【新课标新高考】考点7 空间几何体的表面积和体积——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【新课标新高考】考点7 空间几何体的表面积和体积—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【答题技巧】

1.求空间几何体表面积的方法

（1）规则几何体的表面积可利用有关公式求解；（2）求多面体的表面积时把各个面的面积相加即可；（3）求除球外的旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，确定它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系，进而求表面积；（4）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割或补形成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求几何体的表面积.

2.求空间几何体体积的方法

（1）求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体、台体或球，则可以直接利用公式求解.

（2）求组合体的体积，若所给的几何体是组合体，则不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解.

【练习】

1.如图所示为一个大半球挖去一个小半球(两半球的球心重合)所剩几何体，且大小两半球的半径分别为4，3，则该几何体的表面积为(   )

A. B. C. D.

2.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比.在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距（正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离），斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为(   )

A. B. C.1 D.

3.为了给数学家帕西奥利的《神奇的比例》画插图，列奥纳多·达·芬奇给他绘制了一些多面体，如图的多面体就是其中之一.它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体外接球的体积等于(   )

A. B. C. D.

4.如图(1)，木楔(xiē)子在传统木工中运用得比较广泛，它使得棒卯配合的牢度得到最大化的满足，是一种简单的机械工具，是填充器物的空隙使其更加牢固的木橛、木片等.图(2)为一个木楔子的直观图，其中，四边形ABCD是长AB为4，宽AD为2的矩形， ，，， ，则该木楔子的体积为(   )

A.12 B. C. D.5

5.阿基米德立体是一种高度对称的半正多面体，并且都是可以从正多面体经过截角、截半、截边等操作构造而成.阿基米德立体的三个视图全都一样，如图是棱长为2的正方体经过截角得到的阿基米德立体的正视图，则该几何体的表面积为(   )
 

A. B. C. D.

6.如图，在长方体中，，点E，F分别在棱AD，AB上，且是线段EF的中点.过点M作线段AM的垂线交长方体的外接球于点Q，则点Q的轨迹围成的图形的面积为(   )
 

A. B. C. D.

7.2020中国国际防锈、防腐蚀技术及材料展览会于9月15日至9月19日在国家会展中心（上海）隆重举行，推动了国内防锈、防腐蚀材料的技术升级.如图为某沿海城市海边的一个石头雕塑，该雕塑是由一个体积为的圆柱形石料雕刻而成，其上方是一个半径为3m的球，下方是一个正四棱锥.雕刻时，先让球与圆柱的上底面相切并使体积达到最大，再让正四棱锥的体积达到最大，不计损耗.为测试某新型涂料防止海水侵蚀的效果，现需在该雕塑表面涂一层涂料，则需要在雕塑表面涂刷涂料的面积约为（）(   )

A. B. C. D.

8.在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”.图①是上底为a，下底为b的一个“方亭”，图②是由图①中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为，“刍甍”的体积为.若且恰好是方程的一个实根，则(   )

（台体的体积公式为）

A. B. C. D.

9.将一块边长为6的正方形纸片，先按图（1）所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（如图（2）所示），当该正四棱锥体积最大时，它的底面边长为_______________.
 

10.中国古代数学专著《九章算术》中对两种特殊的几何体“堑堵”和“阳马”有记载.“堑堵”即是底面为直角三角形，一侧棱垂直于底面的三棱锥.“阳马”即是底面为矩形有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一直三棱柱.过点A作一平面与BC平行交棱于点D，交棱于点E，平面ADE与平面ABC所成的锐角是，的最大值为2.当堑堵的体积与阳马的体积相等时，______.

11.现有一块长80cm，宽40cm的铁皮，为充分利用这块铁皮，如图有三种设计方案，先剪成扇形然后以扇形为圆锥的侧面做成无底的圆锥形容器（接口不计），比较三个方案选出铁皮利用最充分的方案，该方案做成容器后的容积为________.（铁皮厚度不计）
 

12.任意一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.像这样，表面连续变形，可变为球面的多面体称为简单多面体.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数+面数-棱数=2.正多面体的每个面都是正n边形，顶点数是V，棱数为E，面数是F，每个顶点连的棱数是m，则下面对于正多面体的描述正确的是_______________.
①在正十二面体中，满足等式：；
②在正多面体中，满足等式：；
③在三维空间中，正多面体有且仅有4种；
④以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的体积之比为；
⑤以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的表面积之比为.

13.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除，隧道也，其形体上面平而下面斜，一面与地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其体积．如图所示的五面体是一个羡除，两个梯形侧面与相互垂直，．若，梯形与的高分别为和，则该羡除的体积________；由此归纳出求羡除体积的一般公式为________．

答案以及解析

1.答案：D

解析：依题意，得大半球的球面面积为，小半球的球面面积为，圆环的面积为，所以该几何体的表面积为，故选D.

2.答案：D

解析：如图，由题可知，为黄金分割直角三角形，设，则.又，则，则，以四棱锥的高为边长的正方形的面积.正四棱锥的四个侧面是全等的，，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为.故选D.
 

3.答案：D

解析：如图，把该多面体补形为正方体，由所给多面体的棱长为2，得正方体的棱长为，正方体的中心即为多面体的外接球球心，球心到多面体顶点的距离为，即所求外接球的半径，其体积.

4.答案：B

解析：如图，设H为EF的中点，连接DH，CH由四边形ABCD为矩形，得.∠，.又，平面EFDA.由，

，，易得四边形ADHE为正方形，，为等腰直角三角形，，该木楔子的体积.故选B.
 

5.答案：C

解析：该几何体的直观图如图所示，通过正方体各棱的中点，将正方体的八个角截去，剩余的正十四面体，有8个正三角形面，6个正方形面.正十四面体的棱长为，所以6个正方形的面积之和为个正三角形的面积之和为故该几何体的表面积为.故选C.
 

6.答案：A

解析：由已知得，所以，由点M是线段EF的中点，得与过点M且与AM垂直的直线形成一个平面，过点E作，交于，过点F作交于，由，得平面，此平面与长方体的外接球的交点即为点Q的轨迹，为一圆面，球心O到此平面的距离为平面与平面的距离，为，所以截面圆的半径，所以点Q的轨迹围成的图形的面积为.

7.答案：D

解析：设圆柱的底面圆的半径为R，高为H，则由题意知，又圆柱的体积为324，所以，所以由雕刻时先让球与圆柱的上底面相切并使体积达到最大，再让正四棱锥的体积达到最大可知，正四棱锥的底面是半径为3的圆的内接正方形，且正四棱锥的高，则正四棱锥的底面边长，所以该雕塑的表面积所以需要在雕塑表面涂刷涂料的面积约为

8.答案：D

解析：本题考查空间几何体的体积.设“方亭”的高为h，则所以设则即，所以故选D.

9.答案：

解析：设正四棱锥的底面边长为a，底面对角线长为，
侧棱长为，
高为，
正四棱锥的体积是
，
，由，得.
当该正四棱锥体积最大时，它的底面边长为.

10.答案：1

解析：过点A作直线m平行于直线BC，则AC，EC都与直线m垂直，直线m与BC，DE都平行，即直线m是平面ABC与平面ADE的交线，所以，易知当E与重合时，.当点D为的中点，E为的中点时，堑堵体积与阳马体积相等，都为三棱柱体积的三分之一，此时.
 

11.答案：

解析：方案二中，，方案三中， ，所以方案二与方案三相比，方案三利用更充分，方案三中剩余，方案一中， ，所以，所以.因为，所以方案三最好，设方案三中围成的圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，所以，母线长，所以高，所以圆锥的体积.

12.答案：①⑤

解析：本题考查新定义背景下的正多面体的概念、正多面体的体积和表面积公式.
①由欧拉定理：顶点数+面数-棱数得，所以①正确.
②不妨举反例，在正六面体(正方体)中，，，，，，则，，，所以②错误.
③在三维空间中，正多面体有且仅有5种，分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示，所以③错误.

④⑤如图所示：不妨设正六面体(正方体)的棱长为2，正八面体可以看成为两个全等正四棱锥的组合体，则正四棱锥的高为1，棱长为，所以正六面体的体积为，正八面体的体积为，所以正六面体与正八面体的体积之比为6：1.正方体的表面积为，正八面体的表面积为，所以正六面体与正八面体的表面积之比为，所以④错误，⑤正确.故正确的是①⑤.

13.答案：

解析：本题以数学文化为背景，考查空间几何体的体积.在平面ABCD内，分别过A，B两点作CD的垂线，垂足分别为G，H.在平面CDEF内，分别过G，H两点作EF的垂线，垂足分别为M，N，连接AM，BN.由平面ABCD与平面CDEF相互垂直知，又易证平面平面BHN，且平面AGM，所以几何体为直三棱柱.将羡除ABCDEF分割为两个四棱锥和一个直三棱柱所以所求几何体的体积从以上求解过程可归纳出求羡除体积的一般公式为.