河南省许昌市2022届高三上学期第一次质量检测（一模） 数学（理） 含答案

XCS2022届高三年级第一次质量检测试卷

理科数学

温馨提示：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{x|lg(x－2)≤0}，N＝{x||x－1|<2}，则M∪N＝

A.     B.(2，3)     C.(－1，3]     D.{0，1，2，3}

2.已知复数z满足|2＋|＝z(1＋i)，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点在

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

3.已知命题p：“∃x0∈R，≤0”的否定是“∀x∈R，ex>0”；命题q：“x<2022”的一个充分不必要条件是“x<2021”，则下面命题为真命题的是

A.p∧q     B.¬p∧q     C.p∧¬q     D.¬(p∧q)

4.意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，其中a1＝1，a2＝1。若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为

A.     B.     C.     D.

5.在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AB，BC的中点，则直线MN与平面DCA1所成角的大小为

A.     B.     C.     D.

6.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝3BD，则sinC的值为

A.     B.     C.     D.

7.北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用。在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v(单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v＝ωln(1＋)来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m(单位：吨)表示它装载的燃料质量，M(单位：吨)表示它自身(除燃料外)的质量。若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M之比约为

A.e1.58     B.e0.58     C.e1.58－1     D.e0.58－1

8.已知函数f(x)＝6sin(2x－)＋1的定义域为[0，m]，值域为[－2，7]，则m的最大值是

A.     B.     C.     D.

9.某校组织甲、乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织插花、竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动(不重复)，且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为

A.1260     B.1302     C.1520     D.1764

10.已知函数f(x)＝2x3－2x＋4＋e*－，其中e是自然对数的底数，若f(a－6)＋f(a2)>8，则实数a的取值范围是

A.(2，＋∞)     B.(－3，2)     C.(－∞，－3)     D.(－∞，－3)∪(2，＋∞)

11.已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为

A.     B.2     C.     D.3

12.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小顺序为

A.a<c<b     B.c<a<b     C.a<b<c     D.b<a<c

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(2x－)7的展开式中x的系数是－70，则a＝          。

14.请写出一个同时满足以下三个条件的函数f(x)：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)f(x)的值域是(1，＋∞)。则f(x)＝          。

15.在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，已知，，，则＝          。

16.已知三棱锥P－ABC内接于表面积为36π的球中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB＝，PB⊥BC，∠APB＝120°，则三棱锥P－ABC体积为          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，，n∈N*。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a1，ak＋1，Sk＋3成等比数列，k∈N*，求的值。

18.(12分)

如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AA1＝A1B1＝AB＝2，AA1⊥平面ABCD。

(1)若点M是AD的中点，求证：C1M⊥A1C；

(2)设棱BC上靠近B的四等分点为E，求二面角E－AD1－D的余弦值。

19.(12分)

某省2021年开始将全面实施新高考方案在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分。

该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分。

(1)某校思想政治学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中思想政治转换分不低于94分的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)假设该省此次高一学生思想政治学科原始分Y服从正态分布N(76.3，25)。若Y～N(μ，σ2)，令η＝，则η～N(0，1)。请解决下列问题：若以此次高一学生思想政治学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？(结果保留整数)

附：若η～N(0，1)，P(η≤1.04)≈0.85。

20.(12分)

已知椭圆E：，点G(，)在椭圆E上，椭圆E的左顶点为A，上顶点为B，原点O到直线AB的距离为。

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形BMN，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由。

21.(12分)

已知函数f(x)＝ex－m(x＋1)2，(m∈R)。

(1)选择下列两个条件之一：①m＝；②m＝1；

判断f(x)在区间(0，＋∞)是否存在极小值点，并说明理由；(其中e≈2.718)(注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分)

(2)已知m>0，设函数g(x)＝f(x－1)＋mxln(mx)。若g(x)在区间(0，＋∞)上存在零点，求实数m的取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，且动点P满足。

(1)求动点P的轨迹C2的参数方程；

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线θ＝与曲线C1异于极点的交点为A，与曲线C2异于极点的交点为B，求|AB|。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|2x＋a|－|2x＋3|。

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)<2，求a的取值范围。