广西桂林市第十八中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

桂林十八中2020-2021学年度20级高一上学期期中考试卷

数学

注意事项：

①试卷共4页，答题卡2页.考试时间120分钟，满分150分；

②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；

③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一.选择题（本题包括12小题.每小题只有一个选项符合题意.每小题5分，共60分）

1. 已知集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的交并补公式，直接代入求解即可.

【详解】先求，

.

故选：A.

【点睛】本题考查了集合的交并补运算，在高考中属于送分题，属于简单题.

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分母不等于零，对数的真数大于零联解即可.

【详解】由题得∴

所以函数的定义域为：

故选：D

3. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（    ）

A. y＝ B. y＝

C. y＝ D. y＝

【答案】A

【解析】

【分析】

画出每个函数的图象，即得解.

【详解】y＝＝，y＝＝，y＝，y＝，它们的图象如图所示:

由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．

故选：A.

【点睛】本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4. 函数的零点所在的一个区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数的单调性结合零点存在性定理，即得结果.

【详解】由题意，函数在R上单调递增，且，，故函数有且只有一个零点，在区间上.

故选：B.

5. 下列命题正确的是（    ）

A. 棱柱的底面一定是平行四边形 B. 棱锥的底面一定是三角形

C. 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

【答案】D

【解析】

【分析】

对于选项棱柱的底面不一定是平行四边形，所以该选项错误；

对于选项，棱锥的底面不一定是三角形，所以该选项错误；

对于选项，棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥，所以该选项错误；

对于选项，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，所以该选项正确.

【详解】对于选项棱柱的底面也可以是三角形，五边形等，不一定是平行四边形，所以该选项错误；

对于选项，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形，五边形等，所以该选项错误；

对于选项，棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥，所以该选项错误；

对于选项，棱柱被平面分成两部分可以都是棱柱，所以该选项正确.

故选：D

6. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

7. 已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据三棱锥的三视图得到直观图，再求其体积即可.

【详解】依题意可知，该三棱锥的直观图如下：

平面，，，边上高为2，

故体积

故选：C.

9. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据单调性列二次函数的对称轴和区间端点之间的关系，计算即得结果.

【详解】函数，开口向上，对称轴为，由在上单调递减，得，即，故.

故选：C.

10. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）附：

A. 10% B. 20% C. 50% D. 100%

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，计算出的值即可；

【详解】当时，，当时，，

因为

所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，

故选：B.

【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.

11. 已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函数和的图象，观察图象可得结果.

【详解】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

12. 若(为自然对数的底数)，则函数的最大值为（    ）

A. 6 B. 13 C. 22 D. 33

【答案】B

【解析】

【分析】

先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上最大值即可.

【详解】由及知，故定义域为，

又

令，则，易见y在上单调递增，

故当时，即时，.

故选：B.

【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二.填空题（本题包括4题.共20分）

13. 设函数，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

直接根据分段函数解析式代入求值即可；

【详解】因为，所以，所以

故答案为：

14. 已知地球的半径约为6372公里，地球的体积大约是火星的8倍，则火星的半径约为__________公里.

【答案】

【解析】

【分析】

先利用体积之比求得半径之间的关系，再计算即得结果.

【详解】设地球的半径是R，火星的半径是r，则地球的体积，火星的体积，

依题意知，即，故，即，而，

故.

故答案为：.

15. 已知，则________________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用配凑法，将等式右边的表达式凑成的形式，然后将整体换成即可得到答案

【详解】，

，

故答案为

【点睛】本题主要考查了复合函数解析式的求法，采取的方法一般是利用配凑法或者换元法来解决，属于基础题．

16. 设，给出四个判断：①；②；③；④.其中正确判断的序号是_______.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

利用对数函数的单调性判断①②的正确性，利用对数的运算判断③④的正确性.

【详解】,所以①正确；

因为

，所以②不正确；

③，所以，

，所以正确；

④由于，所以正确.

故答案为：①③④.

【点睛】本题解题关键是对数函数单调性比较大小和对数性质的灵活应用，尤其是换底公式和常用式的灵活转化.

三.解答题（本题包括6题，第17题10，第18题至22题每小题12分，共70分）

17. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）5；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用指数的运算性质化简计算即得结果；

（2）利用对数的运算法则化简计算即得结果.

【详解】解：（1）；

（2）.

18. 已知集合，，.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先解一元二次不等式化简集合B，再进行并集运算即可；

（2）由列不等关系，解得参数范围即可.

【详解】解：（1）由，得或，所以或，

所以或；

（2）若，则需，解得，

故实数的取值范围为.

19. 已知偶函数，当时，.

（1）请在下图中做出的图象，并写出的解析式；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）图象见解析，；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）令，则，，即可写出分段函数的解析式，利用二次函数的性质作出分段函数图象即可求解；

（2）易知即，所以或，即可求解.

【详解】（1）如右图，

当时，，

所以；

因为偶函数，所以，

所以，

所以当时，.

综上.

（2）易知即，又是偶函数，

所以，

所以或，

解得：或.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是令，则，

，即可求的解析式，第二问利用偶函数的性质可得.

20. 某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：年月份第（，）天的单件销售价格（单位：元,第天的销售量（单位：件）为常数），且第天该商品的销售收入为元（销售收入销售价格销售量）.

（1）求m的值；

（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？

【答案】（1）；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元．

【解析】

【分析】

（1）利用分段函数，直接求解．推出的值．（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可．

【详解】（1）销售价格第天的销售量（单位：件）为常数），

当时，由，

解得．

（2）当时，

，

故当时，，

当时，，

故当时，，

因为，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元．

【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

21. 已知函数.

（1）当时，判断并证明的单调性；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据函数单调性定义，判断当时，即可；

（2）法一：根据函数得到解析式，解关于的二次型不等式即可.

法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将转化为解，分，，，讨论使得成立时的范围为其解集.

【详解】解：（1）设，

则

因为，

所以，

所以在上单调递增.

（2）法一：原不等式可化为，

即，

所以，

当时，，不合题意，舍去；

当时，只需解，可化为，所以.

综上所述，不等式的解集为.

法二：由（1）的解答过程知在上单调递减，在上单调递增，

又为奇函数，，

所以，

当时，，与上式矛盾，故舍去；

当时，上式成立；

当时，，则，与上式矛盾，故舍去；

当时，，则，与上式矛盾，故舍去；

综上所述，不等式的解集为.

【点睛】确定函数单调性的四种方法：

（1）定义法：利用定义判断；

（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；

（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；

（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.

22. 已知函数

（1）若值域为，且恒成立，求的解析式；

（2）若的值域为，

①当时，求b的值；

②求b关于a的函数关系.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

【分析】

（1）由对称轴求得，再由最小值求得得解析式；

（2）①先求出最小值，然后由时，的最小值是0可求得；

②同①先求出的最小值，令，问题转化为在上的最小值是0，根据二次函数性质分类讨论求最小值后可得关系．

【详解】解：对称轴为，在上单调递减，在上单调递增.

（1）因为恒成立，

所以对称轴为，故，

因为值域为，，

解得，所以.

（2）①，设，

则，.

当即时，，舍去.

当即时，，

解得（舍）或，综上所述，.

②，记，

设，.

若，时，，不合题意，

∴，．即．

若，当时，，矛盾．

∴，在上单调递增，，

所以，，

所以（若，则与矛盾）

所以，即.

综上所述，.

【点睛】关键点点睛：本题考查求二次函数的解析式，求二次函数的最值．在已知函数最小值时，解题关键是设，先由二次函数性质求得的范围，同时设，然后再转化函数在上的最小值为0，由此再利用二次函数性质求解．通过换元，再次应用二次函数．通过转化实现了问题的解决．