广东省深圳市六校2022届高三数学第一次联考试卷

广东省深圳市六校2022届高三数学第一次联考试卷

一、单选题（共8题，每一题5分，共40分。）

1.已知集合 ，则 （   ）           

A.{x|0<x<l}
B.{x|x>0}
C.{x|1<x<3}
D.{x|0<x<3}

2.复数 在复平面内对应点的坐标为（   ）           

A.
B.
C.
D.

3.若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是（   )           

A.
B.
C.
D.

4.抛物线 的焦点坐标是（    ）           

A.                                 B.                                 C.                                 D. 

5.已知数列{an}的通项公式 ，则数列前n项和S，取最小值时，n的值是（)           

A.6
B.7
C.8
D.5

6.已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，则：

⑴若m∥β， β⊥α，则m⊥α；
⑵空间中，三点确定一个平面；

⑶若l，m⫋β，l∥a，m∥a，则a∥β；
⑷若α∩B=m，l∥a且l∥β，则l∥m.

以上假命题的个数为（   ）

A.1
B.2
C.3
D.4

7.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近(   ) 

A.13.1米
B.13.7米
C.13.2米
D.13.6米

8.已知x1是ln.x+x=5的根，x2是ln(4一x)-x= l的根，则(   )           

A.x1+x2=4
B.x1+x2 (5，6)
C.x1+x2∈(4，5)
D.x1+x2=5

二、多选题（共4题，每题5分。不选、错选得0分；少选得2分；全对得5分，共20分。）

9.设a，b∈R且ab >0，则下列不等式正确的是(   )           

A.
B.
C.
D.

10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征。如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A (1，- )出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒。经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 ，则下列结论正确的是（) 

A.
B.当t∈[0，2]时，函数y=f(t)单调递增.
C.当t∈[3，5]时，函数最小值为-2.
D.当t=9时，|PA|=4

11.在△ABC中，下列说法正确的是(   )           

A.若A>B，则|cosB|>|cosA|
B.若a2+b2>c2  ， 则△ABC为锐角三角形
C.等式a=bcosC+ccosB恒成立.
D.若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=1：1：

12.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)且斜率之差等于n，则正确的是（   ）           

A.当m>0时，点C的轨迹是双曲线.
B.当m=-1时，点C在圆x2+y2=25上运动
C.当m<-1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
D.无论n如何变化，点C的运动轨迹是轴对称图形

三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.一部纪录片在4个不同的场地轮映，每个场地放映一次，则有      种轮映次序.   

14.某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20，0.25，0.3，0.25这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是      .   

15.已知向量 满足 =6， ，且 ，则 的值为      .   

16.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影O为△ABC的垂心，着S△AEC·S△OBC=S2△PEC  ， 且三棱锥P-ABC的外接球半径为4，则S△PAB+S△PEC+S△PAC的最大值为      .   

四、解答题（共6题，17题10分，18-22题每题12分，共70分。）

17.在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+1=2an-an-1(n≥2).   

（1）求{an}的通项公式;   

（2）设 ，求{bn}的前n项和Tn.   

18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，∠BAC= ， AD平分∠BAC交BC于D，AD=1.   

（1）求△ABC面积S的最小值；   

（2）已知a = ，求△ABC面积S.   

19.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，平面PAB与平面PCD的交线记为m，已知P-ABCD体积为16且 ， ， .   

（1）证明：CD∥m；   

（2）求三棱锥A-EFG的体积.   

20.甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲赢的概率为 ，输的概率为 .   

（1）求甲最终获胜的概率;   

（2）记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望.   

21.已知抛物线 ，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线 与C相交于A，B两点.   

（1）求向量 的数量积；   

（2）设 ，求 在y轴上截距的取值范围.   

22.设函数 .   

（1）求f(x)的单调区间；   

（2）如果当x>0，且x≠1时， ，求k的取值范围.   

答案解析部分

一、单选题（共8题，每一题5分，共40分。）

1.【答案】 C  

【解析】【解答】解：∵A={x|x2-3x<0}={x|0<x<3}，B={x|lgx>0}={x|x>1}
∴A∩B={x|1<x<3}
故答案为：C
【分析】根据一元二次不等式及对数不等式的解法，结合交集的定义求解即可.

2.【答案】 B  

【解析】【解答】解：， 表示的点为
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则，结合复数的几何意义求解即可.

3.【答案】 C  

【解析】【解答】解：因为偶函数满足对任意x，满足f(-x)=f(x)成立，
又因为逆否命题与原命题同为真命题，
所以若f(x)不是偶函数，所以不能使得所有的x满足f(-x)=f(x)成立，
即存在x0∈R，使得f(-x0)≠f(x0)
故答案为：C
【分析】根据偶函数的概念，结合原命题与逆否命题的关系求解即可.

4.【答案】 D  

【解析】【解答】 即 ,故抛物线焦点在 轴上, ,焦点纵坐标为 .

故焦点坐标为

故答案为：D

【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.

5.【答案】 A  

【解析】【解答】解：令an=3n(2n-13)≤0，得
又∵n∈N+
∴当n≤6时，an≤0，当n≥7时，an≥0；
则 数列前n项和S取最小值时，n=6
故答案为：A
【分析】根据数列的通项公式，结合递增数列的性质求解即可.

6.【答案】 C  

【解析】【解答】解：对于(1) ，若m∥β， β⊥α，则m⊥α或m在α内，故错误；
对于(2)， 空间中，不共线的三点确定一个平面，故错误；
对于(3)，根据平面与平面平行的判定定理，易知条件中缺l,m是相交直线，故错误；
对于(4)，根据平面与平面平行的性质定理，易知(4)正确
故答案为：C
【分析】根据直线与平面的位置关系可判断(1)，根据平面的基本性质可判断(2)，根据平面与平面平行的判定定理可判断(3)，根据平面与平面平行的性质定理可判断(4).

7.【答案】 C  

【解析】【解答】解：如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.

设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，-3)，
设圆的半径长为r，则C(0,-r)，即圆的方程为x2+(y+r)2=r2
将点A的坐标代入上述方程可得，
所以圆的方程为
当水面下降1米后，水面弦的端点为A'，B'，
可设A(x0,-4)(x0>0)，代入， 解得，
则此时水面宽度为
故答案为：C
【分析】根据圆的标准方程求解即可.

8.【答案】 A  

【解析】【解答】解：由题意得lnx1+x1=5，则lnx1=5-x1  ，
同理得ln(4-x2)-x2=1，则ln(4-x2)=1+x2=5-(4-x2)，
设函数f(x)=lnx+x-5，则>0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，
则由f(x1)=f(4-x2)=0，得x1=4-x2
则x1+x2=4
故A正确，BCD错误
故答案为：A

【分析】利用构造函数思想，再利用导数研究函数的单调性，结合函数的零点求解即可.

二、多选题（共4题，每题5分。不选、错选得0分；少选得2分；全对得5分，共20分。）

9.【答案】 A,D  

【解析】【解答】解：对于A，根据基本不等式的性质，易知a2+b2≥2ab，a,b∈R，故A正确；
对于B，当a<0,b<0时，显然不成立，故B错误；
对于C，当a<0,b<0时，显然不成立，故C错误；
对于D，∵ a，b∈R且ab>0
∴，
则根据基本不等式的性质，易知 ，故D正确.
故答案为：AD
【分析】根据基本不等式逐项判断即可.

10.【答案】 B,D  

【解析】【解答】解：由题意得R=2，， 又当t=0时，y=f(0)=2sinφ=， 解得
则， 故A错误；当t∈[0,2]时，， 函数y=f(t)单调递增，故B正确；当t∈[3,5]时，， 当时，函数y=f(t)取得最小值为， 故C错误；当t=9时，， 此时点P为， 则点A与点P关于原点对称，则|PA|=2+2=4，故D错误.
故答案为：BD
【分析】根据函数的图像与性质求解即可.

11.【答案】 A,C,D  

【解析】【解答】解：对于A， 因为A>B，所以a>b，由正弦定理得，sinA>sinB，则， 即|cosB|>|cosA|，故A正确；
对于B，因为 a2+b2>c2，  所以， 所以C是锐角，但角A,B无法判断，故B错误；
对于C，在三角形中，B+C=π-A，再由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)，上式显然成立，故C正确；
对于D，∵A:B:C=1:1:4
∴A=30°，B=30°，C=120°，
则由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=
故D正确
故答案为：ACD
【分析】根据正弦定理与余弦定理，结合两角和的正弦定理以及三角形的几何性质逐项判断即可

12.【答案】 A,B,D  

【解析】【解答】解：设C(x，y)，则由题意得， 即为点C的轨迹方 程
对于A，当m>0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，故A正确；
对于B，当m=-1时，点C的轨迹为圆心为(0，0)，半径为5的圆，即点C在圆x2+y2=25上运动，故B正确；
对于C，当m<-1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中a2=-25m，b2=25，c2=-25m-25
则离心率为随着m的增大而减小，故C错误；
对于D，当-1<m<0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，综上可知，无论n如何变化，点C的运动轨迹都是轴对称图形，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据双曲线定义可判断A，根据圆的定义可判断B，根据椭圆的定义可判断C，根据圆锥曲线的对称性可判断D

三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.【答案】 24  

【解析】【解答】解：由题意得，不同的轮映次序是
故答案为：24
【分析】根据排列及排列数的解法求解即可.

14.【答案】 0.034  

【解析】【解答】解：根据互斥事件的概率得，所求概率为
0.20×(1-0.95)+0.25×(1-0.96)+0.3×(1-0.97)+0.25×(1-0.98)=0.034
故答案为：0.034
【分析】根据互斥事件的概率公式直接求解即可.

15.【答案】

【解析】【解答】解：∵    ，
∴共线，
又
∴
∴
故答案为：
【分析】根据共线向量的判定定理，结合向量的求模公式求解即可.

16.【答案】 32  

【解析】【解答】解：如图，连AO，并延长交BC于D，顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，

∴AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，

∴PO⊥BC，

∵AD∩PO=O，

∴BC⊥平面ADP，可得BC⊥PA，BC⊥PD

同理AC⊥PB，AB⊥PC

由S△AEC·S△OBC=S2△PEC  ， 可得AD·OD=PD2  ，

且∠PDO=∠PDA.

∴△POD∽AAPD ，∴∠APD=∠POD = 90°，

∴PA⊥PD，又PA⊥BC，BC∩PD=D，

∴AP⊥面PBC，得PA⊥PB，又PB⊥AC，且AP∩AC=A，

∴PB⊥面APC，即可得PB⊥PC，故PA，PB，PC两两互相垂直

∴三棱锥P-ABC的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，

又三棱锥P-ABC的外接球半径为4，PA2+PB2+PC2=64

S△PAB+S△PEC+S△PAC的最大值为32，当且仅当 时，等号成立．

 
【分析】先根据直线与平面垂直的判定定理可判断得PA，PB，PC两两互相垂直，从而易知三棱锥P-ABC的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，再根据三角形面积公式，结合基本不等式求解即可

四、解答题（共6题，17题10分，18-22题每题12分，共70分。）

17.【答案】 （1）解：  是等差数列. 

是以1为首项，1为公差的等差数列.------3分 的通项公式为

（2） 

的前n项和 -

【解析】【分析】（1）根据等差中项法可判断  是等差数列，再根据等差数列的通项公式直接求解即可；

（2）根据等差数列的通项公式，结合裂项相消法直接求解即可.

18.【答案】 （1）

当且仅当b=c=2时等号成立

∴△ABC面积的最小值为 .

（2）由余弦定理 得：

由(1)可知 ， 

-

【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，结合基本不等式的性质求解即可

（2）根据余弦定理，运用整体思想与方程思想求得bc，再根据三角形面积公式求解即可.

19.【答案】 （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∵AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB
∴CD//平面PAB
∵ CD⊂平面PCD ，平面PAB∩平面PCD=m
∴CD∥m.
（2）

即

【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理与性质定理求解即可；

（2）根据共线向量的性质，结合三角形面积公式与棱锥的体积公式求解即可.

20.【答案】 （1）设甲最终获胜的概率为P.

甲四局比赛获得胜利的概率为 ；

甲五局比赛获得胜利的概率为 ；

甲六局比赛获得胜利的概率为 ；

甲七局比赛获得胜利的概率为 .

甲最终获胜的概率为 -

（2）X的可能取值为4，5，6，7. 

随机变量X的分布列为

的数学期望为 -

【解析】【分析】（1）根据互斥事件与独立事件的概率公式求解即可；

（2）根据互斥事件与独立事件的概率公式，结合随机变量的分布列与期望求解即可.

21.【答案】 （1）设A，B坐标为 ，由题知直线倾斜角不可能为0，设直线 方程为： .  

联立 得 ， ，

由韦达定理得 . .

向量 的数量积为-3.

（2）由(1)知 ，

代入 得 .

在 为增函数

在y轴上截距 的取值范围为 -

【解析】【分析】（1）根据直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理以及向量的数量积公式求解即可；

（2）根据韦达定理，利用共线向量的性质，结合单调函数的性质求得4m2的取值范围，从而求得纵截距的取值范围.

22.【答案】 （1）-

令 .

当 时， ∴h（x）在 （0,1） 单调递增.

当 时， ∴h（x）在（1，+∞） 单调递减.
∴当时，h（x）≤h（1）=0
∴当x∈（0,1）∪（1，+∞）时，f'（x）<0

∴f(x) 单调递减区间为 （0,1），（1，+∞） ；没有单调递增区间.

（2）当x >0，且x ≠1时，

令
∵当x ∈（0,1）时，， 当x ∈（1，+∞）时，
∴当x ∈（0,1）时，g（x）>0，当x ∈（1，+∞）时，g（x）<0

解法一：

当x≤-1时，

∴g（x）在（0，+∞）单调递减

满足条件当 当 时，

解法二： ，

∴当k≥0时，当 时，

∴ 在 单调递增

∴当 时， 与条件不符，舍去

  当k≤-1时，

 .
∴g（x）在（0，+∞）单调递减

∴满足条件当 时， ，当 时，

当 时，令 ， .

当 由于当 ， 在 单调递增，

当 与条件不符，舍去.

综上所述，k≤-1 .

【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性直接求解即可；

（2）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数g(x)的值域问题.
解法一，根据函数g(x)的值域易得g(1)=0，从而求得k≤-1，再利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性，易知g'(x)≤0，从而可判断g(x)在（0，+∞）单调递减，进而求解即可；
解法二，利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性，针对k的取值范围结合分类讨论思想求解即可.