中考专区中考模拟测试题

这是一份中考专区中考模拟测试题，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图是小竹观察到温度计的示数，该示数的绝对值是（ ）
A．﹣9B．9C．﹣11D．11
2．小竹做实验时十分严谨，测量出此时的大气压为一个标准大气压（101300Pa），其中，101300用科学记数法可以表示为（ ）
A．10.13×104B．10.13×105C．1.013×104D．1.013×105
3．小竹将正方体小冰块摆成了如图所示的样子．如果小竹从左侧看这堆小冰块，他会看到（ ）
A．B．C．D．
4．以下是小竹在实验过程中使用的部分实验器材图．其中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．在一般实验过程中，属于随机事件的是（ ）
A．熔化过程中冰块处于固液共存态
B．用同一热源加热时，熔化前冰块升温比熔化后水升温更快
C．因为失误导致温度计破裂
D．在温度计没有损坏的情况下测出熔化后水的温度为﹣10℃
6．（4分）下列结果中运算正确的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．（sinA+csA）2＝1
C．D．（﹣π）0＝﹣1
7．（4分）已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．将AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为B'，连接BB'、CB'、AB与CB'交于点D．则经过C、A、B'三点的圆的圆心在以下哪个区域（ ）
A．①B．②C．③D．以上都错
8．（4分）《九章算术》中记载：“金有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：有等质量的黄金9枚，等质量的白银11枚，且黄金与白银的总质量相等．若将一枚黄金与一枚白银调换，此时黄金较多的一堆比白银较多的一堆轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，以O为圆心，OA为半径构造⊙O，OB的中点C恰好在⊙O上，点D是AB上一点，CD＝AD，若∠DCB的角平分线所在的直线与⊙O的另一交点为E，连接OE，则∠EOC＝（ ）
A．45°B．67.5°C．90°D．112.5°
10．（4分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝mx2，y2＝nx2，直线y＝p，且m＞n＞0，p＞0．该直线与两条抛物线的交点的横坐标从左到右分别为n1、m1、m2、n2．下列说法中正确的是（ ）
①这两条抛物线为关于原点的位似图形；
②m1+m2＝n1+n2；
③当m＝9n时，m2﹣m1＝m1﹣n1．
A．③B．①②C．②③D．①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：x2﹣6x+8＝ ．
12．（4分）“童话大王”郑渊洁曾在小说中设想这样一个软件：先预设一首歌曲，当用户演唱该歌曲时软件会自动记录下演唱的标准音，当每小节的标准音占比80%及以上时，该小节记为“标准小节”，标准小节在全曲中的占比记为“标准率”．童话人物罗克在一首歌曲的演奏过程中使用该软件，被记录下32个标准小节，全曲的标准率为20%，则该曲共有 小节．
13．（4分）童话人物皮皮鲁对上面的软件进行了改装，使其会记录下演唱过程中分别出现C大调音阶：D、Re、Mi、Fa、Sl、La、Xi的次数．罗克又唱了一首歌后，软件的显示如图所示．则下表数据的众数是 ．
14．（4分）在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）．则点D的坐标为 ．
15．（4分）麦田怪圈是指在麦田或其它田地上把农作物压平而产生出来的几何图案．如图1是小竹在网上发现的一个麦田怪圈．为了方便理解，将其绘制在纸上并做出草稿如图2，请结合小竹的草稿思考，若有一只小鸟随机落在该圈中，则它落在阴影区域的概率是 .
16．（4分）设A，B是反比例函数图象上连线经过原点的任意两点，现有以下结论：
①在该反比例函数上总存在两个不同于A，B的点到原点的距离等于A，B到原点的距离；
②在该反比例函数上总存在两个不同于A，B的点到点A的距离等于点B到点A的距离；
③对于每个给定的实数k，总不存在点B到点A的距离长度等于实数k的大小；
④对于每个给定的实数k，总不存在点K1（k，0）、K2（0，k）满足△ABK1或△ABK2是等腰直角三角形．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程组：．
18．如图，已知△ABC．将边BC平移，使点B与点A重合，点C的对应点设为D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E恰好落在AC上，设DE与AB交于点F，连接AD．
（1）求证：四边形ACBD是平行四边形；
（2）求的值．
21．“古田会议永放光芒！”古田会议是中国共产党历史上的一次重要会议，它确定的思想建党、政治建军的原则，为后来的农村包围城市、武装夺取政权道路思想的形成、发展和成功实践奠定了基础，是党领导下的军队建设史上的重要里程碑．为了献礼党的百年华诞，某市教育局组织学生参与红色研学活动，参观古田会议旧址．请以此为背景，解答问题：
（一）为了让学生体验军旅生活，培养学生劳动实践能力，老师在古田会议旧址附近带领同学们用炊具烧制开水．如图，是水的温度随时间变化的图象．烧水过程中的图象可看成一部分二次函数T＝at2+bt+c（顶点T已标出），烧制后将开水放凉过程的图象可看成一部分反比例函数．已知此时当地的气温为26°C，适合人类饮用的水温约36°C，不计其他因素与沸腾后持续吸热的时间，求：
（1）该二次函数与反比例函数的解析式；
（2）水温从沸腾降至适合饮用温度所耗的时间．
（二）教育局发布“记古田会议红色研学活动，迎中国共产党百年华诞”征文比赛．现从往年参与其他征稿活动的作文中随机抽取100篇，统计其字数与得分（以满分为60分记），得到如下统计表：
（1）如果往年收到作文的篇数共有37000篇，试估计其中字数高于600字的篇数；
（2）根据以上两个表格分析，是否存在作文字数越多得分就越高的现象？（合理即可）
（3）在本次研学活动后，同学们纷纷表示受益匪浅，比往年更加用心写作并踊跃参与投稿．为了激发学生学习信心，教育局对作文得分在m分以上的学生给予“鼓励奖”．若教育局希望至少有一半的同学得到“鼓励奖”，以往年学生作文分数的平均数作为m是否能达到教育局的要求？若能，请说明理由；若不能，请给出一个满足条件的m的值．（计算时代入组中值即可）
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△DAE，且点E恰好落在线段AB上．
（1）依照题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程与做法）；
（2）若点P是DE上一点，CE、AP的延长线相交于点F，若∠APE＝∠DBE，求证：B、F、D三点共线．
23．如图，已知⊙O，点A在圆上过直径的直线l上方运动，点A、B关于直线l对称，连接并延长AO与圆交于点C，作BD⊥AC与AC交于点E，与直线l交于点P，与⊙O交于点D，连接CD，CP．
（1）求证：△ABD∽△PAB；
（2）如图1，若PC⊥l，请写下AP2、BE2、PD2之间的关系并求证；
（3）如图2，将△APD沿AD翻折至⊙O所在的平面内，点P的对应点为P'，试探究在点A的运动过程中，直线DP'与⊙O的位置关系并说明理由．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2（m≠0）与直线l1：y＝x+m交于A、B两点，点B在点A右侧．点M（m，p）在直线l1上，点N与点M关于y轴对称，线段MN与y轴交于点P．
（1）试求出m，p的关系式．
（2）直线AP、BP分别与抛物线交于点C，D．
①是否存在一个实数m满足BD∥x轴？若存在，请求出此时m的大小；若不存在，请说明理由；
②求证：对于每个给定的实数m，总有C、D、N三点共线．
2021年福建省竺数备考中考数学猜题试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题0分，共40分．
1．如图是小竹观察到温度计的示数，该示数的绝对值是（ ）
A．﹣9B．9C．﹣11D．11
【分析】观察温度计的示数，这个示数在0℃以下，这个示数为﹣9，所以绝对值为9．
【解答】解：观察温度计，这个示数为﹣9，
所以该示数的绝对值为9，
故选：B．
2．小竹做实验时十分严谨，测量出此时的大气压为一个标准大气压（101300Pa），其中，101300用科学记数法可以表示为（ ）
A．10.13×104B．10.13×105C．1.013×104D．1.013×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数101300用科学记数法表示为1.013×105．
故选：D．
3．小竹将正方体小冰块摆成了如图所示的样子．如果小竹从左侧看这堆小冰块，他会看到（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形进行判断即可．
【解答】解：从左边看，共有两列，每列的小正方形的个数分别为2，
故选：C．
4．以下是小竹在实验过程中使用的部分实验器材图．其中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
5．在一般实验过程中，属于随机事件的是（ ）
A．熔化过程中冰块处于固液共存态
B．用同一热源加热时，熔化前冰块升温比熔化后水升温更快
C．因为失误导致温度计破裂
D．在温度计没有损坏的情况下测出熔化后水的温度为﹣10℃
【分析】根据随机事件的概念即可判断．
【解答】解：熔化过程中冰块处于固液共存态是必然事件，
∴A不合题意，
用同一热源加热时，熔化前冰块升温比熔化后水升温更快是不可能事件，
∴B不合题意，
因为失误导致温度计破裂是随机事件，
∴C符合题意，
在温度计没有损坏的情况下测出熔化后水的温度为﹣10℃是不可能事件，
∴D不合题意，
故选：C．
6．（4分）下列结果中运算正确的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．（sinA+csA）2＝1
C．D．（﹣π）0＝﹣1
【分析】根据平方差公式对各项逐一计算可得答案．
【解答】解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，计算正确，符合题意；
B．sin2A+cs2A＝1，计算不正确，不合题意；
C．（﹣）2＝，计算不正确，不合题意；
D．（﹣π）0＝1，计算不正确，不合题意．
故选：A．
7．（4分）已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．将AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为B'，连接BB'、CB'、AB与CB'交于点D．则经过C、A、B'三点的圆的圆心在以下哪个区域（ ）
A．①B．②C．③D．以上都错
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故分别画出AC，AB'的垂直平分线，交点为O即可．
【解答】解：如图，分别画出AC，AB'的垂直平分线，交点为O，
根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴OA＝OC＝OB'，
则点O即为经过C、A、B'三点的圆的圆心，
故选：D．
8．（4分）《九章算术》中记载：“金有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：有等质量的黄金9枚，等质量的白银11枚，且黄金与白银的总质量相等．若将一枚黄金与一枚白银调换，此时黄金较多的一堆比白银较多的一堆轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
根据题意得：．
故选：A．
9．（4分）在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，以O为圆心，OA为半径构造⊙O，OB的中点C恰好在⊙O上，点D是AB上一点，CD＝AD，若∠DCB的角平分线所在的直线与⊙O的另一交点为E，连接OE，则∠EOC＝（ ）
A．45°B．67.5°C．90°D．112.5°
【分析】如图，延长EC交BD于F，连接AC，先根据直角三角形斜边中线的性质得：AC＝OB＝OC，证明△OAC是等边三角形，所以∠OAC＝∠OCA＝60°，由此得∠OCD＝90°＝∠DCB，再根据角平分线定义和对顶角相等可得∠OCE＝45°，最后由同圆的半径相等和三角形内角和定理可得结论．
【解答】解：如图，设∠DCB的角平分线交BD于F，连接AC，
∵∠OAB＝90°，C是OB的中点，
∴AC＝OB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴∠OCD＝60°+30°＝90°＝∠DCB，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠OCE＝45°，
∵OC＝OE，
∴∠E＝∠OCE＝45°，
∴∠COE＝90°．
故选：C．
10．（4分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝mx2，y2＝nx2，直线y＝p，且m＞n＞0，p＞0．该直线与两条抛物线的交点的横坐标从左到右分别为n1、m1、m2、n2．下列说法中正确的是（ ）
①这两条抛物线为关于原点的位似图形；
②m1+m2＝n1+n2；
③当m＝9n时，m2﹣m1＝m1﹣n1．
A．③B．①②C．②③D．①②③
【分析】根据m＞n＞0可知这两条抛物线不可能为位似图形，可判断①；由y1＝mx2，y2＝nx2可知两条抛物线的对称轴均为直线x＝0，从而，＝0，可判断②；当m＝9n时，将分别令y1＝p，y2＝p，即可得到m2﹣m1＝m1﹣n1，可判断③．
【解答】解：∵m＞n＞0可知这两条抛物线开口大小不同，即形状不同，
∴这两条抛物线不可能位似图形，故①错误，
∵y1＝mx2，y2＝nx2的对称轴均为直线x＝0，
∴，＝0，
∴m1+m2＝n1+n2，故②正确，
当m＝9n时，
令y1＝p，则mx2＝9nx2＝p，
解得：x＝或﹣，
∴m1＝﹣、m2＝，
∴m2﹣m1＝，
令y2＝p，则nx2＝p，
解得：x＝或﹣，
∴n1＝﹣，
∴m1﹣n1＝，
∴m2﹣m1＝m1﹣n1，故③正确．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：x2﹣6x+8＝ （x﹣2）（x﹣4） ．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2）（x﹣4）．
故答案为：（x﹣2）（x﹣4）．
12．（4分）“童话大王”郑渊洁曾在小说中设想这样一个软件：先预设一首歌曲，当用户演唱该歌曲时软件会自动记录下演唱的标准音，当每小节的标准音占比80%及以上时，该小节记为“标准小节”，标准小节在全曲中的占比记为“标准率”．童话人物罗克在一首歌曲的演奏过程中使用该软件，被记录下32个标准小节，全曲的标准率为20%，则该曲共有 160 小节．
【分析】用标准小节÷“标准率”，即可得到全曲小节．
【解答】解：32÷20%＝160，
故答案为：160．
13．（4分）童话人物皮皮鲁对上面的软件进行了改装，使其会记录下演唱过程中分别出现C大调音阶：D、Re、Mi、Fa、Sl、La、Xi的次数．罗克又唱了一首歌后，软件的显示如图所示．则下表数据的众数是 D ．
【分析】根据众数的定义结合条形统计图，即可得出结果．
【解答】解：∵D的次数为71，次数最多，
∴数据的众数为D，
故答案为：D．
14．（4分）在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）．则点D的坐标为 （4，0） ．
【分析】根据菱形的性质即可求得D点的坐标．
【解答】解：∵点A（0，4），点B（﹣4，0），C（0，﹣4），
∴OA＝4，OB＝4，OC＝4，
∴AB＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∴OD＝4，
∴D（4，0），
故答案为：（4，0）．
15．（4分）麦田怪圈是指在麦田或其它田地上把农作物压平而产生出来的几何图案．如图1是小竹在网上发现的一个麦田怪圈．为了方便理解，将其绘制在纸上并做出草稿如图2，请结合小竹的草稿思考，若有一只小鸟随机落在该圈中，则它落在阴影区域的概率是 .
【分析】根据扇形的面积公式，用阴影部分的面积除以大圆的面积去计算小鸟落在阴影区域的概率．
【解答】解：小鸟落在阴影区域的概率＝＝＝．
故答案为．
16．（4分）设A，B是反比例函数图象上连线经过原点的任意两点，现有以下结论：
①在该反比例函数上总存在两个不同于A，B的点到原点的距离等于A，B到原点的距离；
②在该反比例函数上总存在两个不同于A，B的点到点A的距离等于点B到点A的距离；
③对于每个给定的实数k，总不存在点B到点A的距离长度等于实数k的大小；
④对于每个给定的实数k，总不存在点K1（k，0）、K2（0，k）满足△ABK1或△ABK2是等腰直角三角形．
其中正确的是 ①② ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】先直接由两点间的距离关系判定①②，再设点A与点B的坐标，然后表示线段AB、AK1、BK1、AK2、BK2的长度，进而判断③④．
【解答】解：①∵题中对点A与点B的位置没有特殊要求，
∴必然存在两个点到原点的距离等于A、B到原点的距离，故①正确，符合题意；
②∵点A所在曲线上必定有两个点到A点的距离等于点B到点A的距离，
∴该反比例函数上总存在两个不同于A，B的点到点A的距离等于点B到点A的距离，故②正确，符合题意；
③当k＜0时，③显然不成立，
当k＞0时，设A（x，），则B（﹣x，﹣），
∴AB＝＝＞0，
∴③错误，不符合题意；
④由③可得：AB＝，
当△ABK1为等腰直角三角形时，
∵点K1（k，0），
∴AK1＝，BK1＝，
显然，AK1≠BK1，
当AK1＝AB时，AK12+AB2＝BK12，
，
解得：或，
同理可得，当△ABK2是等腰直角三角形时，
或，
∴可能存在实数k使得上式成立，故④错误，
∴正确的说法有①②．
故答案为：①②．
三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程组：．
【分析】先去分母，化简成一般式，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：原式．
化简得：，
①+②，得：6x＝30，
解得x＝5，
将x＝5代入②，得：15+y＝3，
∴y＝﹣12，
∴方程组的解为．
18．如图，已知△ABC．将边BC平移，使点B与点A重合，点C的对应点设为D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据平移的性质得出BC＝AD，进而得出BC∥AD，利用平行四边形的判定解答即可．
【解答】证明：由平移性质得：BC＝AD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
19．先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】解：原式＝•﹣1
＝•﹣1
＝﹣1
＝﹣1
＝
＝，
当x＝2+时，
原式＝＝．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E恰好落在AC上，设DE与AB交于点F，连接AD．
（1）求证：四边形ACBD是平行四边形；
（2）求的值．
【分析】（1）由AB＝AC和旋转的旋转可得BD＝AB＝AC，再证明BD∥AC，即可证明结论；
（2）先证明△EBF∽△EDB，得，设EF＝x，DF＝BE＝BF＝y，代入比例式后，解出的值即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
由旋转可知：BD＝AB＝AC，BC＝BE，∠DBE＝∠ABC＝72°，
∴∠BEC＝∠C＝72°，
∴∠EBC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠DBC＝72°+36°＝108°，
∴∠DBC+∠C＝108°+72°＝180°，
∴DB∥AC，
∵DB＝AC，
∴四边形ACBD是平行四边形；
（2）解：∵∠EBF＝∠ABC﹣∠EBC＝72°﹣36°＝36°，∠EDB＝∠BAC＝36°，
∴∠EBF＝∠EDB＝36°，
∴∠DBF＝36°，
∴∠DBF＝∠EDB，
∴BF＝DF
∵∠BFE＝36°+36°＝72°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BF＝BE，
∵∠FEB＝∠BED，
∴△EBF∽△EDB，
∴得，
设EF＝x，DF＝BE＝BF＝y，
∴，
∴x2+xy﹣y2＝0，
∴，
解得：＝或（不符合题意，舍去），
∴＝＝．
21．“古田会议永放光芒！”古田会议是中国共产党历史上的一次重要会议，它确定的思想建党、政治建军的原则，为后来的农村包围城市、武装夺取政权道路思想的形成、发展和成功实践奠定了基础，是党领导下的军队建设史上的重要里程碑．为了献礼党的百年华诞，某市教育局组织学生参与红色研学活动，参观古田会议旧址．请以此为背景，解答问题：
（一）为了让学生体验军旅生活，培养学生劳动实践能力，老师在古田会议旧址附近带领同学们用炊具烧制开水．如图，是水的温度随时间变化的图象．烧水过程中的图象可看成一部分二次函数T＝at2+bt+c（顶点T已标出），烧制后将开水放凉过程的图象可看成一部分反比例函数．已知此时当地的气温为26°C，适合人类饮用的水温约36°C，不计其他因素与沸腾后持续吸热的时间，求：
（1）该二次函数与反比例函数的解析式；
（2）水温从沸腾降至适合饮用温度所耗的时间．
（二）教育局发布“记古田会议红色研学活动，迎中国共产党百年华诞”征文比赛．现从往年参与其他征稿活动的作文中随机抽取100篇，统计其字数与得分（以满分为60分记），得到如下统计表：
（1）如果往年收到作文的篇数共有37000篇，试估计其中字数高于600字的篇数；
（2）根据以上两个表格分析，是否存在作文字数越多得分就越高的现象？（合理即可）
（3）在本次研学活动后，同学们纷纷表示受益匪浅，比往年更加用心写作并踊跃参与投稿．为了激发学生学习信心，教育局对作文得分在m分以上的学生给予“鼓励奖”．若教育局希望至少有一半的同学得到“鼓励奖”，以往年学生作文分数的平均数作为m是否能达到教育局的要求？若能，请说明理由；若不能，请给出一个满足条件的m的值．（计算时代入组中值即可）
【分析】（一）（1）设成顶点式，代入（0，28）求得；代入（3，98）求得反比例函数解析式；
（2）将T＝26代入反比例函数解析式求得．
（二）（1）求出样本的高于600字的百分比，作为总体的百分比，用来计算；
（2）根据字数多和分值高的篇数大致是相近的即可判断结论；
（3）选取中值（中位数）作为依据．
【解答】解：（一）（1）当0≤t≤3时，设T＝a（x﹣3）2+98，
把t＝0，T＝28 代入得：9a+98＝28，
∴a＝﹣，
∴T＝﹣（t﹣3）2+98，
当t＞3时，
把t＝3，T＝98代入T＝得：k＝98×3＝294，
∴T＝；
（2）当T＝36时，
＝36，
∴t＝8，
8﹣3＝5min，
答：水温从沸腾降至适合饮用温度所耗的时间是5min；
（二）（1）37000×＝13320；
（2）存在，因为字数多和分值高的篇数大致是相近的；
（3）平均数m＝×（40.5×19+46×31+50.5×26+54×14+57×8+59.5×2）＝49.775，
∵得分高于平均数m的人数少于50人，
∴平均数m不能作为人数至少有一半的同学得到“鼓励奖”的依据，可选m＝＝48.25分．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△DAE，且点E恰好落在线段AB上．
（1）依照题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程与做法）；
（2）若点P是DE上一点，CE、AP的延长线相交于点F，若∠APE＝∠DBE，求证：B、F、D三点共线．
【分析】（1）如图，取AE＝AC，然后过点E作DE⊥AB，取DE＝BC即可；
（2）根据三角形内角和为180°可证∠DFP＝∠DEB，然后借助四边形内角和是360°即可证明．
【解答】解：（1）如图所示，△DAE即为所求．
（2）∵∠APE＝∠DBE，且∠APE＝∠DPF，
∴∠DPF＝∠DBE，
∵∠FDE+∠DPF+∠DFP＝180°，
∠BDE+∠DEB+∠DBE＝180°，
∴∠DFP＝∠DEB，
在四边形BEPF中，
∠DEB+∠BFP＝360°﹣（∠DBE+∠EPF）＝360°﹣（∠DPF+∠EPF）＝180°，
∴∠DFP+∠BFP＝180°，
∴B、F、D三点共线．
23．如图，已知⊙O，点A在圆上过直径的直线l上方运动，点A、B关于直线l对称，连接并延长AO与圆交于点C，作BD⊥AC与AC交于点E，与直线l交于点P，与⊙O交于点D，连接CD，CP．
（1）求证：△ABD∽△PAB；
（2）如图1，若PC⊥l，请写下AP2、BE2、PD2之间的关系并求证；
（3）如图2，将△APD沿AD翻折至⊙O所在的平面内，点P的对应点为P'，试探究在点A的运动过程中，直线DP'与⊙O的位置关系并说明理由．
【分析】（1）由轴对称的性质和垂径定理证明△ABD与△PAB有两组对应角相等，从而证明△ABD∽△PAB；
（2）先证明△COP≌△AOF，得到CP＝AF＝BF，再证明△ABD∽△PAB，得到BE＝2PE，PE＝BE，以及PE＝PD，即可证得结论AP2＝BE2＝9PD2；
（3）按点P在⊙O内、⊙O上、⊙O外分类讨论，根据等腰三角形的性质、圆周角定理及轴对称的特征，证明∠ODP′＝90°，从而证明如果DP′存在，则DP′是⊙O的切线．
【解答】（1）证明：如图1，∵A、B关于直线l对称，
∴l为AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠ABD＝∠PAB；
∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴BE＝DE，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠PBA，
∴△ABD∽△PAB．
（2）AP2＝BE2＝9PD2，
证明：如图1，设AB交直线l于点F，
∵PC⊥l，
∴∠PCO＝∠AFO＝90°，
∵∠COP＝∠AOF，OC＝OA，
∴△COP≌△AOF（AAS），
∴CP＝AF＝BF，
∵AB∥PC，
∴△AEB∽△CEP，
∴，
∴BE＝2PE，PE＝BE，
∵BE＝DE，
∴PE＝DE＝（PE+PD），
∴PE＝PD，
∴BE＝2PD，PD＝BE，
∴BE2＝4PD2，PD2＝BE2，
∴AP2＝BP2＝（BE+PE）2＝（BE+PD）2＝BE2+PD2+2BE•PD＝BE2+PD2+2×2PD•PD，
∴AP2＝BE2+5PD2，
∴AP2＝BE2＝9PD2．
（3）DP'如果存在，则DP'与⊙O相切.
理由：如图2，点P在⊙O内，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°；
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵∠OCD＝∠ABD，
∴∠ODC＝∠ADB，
由翻折得，∠ADP′＝∠ADB，
∴∠ADP′＝∠ODC，
∴∠ODP′＝∠ADO+∠ADP′＝∠ADO+∠ODC＝∠ADC＝90°，
∵DP'经过⊙O的半径OD的外端，且DP′⊥OD，
∴DP′是⊙O的切线，
∴DP'与⊙O相切；
如图3，点P在圆上，则点D与点P重合，此时不存在△APD，
∴不存在△APD翻折及点P′，
∴直线DP'不存在；
如图4，点P在圆外，
∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠CAB＝∠CAD＝∠CBD，
由翻折得，∠ADP′＝∠ADP＝∠DAB+∠ABD＝∠CAB+∠CAD+∠ABD，
∵∠CAB+∠CAD+∠ABD＝∠CAB+∠CBD+∠ABD＝∠CAB+∠ABC，
∴∠ADP′＝∠CAB+∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP′＝∠CAB+90°，
∵∠ADP′＝∠CDP′+∠ADC＝∠CDP′+90°，
∴∠CDP′+90°＝∠CAB+90°，
∴∠CDP′＝∠CAB＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠CDP′＝∠ODA，
∴∠ODP′＝∠ODC+∠CDP′＝∠ODC+∠ODA＝∠ADC＝90°，
∵DP'经过⊙O的半径OD的外端，且DP′⊥OD，
∴DP′是⊙O的切线，
∴DP'与⊙O相切，
综上所述，DP'如果存在，则DP'与⊙O相切．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2（m≠0）与直线l1：y＝x+m交于A、B两点，点B在点A右侧．点M（m，p）在直线l1上，点N与点M关于y轴对称，线段MN与y轴交于点P．
（1）试求出m，p的关系式．
（2）直线AP、BP分别与抛物线交于点C，D．
①是否存在一个实数m满足BD∥x轴？若存在，请求出此时m的大小；若不存在，请说明理由；
②求证：对于每个给定的实数m，总有C、D、N三点共线．
【分析】（1）把点M代入直线l1的解析式即可确定m和p的关系；
（2）①当BD∥x轴，说明点B，D，M的纵坐标相同，由于点B在直线l1上，先用含m的式子表示出点B，再由点B在抛物线上，列出关于m的方程，若方程有解，则m存在，否则不存在；
②先设出点A和B的坐标，再用点A和B的坐标表示出点C和D的坐标，由根与系数的关系的关系确定直线CD的解析式，把点N代入直线CD的解析式即可．
【解答】解：（1）∵点M在直线l1上，
∴p＝，
∴p＝m+1；
（2）①不存在，
当BD∥x轴时，点B，P，D的纵坐标相同，
由（1）知点P（0，m+1），
∴点B的纵坐标为m+1，
又∵点B在直线l1上，
∴m+1＝，
解得x＝m，
∴B（m，m+1），
∵点B在抛物线上，
∴m+1＝＝m，此方程无解，
∴m不存在；
②证明：设点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），
联立直线l1和抛物线的解析式得：
，
即x2﹣x﹣m2＝0，
由根与系数的关系可得：
，
由（1）知点P（0，m+1），N（﹣m，m+1），
设直线AC的解析式为y＝kx+m+1，
联立直线AC和抛物线的解析式得：x2﹣kmx﹣m2﹣m＝0，
由根与系数的关系得：，
∴，k＝，
∴＝，
同理可得：，，
设直线CD的解析式为y＝nx+b，
则n＝＝[]÷（），
化简得n＝，
把点C，D代入y＝x+b，
得：，
两式相加得：，
即：，
解得b＝，
∴直线CD的解析式为y＝，
当x＝﹣m时，y＝＝m+1，
∴点N在直线CD上，
∴C，D，N三点共线．
字数/字
300﹣400
401﹣500
501﹣600
601﹣700
701﹣800
801﹣900
篇数/篇
24
19
21
17
12
7
分数/得分
38﹣43
44﹣48
49﹣52
53﹣55
56﹣58
59﹣60
组中值（上下限之间的中点数值）
40.5
46
50.5
54
57
59.5
篇数/篇
19
31
26
14
8
2
字数/字
300﹣400
401﹣500
501﹣600
601﹣700
701﹣800
801﹣900
篇数/篇
24
19
21
17
12
7
分数/得分
38﹣43
44﹣48
49﹣52
53﹣55
56﹣58
59﹣60
组中值（上下限之间的中点数值）
40.5
46
50.5
54
57
59.5
篇数/篇
19
31
26
14
8
2