第二章一元二次函数、方程和不等式学案

第二章一元二次函数、方程和不等式

考点1 等式性质与不等式性质

【知识要点】

1．   作差法比较两个实数大小

基本事实：a>b⇔     ，a＝b⇔     ，a<b⇔      .

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．

2．等式的基本性质

性质1　如果a＝b，那么b＝a；

性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5　如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.

3．不等式的性质

(1)对称性：如果a>b，那么    ；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔     .

(2)传递性：如果a>b，b>c，那么    .即a>b，b>c⇒     。

(3)加法法则：如果a>b，那么      .

(4)乘法法则：如果a>b，c>0，那么     ；如果a>b，c<0，那么      .

(5)同向相加法则：如果a>b，c>d，那么           .

(6)异向相减法则：如果,那么­ _____________.

(7)同向正不等式相乘法则：如果a>b>0，c>d>0，那么      .

(8)乘方法则：如果a>b>0，那么     (n∈N，n≥2)．  

(9)开方法则：如果a>b>0，那么     (n∈N，n≥2)[反证法]．

(10)取倒法则：如果a>b>0，那么____________

【例题精讲】

1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．

2．已知，，则，的大小关系是　　

A． B． C． D．

3．已知实数，满足，则下列关系恒成立的是　　

A． B． C． D．

4．下列不等式中，正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

5．若，，，则，，，按由小到大的顺序排列为　　

A． B． 

C． D．

6．已知，满足，试求的取值范围．

考点2 基本不等式

【知识要点】

1.重要不等式与基本不等式

注意：基本不等式a＋b2≥ab(a>0，b>0)

(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．

(2)“当且仅当”的含义：

①当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立， 即a＝b⇒a＋b2＝ab；

②仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立， 即a＋b2＝ab⇒a＝b.

(3)区分均值不等式和重要不等式的成立条件

2.最值定理

设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当     时，积xy有最大值，且这个值为s24.

   设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当      时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.

3.基本不等式求最值的条件（七字真言）

(1)一正：x，y必须是    ；

(2)二定：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为    ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为     .

(3)三相等：等号成立的条件是否满足.

【例题精讲】

题型1 对不等式条件的考查

1．下列结论正确的是　　

A．当时，的最小值为2 B．当且时， 

C．当时，无最大值 D．当时，

2．已知：，，，则下列说法正确的是　　

A．有最大值 B．有最小值 

C．有最大值4 D．有最小值

3．下列命题正确的是　　

A．函数的最小值是2 

B．若，且，则 

C． 的最小值是2 

D．函数的最小值为

4．下列函数中最小值为2的函数是　　

A． B． C． D．

题型2 基于不等式的简单变换

5．若，使得，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．函数的最小值是　　

A．4 B． C． D．

7．已知，则函数的最小值为　　

A． B． C．2 D．

8．已知，，，则的最小值为　　

A．2 B． C．4 D．

题型3 乘1法

9．已知直线经过定点，则的最小值是　　

A． B． C． D．3

10．已知正数，满足，则的最小值为　　

A．9 B．3 C． D．

11．已知正实数，满足，则的最小值是　　

A． B． C．2 D．

12．设，为正数，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

13．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

题型4 基于的变换

14．若，，，则的最小值　　

A． B． C．12 D．6

15．若对满足条件的任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

16．已知，且，，则的最小值是　　

A． B． C． D．

题型5 分离变换

17．若函数在处取最小值，则　　

A． B．2 C．4 D．6

18．已知函数，　　

A．有最小值 B．有最大值 

C．有最小值3 D．有最大值3

考点3 二次函数与一元二次方程、不等式

【知识要点】

1.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系

注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．

(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

2.分式不等式的解法---化分式不等式为整式不等式

3.一元二次不等式恒成立问题

（1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ＝b2－4ac<0；)

一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ＝b2－4ac≤0；)

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.)

 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.

【例题精讲】

题型1 二次函数的性质与图像

1．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：

①；

②；

③．

其中结论正确的个数为　　

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．已知函数在，上的值域为，，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

3．函数在，内递减，在，内递增，则（2）的值是　　

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

4．函数在区间，上单调递增，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

题型二2一元二次不等式的解法

5．不等式的解集为　　

A．，， B． 

C．，， D．

6．不等式的解集是　　

A． B．且 C． D．且

7．不等式的解集是　　

A． B． C．或 D．或

8．若关于的不等式的解集为，则的最小值为　　

A．9 B． C． D．

9．二次函数只有一个零点，则不等式的解集为　　

A． B． C．，或 D．，或

10．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　

A． B． 

C． D．

11．已知关于的不等式的解集为，，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．

12．已知二次函数．

（Ⅰ）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；

（Ⅱ）若，，解关于的不等式．

13．（1）求不等式的解集；

（2）求不等式的解集．

总结：一元二次不等式的解法

Step1:调正系数

Step2: 解方程

Step3:画图像

Step4 :含参时 讨论两根的大小

题型3 分式不等式

14．不等式的解集是　　

A．， B．，C．， D．，

15.解下列分式不等式：

（1）

（2）

（3）

（4）．

总结：分式不等式化分式为整式

参考答案

考点1

一．选择题（共5小题）

1．【解答】解：令，，

得选项错误，

故选：．

2．【解答】解：，，

则，

，，

，

，

故选：．

3．【解答】解：，，

．得不出，比如，；

．得不出，比如，；

．得不出，比如，都是负数；

．，，该关系恒成立．

故选：．

4．【解答】解：．得不出，比如，，该选项错误；

．，，．该选项正确；

．，，得不出，比如，，，，，，，该选项错误；

．，，得不出，比如，，，，，，．

故选：．

5．【解答】解：，

，，，

，

，

，

，，，

，

，

，

，

，，

，

，

综上可知，，

故选：．

6．【解答】解　设

．

比较、的系数，得，

从而解出，．

分别由①、②得，，

两式相加，得．

故的取值范围是，．

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考点2

1．【解答】解：当时，单调递增，故当时取得最小值，不正确；

当时，，显然不成立；

当时，单调递增，故当时取得最大值，不成立；

当时，，由基本不等式可得，当且仅当即时取等号，成立．

故选：．

2．【解答】解：，，，

，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

故选：．

3．【解答】解：对于，当时，函数的最小值是2；

当时，函数的最大值是；所以选项错误．

对于，当，且时，，，

所以，当且仅当时取“”；选项正确．

对于，因为，所以的最小值是，

当且仅当时取得最小值；选项错误．

对于，函数，

当且仅当时取“”，所以函数的最大值为；选项错误．

故选：．

4．【解答】解：对于，当时，，当且仅当时等号成立，

当时，，当且仅当时等号成立，即错误；

对于，，当且仅当时等号成立，而，即错误；

对于，，

令，则在，上单调递增，所以，即错误；

对于，，当且仅当时等号成立，即正确．

故选：．

5．【解答】解：由，使得，可得到：，

又当时，，当且仅当时取等号，

，

，

故选：．

6．【解答】解：，，

，当且仅当时取“ “，即，

故选：．

7．【解答】解：，，

，

当且仅当时取得最小值．

故选：．

8．【解答】解：，，，

，

，

，

当且仅当时取等号，

故的最小值为，

故选：．

9．【解答】解：由题意知，且，是两个不同的正数，所以，

当且仅当时，等号成立，

故的最小值是，

故选：．

10．【解答】解：正数，满足，

则，

当且仅当且即，时取等号．

故选：．

11．【解答】解：因为正实数，满足，

则，

当且仅当且即，时的最小值．

故选：．

12．【解答】解：，为正数，且，

则，

当且仅当且即，时取等号，

故选：．

13．【解答】解：，且，，，

，

当且仅当即时，等号成立，

不等式恒成立，

，化简得，，

解得，即，

的取值范围是，．

故选：．

14．【解答】解：，，，

，

则，

当且仅当且，即，时取等号，

故选：．

15．【解答】解：由可得：，

，当且仅当时取“ “，

不等式恒成立，

，

故选：．

16．【解答】解：已知，且，，则，

故，当且仅当，，等号成立．

故选：．

17．【解答】解：，

，

当且仅当即时取等号，

在处取最小值，则．

故选：．

18．【解答】解：，，

，当，即时，取等号，

有最小值3．

故选：．

考点3

1．【解答】解：设，

由图可得：且，

则，所以，所以，，①错误，②正确，

又，所以③正确，

故选：．

2．【解答】解：因为，且（1），（3），，

可得．

故选：．

3．【解答】解：根据题意可得函数对称轴，

，

即函数，

（2）．

故选：．

4．【解答】解：由于函数的对称轴方程为，

若函数在区间，上单调递增，

故有，求得，

故选：．

5．【解答】解：不等式可化为，

解得或，

所以不等式的解集为，，．

故选：．

6．【解答】解：不等式可化为，

解得且，

所以原不等式的解集是且．

故选：．

7．【解答】解：不等式对应的方程为，

解方程得或．

由不等式可化为，

即，

所以不等式的解集为或．

故选：．

8．【解答】解：关于的不等式的解集为，

，是方程的两个根，

，

，，

，

当且仅当，即，时取等号，

故选：．

9．【解答】解：二次函数只有一个零点，

△，解得，

不等式即为不等式，等价于，

解得或，

故不等式的解集为或，

故选：．

10．【解答】解：不等式的解集为，且方程的两根为与1，

，即

不等式等价于，

解得或，

不等式的解集为或，

故选：．

11．【解答】解：不等式的解集为，，

所以和2是方程的实数解，且；

由根与系数的关系知，，

所以，且；

又，，所以；

综上知，错误的结论是．

故选：．

12．【解答】解：不等式，等价于，

解得，所以不等式的解集是，．

故选：．

13．【解答】解：（Ⅰ）因为不等式的解集是，

所以和2是一元二次方程的两实数根，

【方法一】所以，

解得，；

【方法二】由一元二次方程根与系数关系，得

，

解得，；

（Ⅱ）由题意知，不等式化为，

即．

当时，不等式的解为；

当时，不等式化为，

①当，即时，

解不等式得或；

②当，即时，不等式的解为；

③当，即时，

解不等式得或．

综上述，所求不等式的解集为

当时，不等式的解集为；

当时，不等式为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或．

14．【解答】解：（1）不等式可化为，

解得或，

所以不等式的解集为或；

（2）不等式化为；

①当时，，解不等式得或；

②当时，，不等式为，解得；

③当时，，解不等式得或；

综上知，①当时，不等式的解集为或；

②当时，不等式的解集为；

③当时，不等式的解集为或

15.【解答】解：（1）原不等式可化为：

或，

解得：或；

（2）原不等式可化为：

或，

解得：；

（3）原不等式可化为：，

解得：；

（4）原不等式可化为：，

即或，

解得：或．

【点评】本题考查了解不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．

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日期：2020/12/12 16:07:02；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.com；学号：26222372