云南昆明市高三上学期摸底统测数学（理）试卷（带解析）

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云南昆明市高三上学期摸底统测

数学（理）试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)

请点击修改第I卷的文字说明

1．设集合,则（ ）

A．    B．

C．    D．

2．已知复数满足,则（   ）

A．                   B．                    C．                  D．

3．已知向量,若,则（   ）

A．                         B．                          C．                 D．

4．执行如图所示的程序框图,如果输入的,那么输出的值等于（ ）

A．    B．    C．    D．

5．已知函数是奇函数, 当时,, 则（   ）

A．                         B．                      C．                     D．

6．如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若府视图中扇形的面积为, 则该几何体的体积等于（ ）

A．    B．    C．    D．

7．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为, 若直角三角形的两条直角边的长分别为,则（ ）

A．    B．    C．    D．

8．为了得到函数的图象, 可以将函数的图象（ ）

A．向左平行移动个单位

B．向右平行移动个单位

C．向左平行移动个单位

D．向右平行移动个单位

9．点分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且,则的面积为（ ）

A．    B．    C．    D．

10．已知数列满足:, 则（   ）

A．                      B．                       C．                    D．

11．已知函数,若存在实数,当时,恒成立, 则实数的取值范围是（ ）

A．    B．

C．    D．

12．在平面直角坐标系中, 以为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点, 点分别在线段上, 若,与圆相切, 则的最小值为（   ）

A．                  B．

C．           D．

第II卷（非选择题)

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13．若满足约束条件,则的取值范围是        ．

14．中,边上的中线等于,且,则        ．

15．如图, 在正方体中,, 过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为        ．

16．设点分别是曲线和直线上的动点, 则两点间的距离的最小值是        ．

17．已知数列的前项和为,．

（1）求数列的通项公式；

（2）若,求．

18．如图, 四棱锥中, 平面平面,为线段上一点,为的中点．

（1）证明:平面；

（2）求二面角的正弦值．

19．（题文）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

该公司从注册的会员中, 随机抽取了位进行统计, 得到统计数据如下:

假设汽车美容一次, 公司成本为元, 根据所给数据, 解答下列问题:

（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；

（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；

（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为元, 求的分布列和数学期望．

20．（题文）已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．

（1）求的值；

（2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．

21．已知函数,曲线在点处的切线方程为．

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）用表示不超过实数的最大整数, 如:, 若时,,求的最大值．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中, 直线经过点,倾斜角．

（1）写出曲线直角坐标方程和直线的参数方程；

（2）设与曲线相交于两点, 求的值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数,其中．

（1）当时, 解不等式；

（2）若,且,证明:．

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：因为，所以 ，故选D．

考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集．

2．A

【解析】

试题分析：因为，所以，，故选A．

考点：1、复数的模的求法；2、复数的运算．

3．D

【解析】

试题分析：因为，所以，，故选D．

考点：1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式．

4．C

【解析】

试题分析：执行程序框图，第一次循环；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，退出循环，输出，故选C．

考点：1、程序框图；2、循环结构．

【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题．解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．

5．A

【解析】

试题分析：因为函数是奇函数且时,， 所以，故选A．

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及对数的性质．

6．A

【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体是一个球体截去四分之一的切割体，即其体积为球体的四分之三，设球半径是，由俯视图可知，所以几何体体积为，故选A．

考点：1、几何体的三视图；2、球的体积公式．

7．B

【解析】

试题分析：设小正方形的边长为，则大正方形边长为，， ，化为，因为，所以， ，故选B．

考点：1、正方形的面积及勾股定理；2、几何概型概率公式．

8．B

【解析】

试题分析：因为， 所以，将函数的图象向右平行移动个单位得，故选B．

考点：1、两角差的正弦公式；2、诱导公式及三角函数图象的平移变换．

9．B

【解析】

试题分析：因为分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且， 所以，为直角三角形，时，可得，即，又因为，所以面积为，故选B．

考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式．

10．C

【解析】

试题分析：因为 所以，是以为首项，以 公差的等差数列，，，故选C．

考点：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式．

11．B

【解析】

试题分析：作出的图象，如图，当时，由图知，合题意，排除选项C、D,当时，由图知不恒成立，排除故选A,故选B．

考点：1、分段函数的解析式及图象；2、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的排除法．

【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法，属于难题．特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等．

12．D

【解析】

试题分析：因为为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点, 点分别在线段上, 若, 与圆相切，设切点为，所以，设，则，，故选D．

考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值．

【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有 ① 配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；② 三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③ 不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④ 单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求的最小值的．

13．

【解析】

试题分析：画出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，直线经过点和点时，分别取得最小值和最大值，故答案为．

考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．

14．

【解析】

试题分析：设中点为，，因为边上的中线等于，所以，由余弦定理知及诱导公式得，，解得，，故答案为．

考点：余弦定理的应用．

15．

【解析】

试题分析：设，中点为，连接，由中位线定理得，根据正方体的性质可知，，可得平面，进而平面，因为平面，所以平面 平面，故答案为．

考点：1、正方体的性质及三角形中位线定理；2、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理．

【方法点睛】本题主要考查正方体的性质及三角形中位线定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题．解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；解答本题的关键是由线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直．

16．

【解析】

试题分析：因为，由得，，即曲线在处的切线与直线平行，所以到直线的距离就是两点间的距离的最小值，由点到直线的距离公式得，故答案为．

考点：1、利用导数求切点坐标；2、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．

【方法点睛】本题主要考查利用导数求切点坐标、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．属于难题．数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．本题讲两点间的最值问题转化为，切点到直线的距离是解题的关键．

17．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据，令解得，进而得数列的通项公式为；（2）由（1），进而得是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列前项和公式可得结果．

试题解析：（1），则，又，得，等差数列的公差，所以数列的通项公式为．

（2）,所以数列是首项为,公比为的等比数列,．

考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前项和公式．

18．（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接,设,可证四边形为平行四边形，得是的中点,利用三角形中位线定理可得进而由线面平行的判定定理可得结论；（2）先证平面，分别以所在直线为轴,轴,为轴正方向,空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值，进而得结果．

试题解析：（1）证明: 连接,设,连接,四边形为平行四边形, 且是的中点, 又为的中点,平面平面平面．

（2）取的中点,连接,由得平面平面,平面平面平面,在中,, 在等腰中,, 以为坐标原点, 分别以所在直线为轴,轴,为轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系,由题知,

设是平面的法向量, 则,即．

设是平面的法向量, 则,即得．

,二面角的正弦值为．

考点：1、线面平行的判定定理；2、空间向量夹角余弦公式．

19．（1）；（2）；（3）分布列见解析，．

【解析】

试题分析：（1）直接根据古典概型概率公式求解即可；（2）先求出该会员第一次消费、第二次消费公司获得的利润，然后求平均值即可；（3）的所有可能取值为分别求出各随机变量对应的概率，利用期望公式求解即可．

试题解析：（1）位会员中, 至少消费两次的会员有人, 所以估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时, 公司获得利润为（元）, 第次消费时, 公司获得利润为（元）, 所以, 公司这两次服务的平均利润为（元）．

（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为次，次，次，次，次，当会员仅消费次时, 利润为元,当会员仅消费次时, 平均利润为元,当会员仅消费次时, 平均利润为元,当会员仅消费次时, 平均利润为元,当会员仅消费次时, 平均利润为元,故的所有可能取值为的分布列为:

数学期望为（元）．

考点：1、古典概型概率公式；2、离散型随机变量的分布列及期望．

20．（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线焦半径公式及点在上列方程组可求得的值；（2）设， ，设直线的方程为，联立方程,消得,，根据韦达定理可得．

试题解析：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得．

（2）由（1）得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,

则直线的斜率,直线的斜率,所以．当直线不垂直于轴时, 设,

则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为．联立方程,消得,,

所以,故,

综上, 直线与直线的斜率之积为．

考点：1、待定系数法求抛物线方程；2、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题．

【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．本题就是根据方法②求得直线与直线的斜率之积为定制的．

21．（1），的单调递增区间为,单调递减区间为；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先求导函数，,由，得增区间，得减区间；（2）不等式等价于，根据导数求得的最小值为 的取值范围，进而得的最大值．

试题解析：（1）函数的定义域为,因为,由已知得,由得,由得,所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为．

（2）时, 不等式等价于,令,由（1）得在上单调递增，又因为在上有唯一零点,且,当时,,

当时,, 所以的最小值为, 由得,由于,,因为,所以最大值为．

考点：1、导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）．

22．（1），为参数）；（2）．

【解析】

试题分析：(1)利用,化为直角坐标方程,利用直线参数方程公式求出参数方程；(2)利用直线参数方程的几何意义求出弦长.

试题解析：（1）曲线化为，再化为直角坐标方程为，化为标准方程为，

直线的参数方程为（为参数）．

（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得，

，则，，

所以．

考点：1.极坐标方程,直角方程,参数方程的互化；2.直线参数方程的几何意义.

23．（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可；（2），分两组分别利用基本不等式可证结论．

试题解析：（1）当时, 由,由得,,

或,或或或．

（2）证明:,

．

考点：1、绝对值不等式的解法；2、绝对值不等式的证明．