百校联考2022届高三上学期数学十月调研考试试卷

这是一份百校联考2022届高三上学期数学十月调研考试试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三上学期数学十月调研考试试卷
一、单选题
1.已知集合 集合 ，则 （    ）
A.                          B.                          C.                          D. 
2.函数 的定义域是（    ）
A.              B.              C.              D. 
3.已知 ，则 （    ）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
4.函数 的图象大致是（    ）
A.           B.           C.           D. 
5.已知定义在 上的函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（    ）
A.                            B.                            C.                            D. 
6.已知函数 满足 ，函数 .若函数 与 的图象共有 个交点，记作 ，则 的值为（   ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
7.已知在 中,角 所对的边分别为 ，且 ，若 ，则 （   ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
8.定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时， 且 ， .则下列说法一定正确的是（    ）
A.                            B. 
C.                                      D. 
二、多选题
9.下列叙述中不正确的是（    ）
A. 若 ，则“不等式 恒成立”的充要条件是“ ”；
B. 若 ，则“ ”的充要条件是“ ”；
C. “ ”是“方程 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D. “ ”是“ ”的充分不必要条件.
10.已知函数 ，则下列说法正确的是（    ）
A. 函数 的周期为                                       B. 函数 图象的一条对称轴为直线
C. 函数 在 上单调递增              D. 函数 的最小值为-4
11.已知函数 ， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（    ）
A.                                                          B. 在 上存在零点，则a的最小值为
C. 在 上单调递增                              D. 在 有且仅有一个极大值点
12.已知函数 ， 的图象与直线 分别交于 、 两点，则（      ）
A. 的最小值为
B. 使得曲线 在 处的切线平行于曲线 在 处的切线
C. 函数 至少存在一个零点
D. 使得曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线
三、填空题
13.若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
14.若函数 ，则       .
15.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为 ，其纵坐标满足 ，则当 时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是       ．

16.已知函数 若 有三个零点，则实数m的取值范围是       ．
四、解答题
17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，∠BAC= ， AD平分∠BAC交BC于D，AD=1.
（1）求△ABC面积S的最小值；
（2）已知a = ，求△ABC面积S.
18.已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
19.已知 为锐角，求函数 的最值.
20.已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1、x2∈R，恒有2f ≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)＜0的解集为A．
（1）.求集合A；
（2）.设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．
21.已知函数
（1）.若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）.若函数 有两个极值点 ，求证：
22.已知函数 ．
（1）.证明：函数 在 上有唯一零点；
（2）.若 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】因为集合 ，
集合
所以 ，
故答案为：A.

【分析】首先由一元二次不等式的额解法求解出不等式的解集，由此得出集合A与B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解： ，故 ，解得： ，
故答案为：B

【分析】根据函数定义域的求法;分母不为零以及底数不为零，即可得到关于x的不等式组求解出不等式的解集，由此即可得出答案。
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：令 ，则 ， ，所以
.
故答案为：A.

【分析】由整体思想令 ，则 ， 然后由两角和的正弦公式以及诱导公式和同角三角函数的基本关系式整理化简计算出结果即可。
4.【答案】 A
【解析】【解答】当 时， ，
由 在 递增，
所以 在 递增
又 是增函数，
所以 在 递增，故排除B、C
当 时 ，若 ，则
所以 在 递减，而 是增函数
所以 在 递减，所以A正确，D错误
故选：A
【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.
5.【答案】 A
【解析】【解答】 时， 是增函数，且 ，
，
， ，
，
，
．
故答案为：A．

【分析】由题意可得出在上单调递增，且得出，并且可得出，根据增函数的定义即可得出   ，  ， 的大小关系。
6.【答案】 A
【解析】【解答】解： 函数 满足 ，

即函数 关于点 对称
函数
即函数 关于点 对称
函数 与 的图象共有 个交点即在 两边各有 个交点
，则共有 组，故 ，
故答案为：
【分析】结合题目所给条件，找出对称中心，结合对称点的坐标相加相等原则，即可得出答案。
7.【答案】 D
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又有正弦定理 ,即 ，
所以 ，所以 ，即 ,
或 ，即 ；又因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，得 .
  ，
故答案为：D.

【分析】根据题意由正弦定理整理化简即可得到， 由此即可得出， 由此得出角的大小然后由诱导公式以及二倍角的正弦公式整理即可得到， 再由题意代入数值计算出结果即可。
8.【答案】 B
【解析】【解答】令 ， ， ，
所以， ，
，所以，函数 为 上的奇函数，
，
当 时， ，即 ， ，
所以， 在 上单调递增，
由奇函数的性质可知，函数 在 上单调递增，
所以，函数 在 上单调递增.
对于A选项， ，则 ，即 ，A选项错误；
对于B选项， ， ，即 ，B选项正确；
对于C选项， ， ，即 ，C选项错误；
对于D选项， ， ，即 ，D选项错误.
故答案为：B.

【分析】 构造函数F(x)=sinx-f(x)，分析出函数F(x)为奇函数，利用导数分析出函数F(x)在[0.+x)上为增函数，由此可得出该函数在R上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误，从而得出答案。
二、多选题
9.【答案】 A,B
【解析】【解答】当 时，若 ，则 恒成立，A不正确；
当 时，“ ”推不出 “ ” ，B不正确；
当 “方程 有一个正根和一个负根”时“ ”， “ ”推出“ ”成立，反之不成立，C符合题意；
由 得 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，D符合题意.
故答案为：AB.

【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根之间的关系，再由充分和必要条件的定义由此得出选项A错误；结合不等式的基本性质结合充分和必要条件的定义即可判断出选项B错误；结合一元二次方程根的情况，结合充分和必要条件的定义即可判断出选项C正确；由不等式的基本性质结合充分和必要条件的定义即可判断出选项D正确，由此得出答案。
10.【答案】 A,B,D
【解析】【解答】解：函数

.
所以函数 的周期为 ，A选项正确；
当 时， ，所以直线 是函数 图象的一条对称轴，B选项正确；
当 ，则 ，由正弦函数性质可知，此时 单调递减，C选项错误；
由 可知，当 时， 取得最小值为-4，D选项正确.
故答案为：ABD.

【分析】由已知条件结合二倍角的正、余弦公式以及两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的周期性、图象以及单调性对选项逐一判断即可得出答案。
11.【答案】 B,C
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以
因为 为奇函数，则 ，即 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，
对于A， ，A不符合题意；
对于B，令 ，得 ， ，若 在 上存在零点，则 且a的最小值为 ，B符合题意；
对于C， ，当 时， ，则 在 上单调递增，C符合题意.
对于D，因为 ，当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上存在一个极小值点，没有极大值点，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】首先求出 ，即可得到 的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数 ，最后结合正弦函数的性质一一验证即可；
12.【答案】 A,B,D
【解析】【解答】令 ，得 ，令 ，得 ，
则点 、 ，如下图所示：

由图象可知， ，其中 ，
令 ，则 ，则函数 单调递增，且 ，当 时， ，当 时， .
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，A选项正确；
， ，则 ， ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
令 ，即 ，即 ，
则 满足方程 ，所以， 使得曲线 在 处的切线平行于曲线 在 处的切线，B选项正确；
构造函数 ，可得 ，
函数 在 上为增函数，由于 ， ，
则存在 ，使得 ，可得 ，
当 时， ；当 时， .
，
所以，函数 没有零点，C选项错误；
设曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
同理可得曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以， ，消去 得 ，
令 ，则 ，
函数 在 上为减函数， ， ，
则存在 ，使得 ，且 .
当 时， ，当 时， .
所以，函数 在 上为减函数， ， ，
由零点存在定理知，函数 在 上有零点，
即方程 有解.
所以， 使得曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.
故答案为：ABD.

【分析】 根据题意首先求出A、B两点的坐标，得出|ABI关于m的函数表达式，利用导数求出的最小值，即可判断出A选项的正误；解方程， 可判断出B选项的正误；利用导数判断函数y=f(x)-g(x)+m的单调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线y=g(x)相切于点， 求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误.进而得出结论.
三、填空题
13.【答案】 [－1,0]
【解析】【解答】因为函数 的定义域为 ，
所以 对 恒成立，
即 恒成立
因此有
解得
则 的取值范围为
故答案为
【分析】函数 的定义域为 可以转化为 恒成立，即 恒成立，根据判别式即可求出结果
14.【答案】 2
【解析】【解答】因为 时， ，
所以 ，故 ，
所以 ，所以 .
又
.
故答案为：2

【分析】首先由已知条件整理化简就得出， 结合函数周期的定义由分段函数的解析式代入数值计算出结果即可。
15.【答案】
【解析】【解答】根据点A的坐标 )可得圆周的半径
又旋转一周用时6秒，所以周期 ，从而得
，又点 时， 在函数图像上
，且  ，

根据三角函数的性质， 在 内恰有两个极大值时，
，解得
故答案为： .

【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合圆弧的性质即可得出圆的半径，再由周期的定义结合周期公式计算出， 然后由特殊点法代入到函数的解析式计算出， 由此得出函数的解析式，由正弦函数的单调性即可求出函数的最值结合极值的定义即可求出t的取值范围即可。
16.【答案】
【解析】【解答】 有三个零点，根据题意可得 时，函数有一个零点； 时，函数有两个零点.当 时， ， 恒成立 ，故 ；当 时， ，要使得 有两个零点，需满足 ，解得 ，综上可得 ，故答案为 .
【分析】由零点的定义结合导函数的性质以及二次函数的根的情况，由此得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
四、解答题
17.【答案】 （1）



当且仅当b=c=2时等号成立
∴△ABC面积的最小值为 .

（2）由余弦定理 得：
由(1)可知 ，

-
【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，结合基本不等式的性质求解即可
（2）根据余弦定理，运用整体思想与方程思想求得bc，再根据三角形面积公式求解即可.
18.【答案】 解：（Ⅰ）因为 ，所以 .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（Ⅱ）设 ，则 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
【解析】【分析】（1）利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线的方程。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数在给定区间的最值。
19.【答案】 解：因为 ， ，
所以 ，
当 时，解得， ，即 ，故 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
故当 时，函数 有最小值16，无最大值.
【解析】【分析】首先对函数求导，再由导函数的性质即可得出函数的单调性，然后由函数的单调性即可求出函数的最值。
20.【答案】 （1）解：对任意x1 ， x2∈R，
有f(x1)＋f(x2)－2f( )＝ a(x1－x2)2≥0，
要使上式恒成立，∴a≥0.
由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，A>0.
由f(x)＝ax2＋x＝ax(x＋ )<0，
∴不等式f(x)<0的解集为A＝(－ ，0)

（2）解：解得B＝(－a－4，a－4)，
∵B⊆A，
∴
解得0 ∴a的取值范围为(0，－2＋ ]．
【解析】【分析】(1)由已知条件结合二次函数的性质即可得出a的取值范围，再由二次函数的性质即可求出不等式的解集。
(2)根据题意由绝对值的不等式的解法求出集合B，再由集合之间的关系即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围。
 
 
21.【答案】 （1）解：因为 ， ，
①当 时，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ；
②当 ，即 时， ， ，
所以函数 在 上单调递增，则 ；，
③当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ；
④当 ，即 时， ， ，函数 在 上单调递减，则 ．
综上，当 时， ；
当 时， ；
当 时，

（2）证明：要证 ，只需证： ，
若 有两个极值点 ，即函数 有两个零点，又 ，
所以 是方程 的两个不同实根，
即 ，解得 ，
另一方面，由 ，得 ，
从而可得 ，
于是 ．不妨设 ，
设 ，则 ．因此， ．
要证 ，即证： ，
即当 时，有 ，
设函数 ，则 ，
所以 为 上的增函数．注意到， ，因此， ．
于是，当 时，有 ．
所以 成立， ．
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，结合m的取值范围即可得出导函数的性质由此得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得出m的取值范围。
(2)由已知条件即可得出 要证 ，只需证： ，根据题意由极值的定义即可得 函数 有两个零点 ，对函数求导结合零点的定义求解出， 然后由已知条件整理即可得出， 令整理得到由此得出当 当 时，有 ， 构造函数对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而即可得出结合对数函数的单调性即可得证出结论。
22.【答案】 （1）证明：由 得

当 时， ， ，
则 ，函数 在 上单调递减，
又 ，
所以函数 在 上有唯一零点，得证．

（2）解：由题知不等式 ，可化为不等式 ，
则由题有 对 恒成立，
令
则有
，
其中 ，
由 得 或
则当 或 时， ，
当 时， ，
当且仅当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以 ，则 ，
即得实数 的取值范围是 ．
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，结合正余弦函数的性质即可得出导函数的性质，由此得出导函数的单调性，由函数的单调性结合零点存在定理即可得证出结论。
(2)由已知条件整理即可得出不等式， 即对 恒成立 ，构造函数， 由函数求导的性质即可求出函数的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值，由此得出a的取值范围。