最大值，最大值为，

因此有，

解得．

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．

24．（1）；（2）；（3）①；②或．

【分析】

（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；

（2）先根据抛物线的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后分别求出的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；

（3）①先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；

②先求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．

【详解】

解：（1）将点，代入得：，

解得，

则抛物线的解析式为；

（2）由题意得：点的坐标为，

对于二次函数，

当时，，即，

设直线的解析式为，

将点，代入得：，解得，

则直线的解析式为，

，

，，

，

，即，

解得或（与不符，舍去），

故当时，；

（3）①如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，

则点的坐标为，点的横坐标为3，

设直线的解析式为，

将点，代入得：，解得，

则直线的解析式为，

由平移的性质得：直线的解析式为，

当时，，即，

，

，

故答案为：；

②由题意得：，

则设直线的解析式为，

将点代入得：，解得，

则直线的解析式为，

联立，解得，

即直线与直线的交点坐标为，

设点的坐标为，

则，解得，即，

将点代入得：，

整理得：，

解得或，

则点的坐标为或．

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．