全国2022届高三文数第一次学业质量联合检测试卷

这是一份全国2022届高三文数第一次学业质量联合检测试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一次学业质量联合检测试卷
一、单选题
1.已知集合 ， ，则 （    ）
A.                                B.                                C.                                D. 
2.下图记录了某景区某年3月至12月客流量情况：

根据该折线图，下列说法正确的是（    ）
A. 景区客流量逐月增加
B. 客流量的中位数为8月份对应的游客人数
C. 3月至7月的客流量情况相对于8月至12月波动性更小，变化比较平稳
D. 4月至5月的客流量增长量与8月至9月的客流量回落量基本一致
3.复数 在复平面内对应的点位于（    ）
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
4.已知函数 ，则“ ”是“ ”的（    ）
A. 充要条件             B. 充分不必要条件             C. 必要不充分条件             D. 既不充分也不必要条件
5.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（    ）
A. 1                                         B. 2                                         C.                                          D. 
6.某微生物科研机构为了记录微生物在不同时期的存活状态，计划将微生物分批次培养.第一批次，培养1个；从第二批次开始，每一批次培养的个数是前一批次的2倍.按照这种培养方式（假定每一批次的微生物都能成活），要使微生物的总个数不少于950，大概经过的批次为（    ）
A. 10                                           B. 9                                           C. 8                                           D. 7
7.已知△ 的面积为 ， ，则 （    ）
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
8.如图，某几何体的三视图为三个全等的等腰直角三角形，其中直角边长为 ，则该几何体的各个面中，面积最大的面所对的顶点到该面的距离为（    ）

A.                                        B. 2                                       C.                                        D. 
9.曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ）
A.                                            B.                                            C. 1                                           D. 2
10.对于函数 的图象与性质，有下列四个说法：
甲：函数图象经过点 ；
乙：函数图象两条相邻对称轴之间的距离为 ；
丙：当 时，函数的最小值为
丁：点 是函数图象的一个对称中心.
若上述四个说法中，有且只有一个是错误的，则该说法是（    ）
A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁
11.已知函数 的定义域为 ，且满足如下性质：①对于定义域内的任意一个 ，都有 ；②当 时， 恒成立；③ .则不等式 的解集为（    ）
A.       B.       C.       D. 
12.已知圆 ，点 ，射线 与圆 交于点 ，则下列结论错误的是（    ）
A.                       B.                       C.                       D. 
二、填空题
13.已知单位向量 ， 的夹角为 ，则       .
14.将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为      .
15.如图，半圆 的圆心为 ，半径为 ， 为 的中点，点 为半圆 上的一个动点，点 在直线 的上方，且 ， .设 ，则四边形 面积的最大值为      .

16.若椭圆 上有两个动点 ， 满足 （ 为坐标原点），过点 作 ，垂足 的轨迹为圆，则称该圆为 的内准圆.已知 的内准圆方程为 ，则 的离心率为      .
三、解答题
17.“直播带货”指通过一些互联网平台，使用直播技术，进行近距离商品展示､咨询答复､导购的新型服务方式.某厂家分别选择甲､乙两个直播平台销售同一产品，厂家为了解产品的销售情况，随机调查了甲､乙两个直播平台20天的日销售额，得到如下列联表：
平台
天数
总计
日销售额不大于8万元
日销售额大于8万元
甲
13
7
20
乙
6
14
20
总计
19
21
40
（1）.分别估计厂家产品在甲､乙平台日销售额大于8万元的概率；
（2）.试判断是否有95%的把握认为该产品的日销售额是否超过8万元与选择的直播平台有关？
附： ，其中 .

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18.已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， 成等差数列.
（1）.求数列 的通项公式；
（2）.请从以下三个条件中任意选择一个，求数列 的前n项和Tn ， .
条件Ⅰ：设数列 满足 ；条件Ⅱ：设数列 满足 ；条件Ⅲ：设数列 满足 .
19.如图，已知等腰梯形 满足 ， ， ，沿对角线 将 折起，使得平面 平面 .

（1）.若点 是棱 上的一个动点，证明： ；
（2）.若点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是棱 上的一个动点，试判断三棱锥 的体积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，试说明理由.
20.已知椭圆 ，直线 过椭圆 的一个焦点和一个顶点.
（1）.求椭圆 的方程；
（2）.若 为椭圆 的左顶点， ， 是椭圆 上的两点，△ 的内切圆 的方程为 .
（i）求实数 的值；
（ii） 为椭圆 的上顶点，椭圆 上是否存在两点 ， ，使得圆 是△ 的内切圆？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
21.已知函数 .
（1）.求函数 的单调区间；
（2）.若 ， 为不相等的实数，且 ，证明： .
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）.求曲线 的普通方程与 的直角坐标方程；
（2）.若曲线 上的动点 到曲线 的最小距离为 ，求实数 的值.
23.已知函数 ， .
（1）.解不等式 ；
（2）.若对于任意的实数 ，关于 的方程 恒有实数解，求实数 的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】由题设， ， ，
∴ .
故答案为：C

【分析】 可求出集合A, B，然后进行交集的运算即可.
2.【答案】 C
【解析】【解答】A：景区客流量有增有减，故错误；
B：由图知：按各月份客流量排序为 且是10个月份的客流量，因此数据的中位数为3月份和7月份对应客流量的平均数，故错误；
C：由3月至7月的客流量相对于8月至12月的客流量：极差较小且各月份数据相对比较集中，故波动性更小，正确；
D：由折线图知：4月至5月的客流量增长量与8月至9月的客流量回落量相比明显不同，故错误.
故答案为：C

【分析】 根据折线图，由中位数求法、极差的意义，结合各选项的描述判断正误即可。
3.【答案】 A
【解析】【解答】 ，则 ，
因此，复数 对应的点位于第一象限.
故答案为：A.

【分析】 利用复数代数形式的除法法则化简复数z，在复平面内对应的点，从而得出结论.
4.【答案】 B
【解析】【解答】函数 ，
当 时， ，故不存在 的情况；
当 时， ，整理得 ，解得 或 ；
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：B

【分析】当 时， ，故不存在 的情况；当 时， ，整理得 ，解得 或 ，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案。
5.【答案】 D
【解析】【解答】抛物线 的焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
利用点到直线的距离公式得 ，
故答案为：D.

【分析】计算焦点坐标为 ， 渐近线方程为 ， 利用点到直线的距离公式可得答案。
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：第一批次，培养1个；
从第二批次开始，每一批次培养的个数是前一批次的2倍，
则第 次培养的个数 ，
所以符合等比数列求和模型，首项为 ，公比为2，所以 ，
所以，培养第 批次后，微生物的总个数为 ，
令 ，即 .
因为 是正整数，所以 .
故大概经过的批次数为10次.
故答案为：A

【分析】 根据题意，建立等比数列模型，进而利用等比数列求和公式解不等式即可得答案.
7.【答案】 B
【解析】【解答】由 ， ，有 ，
∴ ，则 .
故答案为：B

【分析】由 ， ，有 得， 再根据正弦二倍角公式及同同角三角函数基本关系式，可得答案。
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，可以借助正方体模型，找到这个三棱锥 .

该三棱锥各个面中，面积最大的是面 ，
该面所对应的顶点是点 ，设点 到面 的距离为 ，
由等体积法，可得 ，
，
，
解得 .
故答案为：D

【分析】 由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，根据三视图的数据，该三棱锥各个面中，面积最大的是面 ，该面所对应的顶点是点 ，设点 到面 的距离为 ，由等体积法，可求得 面积最大的面所对的顶点到该面的距离 。
9.【答案】 B
【解析】【解答】当 时， ，又因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
因为 与两坐标轴的交点坐标为 和 ，
所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
故答案为：B.

【分析】求出函数的导数,计算f(1) ,的值， 求出切线方程,再求出切线在两坐标轴上的截距,从而求出三角形的面积.
10.【答案】 D
【解析】【解答】对于甲，该函数图象经过点 ，可得 ；
对于乙，该函数图象两条相邻对称轴之间的距离为 ，可得 ， .
此时，函数解析式为 ，
假设甲､乙正确，
对于丙，当 时， ，
此时 ，函数 的最小值为 ，正确；
对于丁，当 时， ，错误.
故答案为：D

【分析】 根据题意，假设甲、乙正确得, 进而再讨论边角丙、丁即可得答案。
11.【答案】 D
【解析】【解答】因为对于定义域内的任意一个 ，都有 ，所以 是奇函数；
由当 时，满足 恒成立，可得 恒成立，
设 ，则 在区间 上单调递增，
根据奇偶性可知， 为偶函数，
因而， 在区间 上单调递减；
由 ，可知 ，
则不等式
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 .
综上，原不等式的解集为 .
故答案为：D.

【分析】根据题意分析可得 是奇函数，当 时，可得 恒成立，设 ，则 在区间 上单调递增，根据奇偶性可知， 为偶函数，在区间 上单调递减；当 时， ，得 ；当 时， ，得 ， 得原不等式的解集。
12.【答案】 C
【解析】【解答】设 ，则 ， ， .
对于A，由于 ，
由三角函数线可以直观得到 ，故A正确；
对于B，方法1：因为 ，
所以 （因为 ，所以等号取不到）；
方法2：因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 ，故C错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故答案为：C.

【分析】设 ，则 ， ，  ，由三角函数线可以直观得到 ，故A正确；， 故B正确；由 ，得 ，故C错误； ， ，即 ，故D正确.
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为： .

【分析】 由已知结合向量数量积的定义及性质即可直接求解.
14.【答案】
【解析】【解答】将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体是圆锥，
其中圆锥的底面圆半径为 ，高为 ， 母线长 ，
将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为： .
故答案为： .

【分析】 将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体是底面圆半径为1,高为1的圆锥，由此能求出其侧面积.
15.【答案】
【解析】【解答】在 中，
由余弦定理，可得 ，



，
当且仅当 时，即 时，四边形 面积有最大值，最大值为 ，
故答案为： .

【分析】先利用余弦定理求出MP的值，再将四边形OMNP的面积分解成两个三角形的面积的和，从而得到关于θ的函数，利用三角函数的值域可求四边形  面积的最大值。
16.【答案】
【解析】【解答】当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程 ，化简整理得 ，
则 ，
所以 ，
由 可知 ，即 ，
整理得 .
又原点到直线 的距离
，
即 ，
由题意得 ，解得 ， .
当直线 的斜率不存在时，由 得 ，所以 ，
解得 .
故答案为： .

【分析】当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，联立方程 ，化简整理得 ，利用维韦达定理可得， 由 可知 ；即， 结合原点到直线 的距离公式即可求出  的离心率；当直线 的斜率不存在时，由 得 ， 可求出  的离心率。
三、解答题
17.【答案】 （1）由调查数据，选择在甲平台销售，
日销售额大于8万元的比率为 ，
因此厂家在甲平台日销售额大于8万元的概率的估计值为0.35；
选择在乙平台销售，日销售额大于8万元的比率为 .
因此厂家在乙平台日销售额大于8万元的概率的估计值为0.7.

（2）根据公式，计算可得 的观测值
.
因为 ，
所以有95%的把握认为该产品的日销售额是否超过8万元与选择的直播平台有关.
【解析】【分析】（1）根据古典概率的公式分别求出厂家产品在甲､乙平台日销售额大于8万元的概率；
（2） 根据公式，计算可得  的观测值，   可得结论。
18.【答案】 （1）解：因为 ， ， 成等差数列，
所以 .
当 时， ，
两式相减得 .
因为该数列是正项数列，
所以 ，
即 ，
所以数列 是公差为1的等差数列，
且当 时， ，得 ，
所以 .

（2）若选择条件Ⅰ：数列 满足 ，
所以 ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
.
所以 .
若选择条件Ⅱ：数列 满足 ，
利用乘公比错位相减法，可得 ①，
②，
①-②得 ，
则 .
若选择条件Ⅲ：数列 满足 ，
则 .
【解析】【分析】（1）由   ，    ，   成等差数列， 得   ，根据数列的递推式可得数列  是公差为1的等差数列，进而得出数列  的通项公式；
（2） 若选择条件Ⅰ：数列  满足   ， 分 为偶数和   为奇数分别求出数列  的前n项和Tn； 若选择条件Ⅲ：数列  满足  根据裂项求和法即可求出数列  的前n项和Tn。
19.【答案】 （1）证明：如图，在等腰梯形中，过 ， 分别作底边的垂线，
垂足分别为 ， ，

在 中， ， ，
所以 .
在 中，
， ，
由余弦定理可知，
在 中，
， ， ，满足 ，
所以 .
因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，
所以 .

（2）解：三棱锥 的体积是定值.
因为 ， ，
所以 .
所以 .
取 的中点 ，连接 ，如图，

因为 ，
所以 .
因为平面 平面 ，
且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又在 中， ， ，
所以 ，
所以 为定值.
【解析】【分析】（1） 在等腰梯形中，过   ，   分别作底边的垂线，垂足分别为  ，  ，求出   ，   ，  ， 由余弦定理求出BD，根据勾股定理得出  ，由平面  平面 得  平面 ，再根据线面垂直的性质可得  ；
（2）由已知条件可得 ， 取  的中点   ， 连接 ，根据面面垂直的判定定理可得平面  平面  ，推出  平面 ，再根据体积相等，即可求出三棱锥  的体积为定值。
20.【答案】 （1）椭圆M的焦点和顶点均在坐标轴上，直线 与坐标轴的交点坐标为 ， ，
∴椭圆 中 ， ，则 ，
∴椭圆 的方程为 .

（2）（i）由题意知， ，即 .
如图，过圆心 作 ， 与 轴交于点 ，则△ 与△ 相似，可得 ，

设 ， ，则 ，解得 .
又 在椭圆 上，代入椭圆方程，得 ，整理得 ，即 ，可得 ，
∴ ，即 ，解得 ，即 .
（ii）椭圆 上存在两点 ， ，使得圆 是△ 的内切圆.
下面只需证明，当直线 ， 与圆 相切时，直线 与圆 相切即可.
圆 ，点 ，
设过点 与圆 相切的直线方程为 ，则 ，即 ，解得 ， .
将 与椭圆方程联立，可得 ，则非零的解为 .
设 ， ，则 ， ，
∴ ，则直线 为 ，即 .
由 ，得 ，易知 .
∴圆心 到直线 的距离 ，
∴直线 也与圆 相切，即椭圆 上存在点 ， ，使圆 是△ 的内切圆，且直线 的方程为 .
【解析】【分析】（1）由题意可得a、b、c的值，即可求出椭圆  的方程；
（2） （i）过圆心  作   ，   与  轴交于点   ， 则△  与△  相似，可得   ， 设   ，   ， 则  ， 解得  ， 又  在椭圆  上，代入椭圆方程，得   ， 整理得 ， 求出r，m的值；
（ii） 设过点  与圆  相切的直线方程为 ， 将  与椭圆方程联立，可得   ， 则非零的解为 ， 设   ，    ， 则   ，    ， 由   ， 得 ， 圆心  到直线  的距离 ，可得直线  也与圆  相切，即椭圆  上存在点   ，    ， 使圆  是△  的内切圆，且直线  的方程为 。
21.【答案】 （1）解：由 ，则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 .
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .

（2）证明：对等式 ，左右两边同时除以 ，
可得 ，所以 ，
即 ，即 .
不妨设 ， ，且 ，即 .
由图象可知 ， ，要证 ，即证 ，
即证 ，即证 .
因为 在区间 上单调递增，所以即证 ，
又因为 ，所以即证 ，即证 .
设 且 ，则 ，
因为在 时 ，
所以 恒成立，
所以 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
即 得证.
【解析】【分析】（1）对函数 求导，根据导数的符号可得函数  的单调区间；
（2） 对等式   ， 左右两边同时除以   ， 可得  ， 即   ， 即  ， 不妨设   ，    ， 且   ， 即 ，根据分析法即可证出  .
22.【答案】 （1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），消参可得 ；
由曲线 的极坐标方程为 ，则 ，由转化公式可得 .

（2）由题意，直线与抛物线没有交点，故抛物线上的点到直线的距离的最小值，即两条平行线之间的距离.
∴所求直线与已知直线平行，与抛物线相切.
设所求直线方程为 ，联立直线与抛物线的方程 ，得 ，
令 ，即 ，解得 ，
此时两条平行线之间的距离为 ，解得 （舍去）或 .
【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2) 由题意，直线与抛物线没有交点，故抛物线上的点到直线的距离的最小值，即两条平行线之间的距离， 设所求直线方程为   ， 联立直线与抛物线的方程   ， 得   ，  再利用两条平行线之间的距离公式的应用求出结果.
23.【答案】 （1）解： ， ，

分类讨论解不等式 ，可得：
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 .
综上所述，原不等式的解集为 或 .

（2）因为对于任意的实数 ，关于 的方程 恒有实数解，
所以 始终有实数解
作出函数 的图象如图，

由图象可知， 恒成立，
令 ，
若对于任意的实数 ，关于 的方程 恒有实数解，
则只需 ，即 .
所以实数 的取值范围
【解析】【分析】（1） 分 ， ，  三种情况解不等式 ， 即可求出不等式 的解集；
（2） 对于任意的实数   ， 关于  的方程  恒有实数解，得  始终有实数解， 作出函数  的图象 ，令  ，若对于任意的实数   ， 关于  的方程  恒有实数解，得   ，求解可得实数  的取值范围 。